卷02-2022年高考数学（理）模拟卷（全国卷）（解析版）

2022年高考数学(理)模拟卷(全国卷)

二轮拔高卷02

(本卷满分150分，考试时间120分钟。)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4={(毛、)|丫=犬+1},集合8={y|y=2x,x>0},则AB=()

A.{1,2}B.{(1,2))C.(1,2)D.0

【答案】D

【解析】A={(x,y)及=x+l},集合中的元素为坐标点，B={y\y=2x,x>0},集合中的元素为实数，

.\Ar>B=0故选：D

2.已知复数z满足z(2+F)=3+i,则目=()

A.正B.6C.75D.275

【答案】A

【解析】由z(/2+「«、)=3+i可得:2=汴3+i=3有+i=(3冒+i)(2局+i)=1+L

故国=>/1+『故选:A.

3.四面体A8CO中，AB=BC=CD=DB=AC=2,A£>=3,点M是棱AN中点，则异面直线CM与AO所

成角的余弦值为()

A.立C,昱

B.-D.-

4886

【答案】A

【解析】取楼40的中点N,连接MN、CN,如下图所示:

13

因为"、N分别为棱A3、8〃的中点，则MN〃A£>且==

所以，异面直线CM与A£>所成角为NCMV或其补角，

因为AB=BC=CZ)=OB=AC=2,则CNLBO,故CNZB-DM=5

2

同理可得CM=石，由余弦定理可得cosZCMN=0”°+MN-CN，=迫故选:A

2cM•MN4

4.已知sin(a-兀)3则cos(a+争

()

6)5

B-34

A.--C.D.-

5555

【答案】B

_兀兀3则正sina+』cosa，EPsinfa+-^l=-|,所以

【解析】由题sinacos——cosasin—+cosa=—,

665225I6J5

3

--.故选：B

5.某中学举行“十八而志，青春万罗'成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节

目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目5至少有一个被选中的不同选法种数是()

A.15B.45C.60D.75

【答案】C

【解析】从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有C：C；=90种选法.语言类节HA和

歌唱类节目B都没有被选中的有C；C；=30

所以语言类节目4和歌唱类节目8至少有一个被选中的不同选法种数有90-30=60

故选：C

2x+3y>6,

6•已知点P(x,y)在不等式组2y-xW2,表示的平面区域内运动，且y=z(x+l)-l,则z的最大值为()

x<2

517

A.-B.—C.1D.3

913

【答案】B

2x+3y>6,

【解析】作出不等式组・2y-x42,表示的平面区域（如图所示），

x<2

由题可知XH-1,所以y=Z（X+l）—l可变形为2=含，从而Z表示平面区域内的点与点尸连线的斜

率，数形结合可知心,最大，

6

x=—10+1r

2x+3y=67610,所以z'=*■=[•

由得10'所以47

2y-x=27T

y=7

故选：B.

7.已知函数f（x）=4ln（而定+x）—x+J,则函数〃x）的大致图象为（）

【答案】B

【解析】由题意知:f(x)定义域为｛小片。｝；

f\-x)=41n(jl+x，-x)+x-■-=-41n^Vl+.x2+xj+x--=,

・••/(x)为奇函数，图象关于原点对称，可排除AD；

"1x—>0+时，41n(Jl+x?+x)—>0,—x—>0,---->+8,f(x)>0,可排除C.

故选：B.

8.若=%+4(X-1)+〃2(X—1)2++《o(X—『“，贝!]。]+。2+。3+。10的值为()

A.1B.-1C.1023D.1024

【答案】C

【解析】令x=l,则%=1,

令*=2,贝lj4+6+生+/+〃[()=2[°=1024,

所以％+%+/+4O=1O24-1=1O23,故选：C

9.五声音阶（汉族古代音律）就是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫，商，角，徵，羽，

981327

若宫的频率为/,则宫，商，角，徵，羽的频率分别是/、三33/、:1九定义音比（大于1）

864216

是相邻两个音的频率比，上述音比只有两个不同的值，记为。,/?（。＞）），则下列关系式不感宴的是（）

(参考数据：lg2«0.30K1g3«0.477)

32

A.a=一B.Ig/?=21g3-3lg2C.lgalg〃=一D.lga-lg4<0.2

279

【答案】C

8[327

*=看—=H'q一=(，因为a>£，所以c=U，£=?，故A正确,

【解析】因为89

2,O01,乙I±fO乙/O

8876472J

所以Ig/=lg£=lg9_lg8=lg3?_lg23=21g3_31g2,故B正确;

O

32

53

lg—=lg32-lg27=lg2-lg3=51g2-31g3

329

Iga.|g/?=lg^--lg-=(51g2-31g3)(21g3-31g2)

2/o

®(5x0.301-3x0.477)(2x0.477-3x0.301)=0.003774,故C错误;

..„.32,9.f329）.256.2s

Iga-lgytf=lg---lg-=lg—+—=lg---=Ig-r

278（278J24335

=1g28-Ig35=8Ig2-5Ig3»8x0.301-5x0.477=0.023<0.2,故D正确;故选：C

10.己知耳,鸟是双曲线cj卡=l（a>0,6>0）的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若网|+附|=6a,

PRPFLO,则双曲线C的离心率为（）

A.上B.2夜C.小D.72

【答案】C

'pp\=4〃PF\=2a

【解析】据题意，得|P用+|叫=6a,||WH"||=2a,.•JpJ=2a或1渴=4〃，

PFIPF2=0,.•.?B_LPF2，,/耳尸耳=90°,.•.附「+|尸周2=出局2,

即16/+4/=（2c）2,.•.0=5,故双曲线C的离心率为故选：C.

a

—JC+4-x%<4

11.设函数〃x）=[[o。（X—4）|：4‘若关于天的方程"力,有四个实根看/2，%匕（小％<小土），则

X+工2+2/+5*4的最小值为（）

3133

A.—B.16C.—D.17

22

【答案】B

【解析】作出函数/（x）的大致图象，如图所示:

当xW4时，/（力=一/+4》对称轴为x=2,所以公+4=4,

若关于x的方程f（x）=f有四个实根A,x2,x3,七（5<毛<£<七），则0<f</>⑵=4,

由f=[k>g2（x-4）|=/（2）=4,得x考或％=20,则5<z<20,

乂所以七一

log,(x4-4)=-log,(x3-4),log2(4)+log2(X4-4)=0,

所以(人-4)•(2—4)=1,所以％=—三+4,且…e(l,16),

天4-4

所以2鼻+=2—-+4|+|x21

4—-(X-4)10>2

2l%-4)2+4+

1,八2

当且仅当3（%-4）=-即玉=6时，等号成立,

故％+x2+x3+—x4的最小值为16.故选：B.

12.以双曲线/=1（a>0,6>0）中心0（坐标原点）为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限

内交于M点，的、鸟分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为。鸟的中点，则双曲线

的离心率为（）

A.由-1B.出C.小+1D.2

【答案】C

【解析】由题意可得圆的半径为c,圆心为。，依题意可得M的横坐标为，，纵坐标为「图邛c，

即M的坐标为“

M3r2

代入双曲线方程可得,

4a-4b-

即有L/--三一=1,

1n44（e2-l）

"-8/+4=0，

e2=4+2>/31=4-21/3>因为e>l,所以/=4+2>/^

:.e=l+下,故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢

友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？“用程序框图表达如图所示，即最终输出

的x=0,问一开始输入的》=斗•遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，

碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次.

（开始输入.v/-Hj卜L|X=2X]|-»]）二万斗士^^^^^输出工/"*结束）

7

【答案】

O

【解析】第一次输入x=x,i=l

执行循环体，x=2x-l,z=2,

执行循环体，=2（2x—1）—1=4x—3,z=3,

执行循环体，x=2（4x-3）-l=8x-7,i=4>3,

77

输出8x-7的值为0,解得：x=（,故答案为

88

14.若［+弓=］的展开式中/的系数为160,则实数。的值为.

【答案】2

【解析】法一：展开式第r+1项

32323

6-%=2时，r=3,T4=Cgizx=20izx,.1.20tz=160».'.a-2.

故答案为：2.

法二：0+养）展开式中，要想凑出*2,必须x取三次方，义也取三次方，于是算下系数就有

（2：・/=20。3=160,a=2.故答案为：2.

15.己知F是抛物线己丁=22犬5>0）的焦点，抛物线C上的点A,8满足A尸=4月3,若AB在准线上的射

影分别为M，N,且△MAV的面积为5,则|A8|=

25

【答案】f#6.25

4

【解析】设直线AB为x=外+g联立抛物线得：/一2pb，一p2=o,设A&,乂），8（々，书，则》+必=2pk,

XX=-p2,其中多yj,则5,谢=：。・|））|一对=5，由AF=4F8可得：乂二一句入,

则-4及=-p2,解得：必=土日，此时y=-4丫2=：，2〃，所以|y-%|=|p，故3P2=5,解得：P=2,当

）>i=2p,y2=-y0>t，左=［,此时为+/=k（y+%）+0='|、3+2=?,当y=_2p,时，氏:一^，

317171725

此时％+%=左（乂+%）+〃=-jx（—3）+2=1，综上：%=1，|.用=%+尤2+〃=1+2=1.故答案为：

25

T

16.已知若点£>满足AC=348：AC,B£）=/lCD（2eR）,则2=.

【答案】-§

【解析】由A0AB+AC,可得4AO=3AB+AC，

4

所以，3AD+AD=3AB+AC<即3（AO-A8）=AC-A£）,

所以，3BD=DC，故30=-gc£>.

故答案为:-g.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）如图，在A/WC中，ZB=90°,ZBAZ）=ZDAE=ZE4C,BD=2,D£=3.

（1）求A8的长;

(2)求sinC.

2+3

【解析】（I）设/班。=。<90。，由题意知43=--

tan，tan2。

解得tan。=（负值舍去），

5

因此A8=J=2退.

tan。

(II)由题意知0。＜。＜2。＜3。＜90。.

因为tan6=—所以sin。=—^,cos6=^0,

566

所以sin26=好，cos2/9=.

33

Zn,2y/b^＞/5_＞/30

sinC—cosN3AC—cos(6+26)------x----------x—=-------.

'7636318

18.（12分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束），约定比

赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此

赛中，每局甲校获胜的概率为《7，乙校获胜的概率为:1，在女生排球比赛1中，每局甲校获胜的概率为:，乙

校获胜的概率为I.每局比赛结果相互独立.

（1）求甲校以3：1获胜的概率；

（2）记比赛结束时女生比赛的局数为自，求4的概率分布.

【解析】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，

（2）^的所有可能取值为1,2,3,

2

3）=©，圈套9

尸q=2）*+G—1•2铝2210

333303127

41011

P（j=3）=1--------=—,

'7272727

故。的概率分布为:

123

21011

P

92727

19.（12分）如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD,一ABC是底面的

内接正三角形，且。0=6,P是线段OO上一点.

(1)是否存在点尸，使得PA_L平面尸8C,若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由;

(2)当尸。为何值时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.

【解析】(1)由题得AO=，4。，AD2=PO2+AO2,AD2=36+-AD2,

24

所以A。=AO=所以△ABC是圆的内接:.角形，

AftL

所以^^=2*26,二AB=6,

sin6()

由题得PA?=12+POL

假设PA_L平面PBC,所以PA_LP8,;.36=12+2)2+12+PO?,，PO=R.

此时期_LPC.

所以PO=#时，P4_L平面P3C.

(2汝口图所示，建立以点。为坐标原点的空间直角坐标系。-孙z.

设\PO|=x,(0<x<6),.-.P(0,0,x),E(-63,0),B(53,0),C(-2^,0,0),

所以话=(疯-3,x),丽=(曲,3,-x),PC=(-2-^3,0,-x),

设平面PBC的法向量为1=(a,b,c)，

所以n-二PB7--J3小a+3…b-cx=。0

所以〃=(x,-26),

设直线EP与面PBC所成的角为仇

《

rllUPi；t,.A|岛+3岛一26|2氐=I三

Vl2+x2Vx+3x2+l2Vl2+x2V4x2+l2JX2+—+15

当且仅当|">|=x="时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.

A

20.（12分）设椭圆5■+£■=l（a>6>0）的左焦点为尸（-2,0）,且椭圆经过点（2,-亭］

（1）求椭圆的方程;

（2）设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB（8为椭圆上顶点）与x轴的交点，点、N

在）’轴的负半轴上.若〔OMTal（。为原点），且求直线P8的斜率.

【解析】（1）由己知得c=2,所以椭圆的方程为［+/—=1,

a2a2-4

因为点12,一同在椭圆上，所以卷+拓广=1,解得/=5,

2

因为〃=片_02=5—4=1,所以椭圆的方程为工+>2=1.

5

（2）设P（%,%）,由⑴知3（0,1）,

因为|ON|=|OF|,所以N（0,-2）,所以尸8的方程为y=*x+l,

当y=0时，了=六，所以Ml：3」,。），

k•卜小=——----1<=>7—2y„—5=0

因为OPLMN,所以°op，MN%几几,

1-%

解得：%=-1-因为P（%,%）在椭圆上，所以及=±迥，

所以P（土零所以*=宣病=±号.

7

21.（12分）已知函数y（x）=ln工+以2—3x.

（1）若函数兀i）的图象在点（1,11））处的切线方程为＞=-2,求函数./U）的极小值；

（2）若4=1,对于任意X/,X2^［l,10］,当X/＜X2时，不等式—Z（X2）＞■「恒成立，求实数加的取值

百工2

范围.

【解析】（1）因为7U）=InX+〃/—3x的定义域为（0,+oo）,

所以r（x）=,+2ox-3.

x

由函数7U）的图象在点（1，式1））处的切线方程为y=-2,

得r（l）=l+2。—3=0,解得4=1.

此时f\x）=-+2x-3=（2xT）d）.

XX

令f'（X）=0,得x=l或x=；.

当和（l,+oo）时，/（x）＞0；

当时，/（x）＜0.

所以函数凡。在（o,£|和（1,十与上单调递增，在上单调递减，

所以当x=l时，函数/U）取得极小值y（l）=ln1+1-3--2.

（2）由a=1得/U）=lnx+x2—3x.

m（x.-x.），一八、

因为对于任意打，X2［1,10］,当内＜%2时，=怛成立，

X\X2

所以对于任意制，10］,

mm

当X/VX2时，/（斗）---＞/（x2）---恒成立，

X“2

所以函数y=/（x）-竺在［1,10］上单调递减.

X

^/z（x）=/（%）--=Inx+x2-3x--xE［l,10］,

xx

Im

所以"。）=一+2工-3+”40在口，10］上恒成立，

xx

则mg—2x'+3x2—不在［1,10］上恒成立.

设Fa）=—2r'+3f—10］）,

则尸（x）=-6/+6x—1==-6（x-g）+；.

当xw［i,io］时，r（x）＜o,所以函数尸（］）在u，io］上单调递减,

所以F(x)min=F(10)=-2xl0J+3xl02-10=-1710,

所以，胫一1710,故实数的取值范围为(-8,-1710］.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.己知直线/的参数方

=1+/cosa,

程为(f为参数，0<a<乃),曲线C的极坐标方程为夕sin20=4cos。.

［y=fsina

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C相交于A,8两点，当a变化时，求的最小值.

(解析】(1)由psiirO=4cos9,得(psi“。)。=4pcosO,

曲线C的直角坐标方程为y2=4x.

(2)将直线I的参数方程代入丁=4x得到thiira-4tcosa-4=0.

设A,B两点对应的参数分别为6,t2,

n,,4cosa4

4

|=,一丫=在+，2)2-4优>4,

sbva

当a=］■JT时取到等号.

AlABl.=4.

Iunin

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(x)=|2x+4|+|x—2］

⑴解不等式/(x)>7

(2)设函数的最小值为若正实数m4c满足〃+%+攵=",求?3+：2+」1的最小值.

abc

(3)若数列｛4｝满足q=a(a4—2或a±0,a为常数)，3a,m=/(a,J(neN*),求数列｛4｝的前项和S..

-3x-2,工，—2

［解析［(l)/(x)=|2x+4|+|x-2|=,x+6,-2<x<2,

3x+2,x..2

-3x-2>7\x+6>73x+2>7

若/⑴>7,即.2或02c<2或1.2

解得xv—3或lvxv2或xN2.

...不等式/。)>7的解集为｛x|x<-3或x>l｝；

⑵由(1)知，当％=-2时，f(x)„lin=4=M,即。+必+3。=4,

32I

3+a+i=i++(4+2〃+3C)=J

abc4abc

时取等号，即所求最小值为4+2石.

Q

(3)①当a4时，

3a2=f(a})=-3a-2,解得