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文档简介

静态场的边值问题：在给定的三类边界条件下求解标量位或矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解的问题。

边值问题的分类：解析法数值法分离变量法镜像法复变函数法保角变换法格林函数法有限差分法有限元法数值积分法矩量法（经典法）优点：由有限个想构成闭合解或无穷级数，通常具有鲜明的物理意义。缺点：解题范围窄小，对边界形状十分挑剔优点：解题范围宽广，对边界的形状没有限制缺点：数据离散，物理意义深藏其中

理论依据：唯一性定理和叠加原理数值计算有限差分法1.差分格式有限差分的网格划分在由边界L界定的二维区域D内，电位函数φ满足拉普拉斯方程且给定第一边界条件，则将区域D划分为正方形网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线间的距离称为步距h有限差分的网格划分拉普拉斯方程离散化，对于任一点0，有一阶偏导数对于二阶偏导数同样有限差分的网格划分拉普拉斯方程的差分格式为有限差分的网格划分紧邻边界节点的拉普拉斯方程的差分格式为紧邻边界节点的网格划分其中p、q为小于1的正数；1、2为边界上的节点，其值为对应边界点处的值，是已知的。2.差分方程组的解

高斯-赛德尔迭代法

网格节点一般按“自然顺序”排列，即从左到右，再从下到上顺序排列。迭代也按自然顺序进行。网格节点排列方法网格节点排列方法计算步骤首先对节点取迭代初值。再按下式反复迭代其中上角标（k）表示k次近似值，下脚标i，j表示节点所在位置，即第i行第j列的交点。网格节点排列方法计算步骤注意：在迭代过程中遇到边界点式，需将边界条件

带入。所有内节点满足以下条件时迭代停止W是预定的最大允许误差

逐次超松弛法

高斯-赛德尔迭代法德变形。为加速收敛，相应的迭代公式为α称为“加速收敛因子”，且1《α

<2。注意：逐次超松弛法收敛的快慢与α有明显关系。如何选择最佳α，是个复杂问题。迭代求解程序框图

应用有限差分法求解静电场边值问题的近似解解：取h=5作正方形网格，得差分方程例利用高斯-赛德尔迭代格式选取迭代初值，6次迭代计算后，可得结果kk012327.5301.8757.96926.9921.9927.24626.8121.8127.15626.7894561.7897.14526.7861.7867.14326.7861.7867.14326.786若步距h=2.5，迭代初值，最大允许误差，经过32次迭代计算后，可得结果正方形网格（h=2.5）应用逐次超松弛法，则在给定相同的最大允许误差W的条件下，迭代次数与加速因子α

的关系见下表α1.001.111.201.301.40

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