考点05 诱导公式及恒等变换（解析版）

考点05诱导公式及恒等变换

三角函数的诱导公式

1.公式

公式—■二三四五六

71

角(氏兀兀+a

2E+a£Z)~a-a+a2~a2

正弦sina"sinasina—sinacosacosa

余弦cosacosa—cosa—cosasina—sina

正切tana-tana一tanatana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

2.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限

①“奇”与“偶”指的是k卷+a中的整数％是奇数还是偶数.

②“变”与“不变”是指函数名称的变化，若女是奇数，则正、余弦互变；若忆为偶数，则函数名称不变

（3）“符号看象限”指的是在上方+a中，将a看成锐角时左3+a所在的象限.

二.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

l.cos(a—^)=cos6tcos夕+sinasin§cos(a+y5)=cosacos/?—sinasin/7........”同名相乘，符号反“

2.sin(a一夕)=sinacos//—cosccsin0sin(a+0=sinacos^3+cosctsin0---“异名相乘，符号同“

一.

3.tan(a—0=ta^n^a嬴-ta菰n5忐tan<«+,^=1t-atnaan+attaann^5g----------zz上,M同„开'下1异万相乘

三.二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa--sin2a=sinacosa.

2

(2)cosla=cos2a-sin2a—2cos2a_1=1—2sin2a

2cos2a=l+cos2a<=>cos2a=—(1+cos2a)

2

2sin2a=1-cosa2a<=>sin2a=—(1—cos2a)

2

2tana

(3)tanla—

1—tan%

考点一诱导公式之化简

【例1】（1）（2021•重庆•西南大学附中高三阶段练习）cos12900)

r73

ABV«1D

-?-42--T

1\7l

COS-------aL.I2sin。-cosa/、

（2）（2021•重庆南开中学高三阶段练习）已知‘2、，贝Ij----------------=()

一，sma+cosa

cos(i+c)

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】（1）D（2）D

【解析】（1）由三角函数的诱导公式，可得：cos1290°=cos（360°+210°）=cos2100

=««(180。+30。)=-cos30。=一等.故选：D.

八I门=»-sine?।2sina-cosa2tan«-1「一仁

(2)由题意------=tancr=-2,贝ij-----------------------------=5.故选：D.

-cosasincr+cosatantz+1

【变式训练】

1.（2021•北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知角a的终边经过,求cos(a一]

【答案】4

=1,所以sina=-且，从而

【解析】•・•角〃的终边经过

2

71=疝。=-哼・故答案为：-

cos

3

2.（2021•宁夏•吴忠中学高三阶段练习（文））若sin[]+a-,则cos(乃-a)=(

A.-|4

BC.D

-i5-?

【答案】B

333

【解析】v+a所以cosa=-/.cos(1一a)=-cosa=一故选：B.

5

3

3.（2021•河北•大名县第一中学高三阶段练习）已知sina=g,sin2tz<0,则cos^+a）的值为（）

A-1B-4

3

D.

5

【答案】A

3_________

【解析】由sin2a=2sinacosa<0及sina=可知cosa<0,所以cosa=-Jl—sin2a=-_4

-5

一4

LUCOS（K+a）=-cosa=-A.

4.（2021•江苏如皋•高三期中）已知角。的终边与直线x+2y+l=0垂直，sin（5+2可的值为

【答案】-13

【解析】直线x+2y+=。的斜率为-；，角。的终边的斜率为2,.•.36=2,

222

sine+26)=cos20=cos0-sin0l-tan0=-：3故答案为:3

cos20+sin20l+tan2/95

考点二两角和差与二倍角

【例2】（2021•全国•）化简:

(1)sinll°cos29°4-cosll°sin29°；

(2)cos24°cos690+sin24°sin111°；

(3)sin222.5°-cos222.5°；

(4)2sinl50cosl5°;

(5)-sinl5°--cosl5°;

22

ni

(6)—sin15°4--cos15°.

22

【答案】(1)sin40°(2)变(3)一也(4)g(5)一也(6)受

22222

【解析】(1)sin11°cos290+cos11°sin29°=sin(l1°+29°)=sin40°.

(2)由sin111。=sin(l80°-69°)=sin69°,

cos24°cos690+sin24°sinl11°=cos24°cos690+sin24°sin69°=cos(69°-24°)=cos45°=

(3)sin222.5°-cos222.5°=-(cos222.5°-sin222.5°)=—cos45。=—孝.

(4)2sinl50cosl5°=sin30o=—.

2

(5)-sin!5°-—cosl50=sinl50cos600-cos15°sin60°=sin(l5°-60°)=-sin45°=--.

222

(6)sin150+-cos15°=sin15°cos30°+cos15°sin30°=sin(l5°+30°)=sin45°=—.

222

【变式训练】

1.（2021•天津蓟州•高三期中）已知tana=g,则tan（芳+a卜.

【答案】2

■，5万、f71：\（71\1+tana4-一

【解析】tan——+cr=tan^+—+a=tan—+cr=----------=—^~=2.故答案为：2.

V4）<4J^4）l-tana「J

sin1100°-2sin100O,

2.（2021・河南）计算:-------------------------------=（）

cos160°

A.1B.6C.2D.2>/3

【答案】B

sin11000-2sin100°sin（1080°+20）-2sin（90°+10°）2cos100-sin20°

【解析】依题意,

cos160°一cos（180。-20。）-cos20°

_2cos（30。-20。）-sin20。_ecos20°+sin20°-sin20°_百cos20°_旧故选R

cos20°cos20°cos20°

3.（2021•云南）已知80二=一骼（0<1<乃），则tan（a+?）=（）

A.--B.-C.-3D.3

33

【答案】A

【解析】cosa=-^^（0<a<乃），.,•工VaVmsina=\l1-cos12a=^^-»..tana==一2,

5725cosa

（万）tana+11.

/.tana+-\=-------=故选：A.

k4J1-tancr3

4.（2021•河南）化简函数），=V5sinx-COSX=.

5.（2021•全国•）化简:

（1）cosl00°cos400+sin80°sin40°；

（2）cos80°cos55°-cos10°cos35°；

0

V2

-十

225°

V2也

2一

一2

【答案】(1)；(2)--(3)昱(4)

2222

【解析】(1)cos100°cos400+sin80°sin40°=-cos80°cos400+sin80°sin40°=-cos(80°+40°)=-cos120°=-；

2

0

(2)cos80°cos550-cos10°cos350=sin10°cos550-cos10°sin55°=sin(10°-55°)=_sin45=--；

2

(3)^-sin15°+cos150=cos45°sin15°+sin45°cos150=sin(45°+15°)=sin600=—;

/n/n]

(4)--sin150-----cos15°=sin450sin15°-cos45°cos15°=-cos(45°+15°)=-cos60°=--.

222

考点三角的拼凑

jr12冗

【例3-1](2021•全国•高一课时练习)已知tan(]—a)=Q,则tan(-^-+a)=()

-亚B.--C.-D.亚

3333

【答案】B

2乃717t71I

【解析】根据题意，tan(—+a)=tan[^r+(--+a)]=tan(--+a)=-tan(—：B.

33333

【例3・2】(2021•湖南•沅江市第一中学高三阶段练习)若sin(a+£|=|,则sin"a-f=(

)

24_24

A.—B.C.--D.

252525~25

【答案】C

【解析】Z+G2fa+—l=l-2x—=_2_

Vcos|=l-2sin___，

<3J16j2525

.(乃)(71(乃、71,i

/.sin2a——：=-cos—+2a=-cos2a+—=-—,故选：C.

16j126；I3j25

7T4TT

【例3-3](2021・福建•福州三中模拟预测)已知sin(a+^)==,则8式”工)=()

356

4_433

A.-BC.・-D.

5.~555

【答案】A

[解析]令人=二十£,则=则sinA=：,cos(A_[]=sin4=j,故cos(a—g)=:.故选：A

362Jk2.)365

【例3-4](2021•全国•模拟预测)已知sin[a+]j=g,a为第二象限角，则cos(a+蔡)=()

.3710R3M「挑Vio

A.---------D.-----C.-------nu.--------

10101010

【答案】A

【解析】因为a为第二象限角,所以2E+?<a+g<2E+萼(keZ),

又因为sin(a+1=~^~，所以2E+^<a+《<2E+兀(％eZ),

所以cos

.兀

所以cossin—

4

2亚历亚丘3>/10

=-------------X--------------------X--------=-----------------，

525210

故选：A.

sina=^^,sin(a+£)=1,则cos〃=

【例3-5］（2021•吉林•高三阶段练习（文））若a,夕均为锐角,

()

A•半B•芸C.半喈

【答案】B

【解析】明尸均为锐角，sina=¥，则cosa=Vl-sin2a=亭,

sina>sin(c+0,故a+/为钝角，cos(a+=-yj\-sin2+=-^

cos/?=cos(a+/7-a)=cos(a+〃)cosa+sin(a+/?)sina

石42632遍痂部口

=---X—+----x-=----.故选：B

555525

【变式训练】

1.（2021.广东•普宁市华侨中学高三期中）已知。£（0,兀5伸1+7（1）=-|,则cosa=

23

【答案】*

(兀71(7C)7冗1.(n\.7l71正[A/3_V15-2

【解析】•・•cosa=cosa+--=--cosa+--cos—+sina+—sin—=+

I3333333J26

故答案为：巫二

6

JT32a-"的值为（

2.（2021•海南华侨中学高三阶段练习）设。为锐角，若cosm+7）=-=,则sin)

o5

D16]_

A。4B.—C.

255

【答案】D

【解析】因为cos（a+^）=-|,所以cos（2a+1^=2cos2（a+?）-l二-±,

所以sin12a-V）=sin（2a+?—3=-cos（2a+?）=故选：D.

3.（2021•福建•莆田第二十五中学高三期中）已知sin（《-a卜;，则sin仁-2a）等于（

)

77.1

A.B.cD.

88-士：8

【答案】B

【解析】sin仁一2aJ=sin7171271_7

-a=-cos2=-l-2sin~~a

313-8

故选：B

考点四恒等变化

cos(a-80)

【例4-1】（2021•湖南师大附中高三阶段练习）若tana=2tanl0,则)

sin(a-10]

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

[解析1tana=2tanl0，

.cos(a-80)_cos(a+10-90)_sin(a+10)sinacoslO+cosasinl0_tana+tan10z_3tanlO

sin(a-10]sin(a-10)sin(a-lO')sinacoslO-cosasin100tana-tan10tanlO:

故选：C.

【例4-2】(2021•云南•昆明一中)sin40°tan10°)=.

【答案】1

【解析】sin4/（C"40。产罂）「4。。（?方一9⑺.

(ni、

2sin40°\coslO°--sinlO°2sin40o(cos300cosl0°-sin3O°sinlO°)_2而40。8$400_sin80。]

=------------------------------------------cos10°cos10°cos10°

cos10°

故答案为：1

【变式训练】

1.(2021.河南宋基信阳实验中学)&-----?—=.

sin200sin70°

【答案】4

28cos20°」sin20°

22

【解析】且______!_百cos200-sin20°IL2sin(60°-20°)

=4­

sin20°sin70°sin200cos20°sin20°cos200

-sin40°

2

故答案为：4.

sinl2°(2cos2120-l)

2.（2021•云南•昆明一中））

G-tan12°

【答案】I

o

J_c；n42°i

［解析］因为sinl2Q(2cos2_sin12。8S12。以＞$24。_4、_1.故答案为：-

x/3-tanl2°一73cos120-sin120-2sin480~88

3.(2021•广东•高三阶段练习)已知COS36。：叵1，则8$108。=.

4

【答案】上正

4

【解析】108=3x36,设x=36°,则cos108°=cos3x，

cos3x=cos(JH-2X)=cosxcos2x-sinxsin2x=cosx(2cos2x-1)-sinx-2sinx-cosx

=coa¥(2cos2x-l-2sin2x)=cosx•2cos2x-1-20-cos2x)J=icos2cos2x-1-2+2cos2x

=cosx(4cos2工-3)

丁cos户"r,cos?尸3+班,代入上式得，cosl08=cos3x=-——•

484

故答案为：三叵.

4

4.(2021・全国•高二课时练习e)in求1(黑)0+COS7芸0°的值________________

sin800+cos20°

【答案】2-6

sinl0°+cos70ocos800+cos70°_cos(75°+5°)+cos(75°-5°)

【解析】

sin800+cos200-sin800+sin70°-sin(75。+5。)+sin(75。-5。)

2cos75°cos5°_1J1-tan30°tan45°

2sin75°cos5°tan75°tan(30°+45°)-tan300+tan45°

1.(2021•广西玉林)若cosa=-Lsinf当+2a]=()

3I2)

八77

A.1B.--C.-D.——

9999

【答案】c

【解析】VCOS6Z=-^,・,.sin(/+2a；27

|=-cos2a=l-2cos2a=l-g=§,故选：C.

则cos(/-2a)+cos2a=()

2.（2021•云南师大附中）若tana=2,

71

A.一一B.——C.-D.-

5555

【答案】A

【解析】2;>6.cos2«-sin2a-2sinacosa

cos-2aj+cos2a=cos«-sina—2sinacosa=-------------------------------

sin'a+cosa

1-tan2«-2tantz1-22-2x27

tan2a+l22+15

故选：A.

3.（2021•江苏南京•高三阶段练习）已知cos6=g,则sin（29+5）=（）

77八22

A.一一B.-C.-D.——

9933

【答案】A

【解析】由题意可知，sin（2，+]）=cos2，=2cos?6-1=2x（g）-1=-^,故选：A.

4.（2021•四川攀枝花）已知角a的终边经过点（-2,不），则sin[]-2a）=（）

A.一还B.-1cd

99-1-¥

【答案】B

【解析】由题设，sina=@,sin(g-2a〕=cos2a=l-2sin2a=-!.故选：B

312)9.一.”

3

5.（2021•河南•高三阶段练习（理））已知sin37°=—,则cos593°=()

A33八44

A.-B.--C.一D.——

5555

【答案】B

【解析】cos5930=cos(720°-127°)=cos(2x360°-127°)=cos(-127°)=cos(127°)

=cos(9(T+37。)=-sin37。=-g故选：B.

6.（2021•甘肃・静宁县第一中学高一阶段练习（文））若tan（a+?24

=4,则tan-----a

5

A-iC.4D.-4

【答案】D

2兀-tan”幺+兀

【解析】因为tana-----

5I5

2TT

所以tan-----a

5

3

7.（2021・重庆一中高三阶段练习）已知85（0+60。）=,，则§m（210。-0二（）

43

BcD.

5-1-45

【答案】D

3

【解析】5皿（210。一1）=汨（270。一（60。+。））=一8$（60。+。）=一］.故选：D.

a-?）=；,则cos（2,

8.（2021•四川•东辰国际学校三模（文））已知sin

7227

A.——B.——C.-D.-

9339

【答案】D

【解析】时20-?）=1-2时”讣1-2、3=（故选：D.

7F

9.（2021•四川•射洪中学）己知角。的终边经过点（3,-4）,贝^。式］-々）=.

4

【答案】-y

【解析】因角a的终边经过点（3,T）,则该点到原点的距离〃=上==5,于是得sina=-g,

乃44

所以cos（彳—e）=sina=-1.故答案为：——

255

10.（2021•上海长宁•一模）在直角坐标系X。'中，角a的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角a的

终边经过点（-3,4）,则sin（a+m=

【答案】=4

［解析］+故答案为：

11.（2021•黑龙江•哈尔滨三中）sin14°cos160+sin104°cos74°=

【答案】］

2

【解析】Qsin1040=sin(90°+14°)=cos140,cos74°=cos(90°-16°)=sin16°

利用两角和的正弦公式可得：

sin14°cos160+sin104°cos74°=sin14°cos160+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=1,故答案为：!

12.（2021•浙江•无高三阶段练习）已知角。的终边在直线x-2y=0上，则tan*

cos126+与

【答案】y1|4

【解析】由直线x-2y=0的斜率为则tan6=g,又cos（26+31=sin2”2吗=±

1+tan2^5

14

故答案为：—.

Qsincr4-cos(7

13.（2021•湖南•高三阶段练习）若锐角。满足tan2a=-不，则tan0=

'sina+3cos(4一a)

【答案】45

【解析】因为tan2a=2tan7=一色,所以tana=-!或4,又。为锐角，所以tana=4,

1-tan*^a154

sina+cosasina+cos。tana+1「

所以-777\~~=5.故答案为：4,5

sma+3cos(%-a)sina-3cosatana-3

14.(2021•北京四中高三期中)已知a为第三象限角，且tana=3,则sin(,-4)=；cos(a+?)=

【答案]巫

105

31

【解析】因为a为第三象限角，且tana=3,所以sina=-水，

vIU\J\\J

3Mcos(a+?)=q^cosa-sina)=¥.故答案为：9乎

贝！Jsin(a—万)=-sina=-----；

10

15.（2021"苏•南京市第一中学高三期中）已知sin（3乃+a）=2sin作+a],则城",2a

I2）1+cos~a

【答案】|4

【解析】因为sin（3»+a）=2sin+所以一sina=-2cosa,即tana=2,

匚匚sirTa+sm2asirra+2sinacosatan~a+2tana2"+2x24m找W小4

m以-------：------=—」--------；----=-----z-----------=—：-----=—.故合茶为：；

l+cos~asin-a+2cos~atan-a+22+233

裂a）的值是.

16.（2021•山东荷泽•高三期中）已知角。的终边经过点（T,3）,则cos

【答案】-13

【解析】解：已知角a的终边经过点(T,3),根据三角形的定义可知x=T,y=3,r=J^7=5,

根据三角函数定义：sina=』，所以Sinan］，；cos［孚-a］=-sina=-1.故答案为：-

r5\2)55

17(2021•江苏镇江•高三期中)已知sina+«cosa=2f，贝ijsin(2a+奈卜.

【答案】0

【解析】因为sina+#cosa=半，故可得sin(a+()=#

（2a+£|=sin[2（a+£|—”-cos+?）]=2sii?（a+

则sin-l=2x-1=0.

故答案为：0.

18.（2021•河南）己知tana=3,tan（a-/7）=-2,贝iJtan/7=

【答案】-1

tana-tan（a-尸）_3-（-2）

【解析】由已知可得,tanp=tan[a-（a-夕）]==T.故答案为:

1+tanatan（a-，）1+3x（-2）

19.(2021•山东聊城一中高三期中)已知函数y=log“(x-2)+4(。>0,。工1)的图象恒过点定点A,若角a终

边经过点A,贝ljsin2a+sin(a+m)=.

9

【答案】

【解析】因为函数y=iog“x的图象恒过定点(1,0),

所以函数y=log,,(x—2)+4(a>0,a41)的图象恒过定点(3,4),A(3,4).

因为角a终边经过点A（3,4）,由二角函数的定义可得：sina=，cosa=|.

（3万、43399

所以sin2a+sin|a+—=2sinacosa-cosa=2x—x------=~■,故答案为：一.

\>2y5552525

20.（2021•四川）已知tan（7t+e）=2,则sin（26+（）=_______.

【答案】也

10

【解析】因为tan（兀+6）=2,由诱导公式得：tan（兀+6）=tan6=2

LL7--八2sin0cos02tan64

所以sm20=——z-----=———=一

sin20+cos20tan2^+15

2322

r八cossin01-tan01-43

cos29----------------——----------=-----=—，

cos-0+sin201+tan201+45

.(g,nOzj.兀_4y/2(3]及-为近

I4；4452I5j21010

I~----------------------------------------

1.(2021•云南师大附中)已知sin。—2cos6=0,则sm"+sm(]+")二()

sin。

3i

A.3B.—C.—D.—1

22

【答案】B

sinO+sin]]+夕

【解析】因为sin6-2cose=0,故可得:tan6=2.原式=sin。+cos夕=i+-L=3.

sin。sin。tan。2

故选：B.

已知cos[+.)=：

2.(2021•四川泸州）,则sin2x=()

A.二C.」7

D.

999

【答案】D

(Q=；，得郎21+£|1+cos|2x4---|7

【解析】由COSx