等腰三角形的性质

第1课时

等腰三角形的性质第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形1课堂讲解等腰三角形的对称性等腰三角形的“三线合一”性质等腰三角形的边、角性质等边三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？复习回顾1知识点等腰三角形的对称性知1－导等腰三角形是生活中常见的图形.(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.（来自《教材》）等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两个底角相等.总结知1－导（来自《教材》）知1－讲性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．（来自《点拨》）知1－练1

(中考·咸宁)如图，在下列学习用具中，不是轴对称图形的是(

)（来自《典中点》）知1－练2如图，已知四个图形分别是等边三角形、等腰梯形、正方形、圆，它们全是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是(

)（来自《典中点》）2知识点等腰三角形的“三线合一”性质知2－讲性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成“三线合一”)．要点精析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，在应用过程中，在三角形是等腰三角形的前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．(2)作用：是说明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，应用广泛．（来自《点拨》）知2－讲(3)应用格式：如图，在△ABC中，①因为AB＝AC，AD⊥BC，所以AD平分∠BAC(或BD＝CD)．②因为AB＝AC，BD＝DC，所以AD⊥BC(或AD平分∠BAC)．③因为AB＝AC，AD平分∠BAC，所以BD＝DC(或AD⊥BC)．（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)试说明：EF＝ED.知2－讲（来自《点拨》）(1)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以∠BAD＝∠CAD.所以∠BAC＝2∠BAD＝50°.因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)＝(180°－50°)＝65°.(2)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以ED⊥BC，又因为BG平分∠ABC，EF⊥AB，所以EF＝ED.解：(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的说明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法．总结知2－讲（来自《点拨》）知2－讲例2如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.试说明：CM＝MD.（来自《点拨》）由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，由此连接AC，AD构造等腰三角形．导引：知2－讲（来自《点拨》）如图，连接AC，AD.在△ABC和△AED中，所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD.又因为AM⊥CD，所以CM＝MD.解：对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：1.如图甲的情形，需作底边上的高；总结知2－讲知2－讲（来自《点拨》）2.如图乙的情形，需作顶角平分线；3.如图丙的情形，需作中线；4.如图丁的情形，需连接AD并延长再说明其是“三线”即可．1

(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D

为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数

为(

)A．35°B．45°C．55°D．60°知2－练（来自《典中点》）2如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是(

)A．①B．①②C．①②③D．①②③④知2－练（来自《典中点》）3如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，

若BC＝6，AD＝5，则图中阴影部分的面积为(

)A．30B．15C．7.5D．6知2－练（来自《典中点》）3知识点等腰三角形的边、角性质知3－讲性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．要点精析：(1)适用条件：必须在同一个三角形中．(2)应用格式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.(3)作用：它是说明角相等常用的方法，它的应用可省去对三角形全等的说明，因而更简便．（来自《点拨》）知3－讲例3〈毕节，易错题〉已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为(

)A．16

B．20或16

C．20

D．12B.错解分析：本题错在没有对结果进行验证．当腰长为4时，两边之和为4＋4＝8，不大于第三边，不能构成三角形，应该把腰长为4的情况舍去．周长应为8＋8＋4＝20.错误答案：C（来自《点拨》）知3－讲例4(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形的内角和为180°与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解．导引：（来自《点拨》）知3－讲(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.当顶角为70°时，底角为因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为

若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，不符合三角形内角和为180°.因此顶角为90°.解：（来自《点拨》）(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和为180°求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和为180°.(2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．总结知3－讲（来自《点拨》）1

(2015·湘西州)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(

)A．36°B．60°C．72°D．108°知3－练（来自《典中点》）2

(2016·枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE

的平分线交于点D，则∠D的度数为(

)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°知3－练（来自《典中点》）4知识点等边三角形的性质知4－导想一想(1)等边三角形有几条对称轴?(2)你能发现它的哪些特征？（来自《教材》）知4－讲1.等边三角形的三条边都相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于60°;3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称；4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线

都三线合一.知4－讲例5如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.连接MN.试说明：(1)△ACM≌△DCN；(2)MN∥AB.（来自《点拨》）知4－讲(1)因为△ACD和△BCE都是等边三角形，所以AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°.因为∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，所以∠DCE＝60°.所以∠ACE＝∠DCB＝120°.所以△ACE≌△DCB(SAS)．所以∠EAC＝∠BDC.又因为AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，所以△ACM≌△DCN(ASA)．解：（来自《点拨》）知4－讲(2)由(1)知△ACM≌△DCN，所以CM＝CN.又因为∠MCN＝60°，所以∠NMC＝∠MNC＝60°.所以∠NMC＝∠ACM.所以MN∥AB.（来自《点拨》）1如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于(

)A．20°B．30°C．35°D．40°知4－练（来自《典中点》）2如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(

)A．3B．2

C．1

D．0知4－练（来自《典中点》）3

(中考·葫芦岛)三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝________．知4－练（来自《典中点》）1.等腰三角形的性质总结：(1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或

底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对

称轴．(2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中