三元一次方程组的解法

*8.4三元一次方程组的解法初中数学七年级下册人民教育出版社2011版例：小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.问题中含有几个未知数？有几个相等关系？

小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.分析：一、这个问题中包含有

个相等关系：（1）、10元纸币张数＋20元纸币张数＋50元纸币张数＝12张，

x+y+z=12①（2）、10元的金额＋20元的金额＋50元的金额＝220元，

10x+20y+50z=220②（3）、10元纸币的张数＝20元纸币的张数的4倍。

x=4y③

二、这个问题中包含有

个未知数:10元（x）、20元（y）、50元（z）纸币的张数.12张220元4倍33观察方程①、②你能得出什么？都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程.x+y+z=12①10x+20y+50z=220②x=4y③这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成

x+y+z=12，

10

x+20y+50z=220x=4y这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

如何解这个三元一次方程组呢？

x+y+z=12

10

x+20y+50z=220x=4y提示：是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？【例1】解三元一次方程组3x＋4z=7，①2x＋3y＋z=9，②5x－9y＋7z=8.③分析：方程①中只含x,z,因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.3x＋4z=7，①

2x＋3y＋z=9，②

5x－9y＋7z=8.③解：②×3＋③，得

11x＋10z=35④①与④组成方程组3x＋4z=7，11x＋10z=35.解这个方程组，得x=5，z=-2.把x＝5，z＝-2代入②，得y=因此，这个三元一次方程组的解为x=5，y=z=-2.【例2】.在等式y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

解：根据题意，得三元一次方程组a－b＋c=0，①4a＋2b＋c=3，②25a＋5b＋c=60.③②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤④与⑤组成二元一次方程组a＋b=1，4a＋b=10.解这个方程组，得a=3，b=-2.把代入①，得a=3，b=-2.c=-5因此a=3，b=-2，c=-5.解法小结：三元一次方程组代入消元加减消元二元一次方程组加减消元代入消元一元一次方程1.解三元一次方程组的基本思路：2.解三元一次方程组时通过观察各方程中相同未知数的系数特点确定消除目标：（1）见二找缺，缺谁消谁。（2）两两相配，简易双搭。解三元一次方程组x＋y－z＝6，x－3y＋2z＝1，3x＋2y－z＝4.①②③【答案】独辟蹊径x＋y＋z＝18方法1：代入法

方法2：加减法

方法3：解：②-①X6，得2x=10，x=5把x=5代入①，得y＋z＝13④

③-④，得

y＝7把x=5，y＝7代入①，得z＝6

X=5因此，这个三元一次方程组的解为y＝7z＝62y＋z＝208x＋6y＋6z＝118①②③

解方程组则X=______，y=______，z=______。【解析】通过观察未知数的系数，可采取①+②+③得到2x+2y+2z=16，即x+y+z=8然后再将①、②、③分别代入这个方程求出x,y,z.x＋y＝10y＋z＝5z＋x＝1.【答案】37-2①②③3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【解析】通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.选D作业设计教材106页必做题：习题8.4第1、2、3题选做题：习题8.4第4、5题

用智慧的双眼观察世界活学活用应对问题教师寄语制作人：霍泰波电话题：自然课上老师要求同学们观察动物，小明捉了蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物18只，共有118条腿，20对翅膀，请问小明捉了多少只蜻蜓？

解：设小明捉了x只蜘蛛、y只蜻蜓和z只蝉，可得方程组由③，得z=20-2y④将④分别代入①、②，得x＋y＋（20-2y）＝188x＋6y＋6（20-2y）＝118x＋y＋z＝188x＋6y＋6z＝1182y＋z＝20①②③返回问题：自然课上老师要求同学们观察动物，小明捉了蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物18只，共有118条腿，20对翅膀，请问小明捉了多少只蜻蜓？

解：设小明捉了x只蜘蛛、y只蜻蜓和z只蝉，可得方程组①x8-②，得2y+2z=26

④将