二次函数的应用

第十三讲二次函数的应用1.列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤:(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系).(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.(3)列函数关系式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案.(6)写出答案.常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.2.建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.把160元的电器连续两次降价后的价格为y元,若平均每次降价的百分率是x,则y与x的函数关系式为:y=160(1-x)2.

()√2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为10m.

()×考点一抛物线型实际问题【示范题1】(2017·德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式.(2)求出水柱的最大高度是多少?【思路点拨】(1)以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h,代入(0,2)和(3,0)得出方程组,解方程组即可.(2)求出当x=1时,y=即可.【自主解答】(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3).抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得解得所以,抛物线解析式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).化为一般式为y=-x2+x+2(0≤x≤3).(2)由(1)知抛物线解析式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3).当x=1时,y=.所以抛物线水柱的最大高度为米.【答题关键指导】抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题(1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简.(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误.【变式训练】(2017·金华中考)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.(1)当a=-时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到点O的水平距离为7m,离地面的高度为m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.【解析】(1)①把(0,1),a=-代入y=a(x-4)2+h,得:-×16+h=1,解得h=;②把x=5代入y=-(x-4)2+,得y=-×(5-4)2+=1.625,∵1.625>1.55,∴此球能过网.(2)把点(0,1),代入y=a(x-4)2+h,得解得∴a=-.考点二利用二次函数的性质解决最优问题【示范题2】(2017·连云港中考)某蓝莓种植生产基地产销两旺,采摘的蓝莓部分加工销售,部分直接销售,且当天都能销售完,直接销售是40元/斤,加工销售是130元/斤(不计损耗).已知基地雇佣20名工人,每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作,每人每天可以采摘70斤或加工35斤,设安排x名工人采摘蓝莓,剩下的工人加工蓝莓.(1)若基地一天的总销售收入为y元,求y与x的函数关系式.(2)试求如何分配工人,才能使一天的销售收入最大?并求出最大值.【自主解答】(1)根据题意得:y=40[70x-35(20-x)]+130×35(20-x)=-350x+63000.(2)因为70x≥35(20-x),解得x≥,又因为x为正整数,且x≤20.所以7≤x≤20,且x为正整数.因为-350<0,所以y的值随着x的值增大而减小,所以当x=7时,y取最大值,最大值为-350×7+63000=60550.答:安排7名工人进行采摘,13名工人进行加工,才能使一天的收入最大,最大收入为60550元.【答题关键指导】用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是利用函数图象与性质求函数的最大值或最小值,如经济问题中的最大利润,还有几何问题中的最大面积、最大高度等,其关键是将实际问题“数学化”,即转化为相应的数学模型.【变式训练】(2017·鄂州中考)鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个.若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售量为y个.(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数关系式.(2)设商户每周获得的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?【解析】(1)y=160+×20,即y=10x+160.(2)w=(30-x)(10x+160)=-10(x-7)2+5290.∵x为偶数,∴当x=6或8时,w取最大值5280.当x=6时,销售单价为80-6=74元/个;当x=8时,销售单价为80-8=72元/个.∴当销售单价定为74元/个或72元/个时,每周销售利润最大,最大利润是5280元.(3)∵w=-10(x-7)2+5290,∴当w=5200元时,-10(x-7)2+5290=5200.解得x1=10,x2=4.∵销售量y=10x+160随x的增大而增大,∴当x=4时,进货成本最小.当x=4时,销售量y=10x+160=200,此时进货成本为200×50=10000元.答:他至少要准备10000元进货成本.考点三与函数有关的几何综合题

【考情分析】综合运用函数和几何图形解答问题的层级为掌握,在各地中考题中均有体现,是二次函数的一个重要考向,主要有抛物线与线段综合、抛物线与三角形综合、抛物线与四边形综合、抛物线与圆综合等类型,常以动点、图形变换等形式出现,绝大多数以压轴题的形式呈现.【示范题3】(2017·岳阳中考)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)，C(0,-2)，直线l:y=-x-交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点.P为抛物线上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线的解析式.(2)当点P在直线l下方时,过点P作PM∥x轴交l于点M,PN∥y轴交l于点N.求PM+PN的最大值.(3)设F为直线l上的点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.【自主解答】(1)将B(3,0)，C(0,-2)，代入y=x2+bx+c,得:解得:∴抛物线的解析式为:y=x2-x-2.(2)设则∴∵M,N在直线l:y=-x-上,PM∥x轴,PN∥y轴,∴∴PM+PN=PN≤,即PM+PN的最大值为.(3)能.设①当EC为边时,有EC=PF,即解得:m=0,1,,其中m=0时不成立,舍去;②当EC为对角线时,PF中点即为EC中点P在抛物线上,所以,解得:m=0或-1,其中m=0时不成立,舍去;综上所述:F点的坐标为:命题角度2:抛物线与四边形综合【示范题4】(2017·泰安中考)如图,是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),另一交点为B,与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点N为抛物线上一点,且BC⊥NC,求点N的坐标.(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y=x+的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点P,Q是否存在?若存在,分别求出点P,Q的坐标,若不存在,说明理由.【自主解答】(1)由题意,设抛物线的表达式为y=-(x-1)2+k.把(-1,0)代入得0=-(-1-1)2+k,解得k=4,所以抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)当x=0时,y=-(0-1)2+4=3,∴点C的坐标是(0,3),∴OC=3.∵点B的坐标是(3,0),∴OB=3,∴OC=OB,则△OBC是等腰直角三角形.∴∠OCB=45°,过点N作NH⊥y轴,垂足为点H.∵∠NCB=90°,∴∠NCH=45°,∴NH=CH,∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH,设点N为(a,-a2+2a+3).∴a+3=-a2+2a+3,解得a=0(舍去)或a=1,∴N的坐标是(1,4).(3)∵四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQ∥OA,设P(t,-t2+2t+3),则Q(t+1,-t2+2t+3).将点Q(t+1,-t2+2t+3)代入得-t2+2t+3=(t+1)+,整理,得2t2-t=0,解得t1=0,t2=.∴-t2+2t+3的值为3或∴点P,Q的坐标是(0,3),(1,3)或命题角度1:抛物线与圆综合【示范题1】(2016·宿迁中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.(1)求N的函数表达式.(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A,B,求PA2+PB2的最大值.(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.【思路点拨】(1)根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到,所以a=-1,求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题.(2)由PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2·PO2+2可知OP最大时,PA2+PB2最大,求出OP的最大值即可解决问题.(3)画出函数图象即可解决问题.【自主解答】(1)二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=-x2+1,此时顶点坐标(0,1),将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为(2,9),故N的函数表达式y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.(2)∵A(-1,0),B(1,0),∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2·PO2+2,∴当PO最大时PA2+PB2最大.如图,延长OC与☉O交于点P,此时OP最大,∴OP的最大值=OC+PO=+1,∴PA2+PB2最大值=2(+1)2+2=38+4.(3)M与N所围成封闭图形如图所示,

由图象可知,M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数为25个.命题角度2:抛物线与三角形综合【示范题2】(2016·遵义中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-8,3),B(-4,0),C(-4,3),∠ABC=α°.抛物线y=x2+bx+c经过点C,且对称轴为x=-,并与y轴交于点G.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标.(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF.若点F恰好落在抛物线上.①求m的值.②连接CG交x轴于点H,连接FG,过B作BP∥FG,交CG于点P,求证:PH=GH.【思路点拨】(1)把点C坐标代入y=x2+bx+c得一方程,利用对称轴公式得另一方程,组成方程组求出解析式,并求出G点的坐标.(2)①作辅助线,构建直角△DEF斜边上的高FM,利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标,根据点F在抛物线上,列方程求出m的值.②F点和G点坐标已知,可以求出直线FG的方程,那么FG和x轴的交点坐标(设为Q)可以知道,C点坐标已知,CG的方程也可以求出,那么H点坐标可以求出,可由三角形全等证得PH=CH.【自主解答】(1)根据题意得:解得:∴抛物线的解析式为:

点(2)①过F作FM⊥y轴,交DE于M,交y轴于N,由题意可知:AC=4,BC=3,则AB=5,FM=∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,∴E(-4+m,0),OE=MN=4-m,FN=-(4-m)=m-,在Rt△FME中,由勾股定理得:EM=∴∵F在抛物线上,∴5m2-8m-36=0,m1=-2(舍),m2=②易求得FG的解析式为:CG解析式为:∴=0,x=1,则Q(1,0),=0,x=-1.5,则H(-1.5,0),∴BH=4-1.5=2.5,HQ=1.5+1=2.5,∴BH=QH,∵BP∥FG,∴∠PBH=∠GQH,∠BPH=∠QGH,∴△BPH≌△QGH,∴PH=GH.【答题关键指导】解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答.审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.解数学压轴题要善于总结数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等.认识条件和结论之间的关系,图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法,当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.【变式训练】(2017·常德中考)如图,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过点P作PA⊥x轴于点A,PC⊥y轴于点C,延长PC交抛物线于点E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,点D是C点关于N的对称点.(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标.(2)求证:四边形PMDA是平行四边形.(3)求证:△DPE∽△PAM,并求出当它们的相似比为时点P的坐标.【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+k,∵点(2,2),在抛物线上,∴解得∴该抛物线的解析式为:y=x2+1,顶点N的坐标为(0,1).(2)设点P坐标为∵PA⊥x轴于点A,PC⊥y轴于点C,点M是点O关于抛物线顶点N的对称点,点D是C点关于点N的对称点.∴A(x,0),CM(0,2),D;PA∥y轴;∴MD==PA,且MD∥PA,∴四边形PMDA是平行四边形.(3)由(2)得四边形PMDA是平行四边形,PC=|x|,CM=|x2+1-2|=|x2-1|;∵在Rt△PCM中,PM=∴四边形PMDA是菱形,△PAM是等腰三角形,∴∠APM=∠ADM;∠M