考前定心卷02（解析版）-2022年新高考数学提分精练（新高考地区专用）

考前定心卷02

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|-24x43},8={x|-14xvg）,则人03=（）

A.[-1,3]B.（-8,-1）53,田）C.12,g）D.[-2,3]

【答案】A

【解析】

【分析】

利用交集的概念运算即可得答案.

【详解】

因为集合4=卜|-24出3},8=卜|一14》44，

所以AcB={x|-14x43},即AnS=[T,3]

故选：A.

2.已知复数z满足z（4-3i）=3+4i,则复数z的虚部是（）

A.iB.1C.—iD.—1

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据复数的除法运算求出复数z,即可求解z的虚部.

【详解】

3+4i_（3+4i）（4+3i）_25ij

解：解法一：由z（4-3i）=3+4i得

4-3i-（4-3i）（4+3i）"25

复数z的虚部是1.

解法二：设z=a+Z?i（a,beR）,

由z（4-3i）=3+4i得（a+历）（4-3i）=3+4i,即4a+38+（4/?-3a）i=3+4i,

4a+34=3a=0

所以,解得

4b—3。=4h=\

...复数Z的虚部是1.

故选:B.

i_1

3.已知向量。=（1,一2）,6=（1,几），则“2＜：”是与坂的夹角为锐角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据2与•的夹角为锐角求出力的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案.

【详解】

当2与B的夹角为锐角时，公④>0且7H不不共线，

[l-2A>01

即ICZX»***>1<-11/1^—2，

[2+2^02

，“兀<g”是“£与5的夹角为锐角”的必要不充分条件.

故选：B.

4.己知抛物线V=2px（p>0）的准线与x轴交于点“，点/到直线y=x+l的距离为0,

则。的值为（）

A.—B.y/2C.2D.6

2

【答案】D

【解析】

【分析】

易得M坐标为卜0）,再根据点到线的距离求解。的值即可

【详解】

由已知抛物线的准线4x轴的交点M坐标为其到直线x-y+1=0的距离

-K-0+1

=后解得（舍去）.

d=2_____P=6p=-2

VF+T

故选：D.

5.如图，己知某圆锥形容器的轴截面是面积为166的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，

使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的则圆柱的体积为（）

A.44B.8万C.4\取D.8七

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，作出轴截面图，进而根据轴截面的面积得正三角形边长为8,再结合题意得圆柱

的底面半径为2,高为26，进而计算体积即可.

【详解】

解：如图，作出轴截面，则根据题意，口/lBC为正三角形，且面积为166，

所以，设正三角形的边长为2a，则AB=AC=BC=24,OC=&a,

所以，16G=1x2ax6a,解得a=4,

2

因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的g,,

所以。E=1OC=2后，OD=\OA=2,即圆柱的底面半径为2,高为26，

所以，圆柱的体积为y=4%x26=86r

故选：D

6.我国古代数学家僧一行应用“九服唇影算法”在《大衍历》中建立了唇影长/与太阳天顶距

6（0。464180。）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可

知，唇影长度/等于表高〃与太阳天顶距9正切值的乘积，即/=〃tan®.对同一“表高”两次测

量，第一次和第二次太阳天顶距分别为a,P,若第一次的“唇影长”是“表高”的3倍，且

tan(a-/?)=l,则第二次的喔影长”是“表高”的()倍.

257

A.1B.-C.-D.一

322

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得tana=3,tan(a-0=；,再根据血尸:的心一心-广才结合两角差的正切公

式即可得解.

【详解】

解：由题意可得tana=3,tan(a-/7)=g,

tanof-tan(6Z-/7)

所以tan夕=tan[a-(a-/7)]=

1+tancrtan(a-/?)l+3x-

2

即第二次的“号影长''是"表高”的1倍.

故选：A.

7.在EJABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB=3bsinA-6cosA,则(“+"

ab

的取值范围是()

A.[3,5]B.[4,6]C.[4,2+V13]D.[4,2+715]

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理川得，sinC=3sinAsinB,由基本不等式可求出担或的最小值，再根据余

ab

弦定理以及正弦定理可将心包化成关于角C的函数，利用三角函数的性质即可求出最大

ab

值，从而得到取值范围.

【详解】

因为acos3=3加inA—Z?cosA,由正弦定理得sinAcos3=3sinBsinA—sin3cosA,即

sinC=3sinAsinB.

("+")-=/+02+2%她=4,当且仅当。=6时取等号.

ababab

rpi，272c,=与二I”(a+b)Q-+b-+2abc~+2aZ?cosC_c~

因为c=a+/r-2abcosC，所以=-----------=2+------------=2+2cosC+一

abababab

=2+2cosC+—=3sinC+2cosC+2=V13sin(C+ffl)+2,其中tane=；ee(0,=],

sinAsin8v13I

而0<C<兀，所以当C+s=g时，(”+“)-取最大值2+g.即("+“)-的取值范围是

2abab

[4.2+VI3].

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思

想将所求式子转化成关于角C的函数，再结合辅助角公式求出其最大值.

(xxN0

8.己知函数/(x)=；一八，若方程〃x)=ae"有两个不相等的实数根，则实数〃的取

I—X,X<U

值范围为()

【答案】B

【解析】

【分析】

等价转化之后数形结合，转化为两函数图象交点个数来处理

【详解】

—,x>0

e，

/(x)=aevoa=<

-x2

—-,x<0

e

JxNO

设g(x)=(e、

-x-

~~^x<0

当时，g〈x)=g^

所以当0Mx<l时，g'(x)>o,g(x)单调递增;

当x>l时,g'(x)<0,g(x)单调递减

X=1时，g(x)取得极大值;

当X趋向于+8,g(x)趋向于0

当％<0时,g'(x)=x(x：2)>0,g(x)单调递增

依题意可知，直线x=”与g(x)的图象有两个不同的交点

如图所示，”的取值范围为

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知曲线C的方程为片+上=1(〃*0,〃R6,〃€R),则下列说法正确的是()

n6-n

A.当〃>6时，曲线C是焦点在％轴上的双曲线

B.当0<“<6时，曲线C是椭圆

C.若实数”的值为2,则曲线C的离心率为亚

2

D.存在实数〃，使得曲线C表示渐近线方程为y=±x的双曲线

【答案】AC

【解析】

【分析】

对A,根据双曲线方程的性质求解即可；

对B,举反例判断即可；

对c,根据离心率的公式求解即可；

对D,根据渐近线的方程与双曲线方程关系求解判断即可

【详解】

22

对A,当〃>6时，〃-6>0,曲线C的方程为工-工=1,表示焦力:在x轴」:的双曲线，

nn-6

故A正确；

对B,当〃=3时，曲线C为f+y2=3,曲线C表示圆，故B不正确；

对C,n=2,曲线C表示椭圆，焦点在y轴上，可得e=£==正，故选项C正确；

a2

对D,假设存在实数〃，使得曲线C表示渐近线方程为y=±x的双曲线,此时有m（6-〃）<0,

得〃<0或”>6,当〃<0时，6-n=-n,无解；当〃>6时，n=-（6-n）,无解，所以满足

题意的实数〃不存在，故D不正确.

故选：AC.

10.为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区三个县市在2021年建

档立卡人员年人均收人提升状况.经统计，A县建档立卡人员年人均收人提升状况用饼状图

表示，B县建档立卡人员年人均收人提升状况用条形图表示，C县建档立卡人员年人均收入

提升的均值为122（百元），方差为4,A,B,C三县建档立卡人数比例为3：4：5,则下列

A.A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122

B.8县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6

C.估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元

D.C县精准扶贫的效果最好

【答案】BCD

【解析】

【分析】

A.利用均值公式求解；B.先求得平均数，再利用方差公式求解：C.利用均值公式求解；D.

利用平均数和方差判断.

【详解】

711

A.A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为123x^+114x^+121x：=121,故错

1264

误；

B.B县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为

115x10%+117x20%+119x50%+123x20%=119,

8县建档立卡人员年人均收入提升的方差为

(115-119)2X0.1+(117-119)2X0.2+(119-119)2XO.5+(123-119)2XO.2=5.6,

故正确；

C.该地区建档立卡人员的年人均收入提升：*x(121x3+119x4+122x5)=120.75百元，故

正确；

D.A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为

g[(123-121『+(114-121)2+(⑵=17.7,

所以又C>GA>》A，S2C<S：<S2A，故C县精准扶贫的效果最好，故正确；

故选：BCD

11.已知，ne2"+(，〃-2)e"-a=〃?e"'+(，〃-2)e'',则()

A.当〃ze(-l,O),a,6w(-oo,0)时,a>b

B.当n?w(T,O),a,be(-oo,0)时，a<b

C.当，a,b«0,+oo)时，a>h

D.当a,b«0,+oo)时,a<b

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据等号两边式子的结构特征构造函数/(x),利用导数分类讨论函数/(x)的单调性进行求解.

【详解】

设/(x)=〃花”'+(m-2)ex-x,

因为，Me?"+(m-2)ea—a=me2b+(m-2)e”,

所以/(a)=/(b)+6,当仁6e(9,0)时，

/⑷-f(b)=b<0,即/⑷</(〃).

易知/(x)=(，m'-*21+1),

当1,0)时，/'(x)<0,所以/(x)在(—e,0)上单调递减，

所以”>b,故选项A正确，选项B错误.

当力«0,用)时,f{a)-f[b)=b>G,即/⑷>/(b).

当nze(l,2)时，令/'(x)=0,解得x=-lnm,

所以f(x)在(y°,Tn")上单调递减，在(Tn%,+oo)上单调递增，

所以“>〃，故选项C正确，选项D错误.

故选：AC.

12.如图，已知三棱柱ABC-%瓦G的底面是边长为1的正三角形，NAA8=NAAC=60。,

M是棱2c上一点(与端点不重合)，则()

A.BClAAt

B.平面平面BBgC

C,三棱锥Bi-AiQM的体积为定值

D.当AA=I时，A”长度的最小值为走

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

A：取BC的中点N,连接AN、AN、A/、A(,证明BC_L平面A4N即可；B：当M

为BC中点时，易知平面A41MJ_平面54GC,不为中点时，平面A41M_L平面不成

立;C:根据根-AG"5G即可判断；D：过点4作A。，平面ABC,垂足为。，易知。

在4V上.在口445中，作AQLAB,垂足为。，连接设MN=x,根据儿何关系表示

出A何即可求其最小值.

【详解】

对于A,取BC的中点N,连接AN、AZ、AB、AC,易知4V_L8C,丝△^AC,

/.\B=\C,：.\NVBC,

又4VnAN=N,平面AAN,，BCLAA，故A正确.

对于B,由选项A知，当”为BC的中点时，BCJ_平面他用，

,/BCu平面.•.平面AAtM1平面BB&C,

当M不为BC的中点时，平面AAtM，平面BBCC不成立，故B错误；

对于c,易知3c〃平面A4G，则点M到平面4gG的距离为定值，又△ABC的面积为

定值，=V"-"吗G为定值，故©正确.

对于D,取BC的中点N,连接AN、\B,过点人作A。，平面ABC,垂足为。，易知。

在AN上.在口4A8中，作垂足为。，连接00.

AAi=\,N4A£>=60。，AO=g,

易知A01AB,ABA.A.D,故A81,平面A。。，故A8_L。。,

在RtEA。。中，NOAO=30。，：.0A=AD=—,

cos3003

OA.=JAA；-OA2=—,ON=AN-OA=—.

1V136

设MN=x,则04X<L连接OM,

2

2222

则AtM=yJOA^+OM=y]OA；+ON+MN=J1+x>亭，

当且仅当x=0,即M为BC的中点时等号成立，

A例长度的最小值为赵，故D正确.

2

故选：ACD.

【点睛】

本题以三棱柱为载体，设置不同的选项，多维度考查立体几何的有关知识，设题方式灵活,

对考生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高，重视对数学本质的考查.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若(l+2x)(l—x+x?)=&++,••+a”"',则q+a?"**~"i8=*

【答案】0

【解析】

【分析】

根据题意,令x=l得3=%+%+出+…+q9，x=0得1=%,再求解％9=2即可得答案.

【详解】

解：因为(1+2幻(1一%+九2)9=。0+4/+4*2+…+4/凶，

所以，令x=1得(1+2)(1—1+1~)=3=%+4+%+…+49，

令x=0得(1+0)0-0+02)=l=aQ,

1929

另-方面，6719x=2x-q(x)=2Z\即/=2,

所以%+C1-,H-----=(/+q+叼+…+。19)一“0—《9=3-]—2=0.

故答案为：0

14.己知函数“X)的定义域为R,且/(T)=〃X),/(l-x)=-/(x),若于

16

【答案】-1##-0.2

【解析】

【分析】

由已知得出函数的周期，然后利用周期性及已知式求值.

【详解】

由(X),得〃I+X)=—〃T),又〃T)=F(X),所以〃i+x)=-/"),得

“x+2)=-/(x+l)=-(-/(x))=/(x),

16

所以/1+-

故答案为：-y.

15.已知数列｛叫的前〃项和S,=2"-1,数列他,｝满足伉=4,hn+l=2a„+3b„,neN\则

也｝的通项公式为.

n

【答案】bn=3-2"##b„=-2"+3"

【解析】

【分析】

利用4和S“关系可求出｛%｝通项公式，再利用递推关系可得｛"+2"｝是以3为首项，3为公

比的等比数列，即可求出.

【详解】

当〃=1时，q=S[=一1=1,所以4=1.

当〃22时，％=S“—S,i=2"—2"T=2〃T,当〃=1时，也符合上式,故4=2"」.

因为4=1,%=2"+3b,,,所以hn+l+2向=2"+3〃,+2向=3仅,+2"）,

即数列也+2"｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以〃+2"=3",即么=3"-2".

a

故答案为：bn=y-2.

16.把〉：国!!》的图象向右平移0（0＜0＜5）个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原

来的3倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍.得到函数/'3）的图象，若

/（x）＜对VxeR成立.

IT57r

①/（X）的一个单调递减区间为；

J0

②/（X）的图象向右平移加机＞0）个单位得到的函数是一个偶函数，则，”的最小值为T；

③/（X）的对称中心为1万■+五eZ）；

④若关于x的方程2"（x）f+叭x）+l=0在区间上有两个不相等的实根，则”的取

值范围为[-3,-2夜）.

其中，判断正确的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据平移得/（x）=2sin（2x-e）,山陪卜I。的范围解得。，再根据x的范围和

y=2sinf的单调性可判断①；求出〃x）向右平移制机＞0）个单位的解析式，利用诱导公式和

加的范围可判断②；求出/（x）的对称中心可判断③；令f=2x-g,转化为2s2+〃s+l=O在

6

[0,1]上有两个不相等的实根，根据二次函数根的分布可判断④.

【详解】

根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：/（x）=2sin（2x-e）,

'•./（X）及值=/（弓），'2*？-。=E+W，左€2,解得P=-E+J,kwZ,

JJ26

•/0<6?<—,“=£J(x)=2sin(2x-J

26

、[,兀5兀7T7T37r7jr13兀

当,——,「2x-/-,时，—在-上单调递减，①正确;

366y2'>2T

IM的图象向右平移皿，〃>0）个单位得到的函数是

y=2sin（2（尤一加）一看=2$也（2%一专一2根）是一个偶函数,

l।兀­兀，&7C7C.__7C>/it»m

则一二一2机=<=-----,^sZ,•/m>0,m=-,②错质；

6223m6in

令2.七也"号+去皿，所以削的对称中心为舁展,。（丘Z）,

故③正确;

兀7兀3兀兀55兀兀

—,——,/=2x——E—，兀,y=2sinf,所以yw[O,l],

21266

令S=/（X）,S£[O,l],则关于X的方程2"（切2+植。）+1=0在区间上有两个不相等

的实根等价于2d+小+1=o在[0,1]上有两个不相等的实根,

设g（s）=2s2+ns+l,则函数与X轴有两个交点，函数对称轴为s=-g,实数“满足

6

0<--<1

4

.g（O）=l>°,解得：一34〃<-2夜，所以④正确.

g⑴=3+〃20

A=/I2-8>0

故答案为：①③④.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设数列｛q｝的前〃项和为s“，已知4=2,a„+l=25„+2.

（1）求｛为｝的通项公式；

⑵若anb„=jn,求数列也｝的前〃项和7“.

【答案】⑴4=2x3"一

【解析】

【分析】

(I)根据川=2S“+2以及a„=S„-S„_t，即可求解数列｛4｝的通项公式；

(2)将数列｛%｝的通项公式带入数列｛2｝,进行化简，利用错位相减法进行求解.

(1)

a“+i=2S“+2,①

当“22时，a„=2sM+2,②

①-②得%-a.=2(S“-S“_J=2%,.•.%=3a“("22),，T=3,

a6

a,=2,/.a2=2S,+2=6,■^•=5=3也满足上式，

，｛%｝为等比数列且首项为2,公比为3,••.a“=a「3"T=2-3"T.

即｛4｝的通项公式为4=2x3"!

(2)

,f2nn

由(1)知凡=2X3〃T,所以""=/=踵，

令北=5+孕+・・・+^"+诃，①

1e12n—\n与

得+于+…+亍②

小小和2T1,1,1,,1n3CFJnif,11n

①-②得/=§+三+于+…+3-/==一-产=金行J-严，

-3

所以7

m'n44x3",

18.(12分)

在①AB=2右，②NA£>8=135。，③4MQ=NC这三个条件中任选一个，补充在下面的问

题中，使得问题成立，并求8。的长和DABC的面积.如图，在DABC中，。为BC边上一点，

AD±AC,AD=\,sinABAC=,求30的长和匚45C的面积.注：如果选择多

个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

选条件①：根据sinNB4C=311(90。+NflAD)求得sinN84D,再在△ABO中用正余弦定理

分别求得8。和sinZADB,进而求得AC与匚MC的面积；

选条件②：根据豆11/班。=力11(90。+/皿>)求得311/84。，再求sinB,再在△ABO中，

由正弦定理得43=6，80=0，进而求得面积；

选条件③：根据411/847=5山(90。+/84£>)求得5亩/84。，即sinC,再根据

由13=411(/B4£>+/4。3)计算$出8,再在△ABE)中，由正弦定理得A3,80,进而求得面

积

【详解】

2Is

选条件①，sinZBAC=sin(90°+ZBAD)=cosNBAD=

所以sinZBAD=

在△ABD中，由余弦定理，得8£>=J20+1-2X2&X1X¥=而

2>/5_V13

ABBD

在△AB。中，由正弦定理，得，即sinZADB一万，

sinNADBsinZBAD

5

所以sinNAQB=冬空

13

所以sinZADC=,cosZADC=.，所以tanZ.ADC=—,所以AC=—.

131333

所以口ABC的面积为毡=&

2353

2/s

选条件②，sinNBAC=sin(90°+NBA。)=cosZBAD=学

所以sinNBA。=

且xj叵|+毡x立Vio

所以sinB=sin(NR4D+135°)=

5I2J52i(r

得AB_=BD

在△ABO中，由正弦定理,得ABf,BD=C.

'sinl35°-sinBsinZBAD

因为/4OB=135。，所以NA£)C=45°,所以AC=1,

所以匚43C的面积为L&xlx侦=1.

25

*?/s

选条件③，sinABAC=sin(90°+/BAD)=cos/BAD=曦.

_7|

所以sinZBAD=

一5

因为N8AQ=NC,所以sinC二^^,

5

在心△4CD中，可得cos/AOC=，所以cosNADB=--,sinZA£)B=2叵.

555

所以sin3=sin(ZBAZ)+/ADB)=

在△ABO中，由正弦定理，得「笠心黑=.%＞，得人8=坐回=与

sinZADBsinBsin/.BAD33

因为sinC=好，所以cosC=26，所以tanC=:，所以AC=2.

552

所以14品的面积为k拽x2x述=±

2353

19.（12分）

为了发展中国经济的持续发展制定了从2021年2025年发展纲要，简称“十四五”规划，为了

普及"十四五''的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中,

随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在［70,80）上的人数

没有统计出来.

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

（1）估算这次考试成绩的平均分数;

（2）把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在［80,100］的学员选为“十四五”优秀宣传员,

若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为4,

求4的分布列与数学期望.

【答案】（1）70.5

⑵分布列见解析，数学期望为0.9

【解析】

【分析】

(1)设出分数在［70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图可得矩形的面枳和为1,求出x

的值，再根据平均数的定义，即可求解；

(2)根据频率分布直方图和二项分布的性质，即可求解.

(1)

设分数在［70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图得，

(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)xl0+x=l,解得x=0.25，

可知分数在［70,80)内的频率为0.25,则考试成绩的平均分数为

45x0.10+55x0.15+65x0.2+75x0.25+85x0.25+95x0.05=70.5.

(2)

根据频率分布直方图可知考试成绩在［80,100］的频率为(0.025+0.005)x10=0.3,

则孑=0』,2,3.

P（^=0）=00.3。x0.73=,%=1）=C；0.3x0.7?=

^=2)=C^XO,7=2,%=3)=C；03q禽

故随机变量4的分布列为

40123

34344118927

P

1000100010001000

因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为£《)=3XO.3=O.9.

20.(12分)

如图，已知平面。麻尸，平面ABC。，AB//CD,ADLDC,AB=AO=gcO=1.

(1)求证：BCLDF；

(2)若DRLDF,点尸在线段OF上，且三棱锥P-ACD的体积为g,求二面角P-AC-O的

余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵g

【解析】

【分析】

(1)由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得BC_LB£»,再根据面面垂

直的性质可得BCL平面D3砂，进而得到BC±DF

(2)先证明£>bJ_平面ABCZ),再以。为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥

P-ACO的体积为:得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式

可得二面角的余弦值

(1)

VAB//CD,DALDC,四边形ABC。为直角梯形，

又他=仞=1,8=2,易得BC=叵.

：.BC2+BD2=CD2,二BCA.BD.

:平面平面ABC。，平面DBEFc平面43c£>=8。，8Cu平面A8C。，

...BCJ•平面OBEF,又以'u平面D3£F,二BCLDF.

(2)

,/DFLDB,平面DBEF1.平面ABCD,平面DBEFc平面ABCD=BD,：.DF±平面

ABCD,故可以。为坐标原点，DA，DC，丽的方向分别为x,>,z轴的正方向，建立

如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

V三棱锥尸―ACD的体积为:，,VP_ACD=^XDAXDCXDP=^,

Hp|xlxlx2xDP=l,解得OP=1..•.£）（0,0,0）,P（0,0,l）,A（l,0,0）,C（0,2,0）,

AD?=（0,0,1）,R4=（l,0,-l）,定=（0,2,-1）,设平面PAC的法向量为G=（x,y,z）,

则,[iP无A・n="0（）‘得,|[2xy—-zz==00'令得1=2,...〃-=（2,L2）,

易知平面ACO的一个法向量为丽=（0,0,1）,

IUIMI

/r盟.匕22

costn,DP）=mitfatj=/=-

、/”.网,4+1+43

7

故二面角P—AC—。的余弦值为：.

21.（12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G：/+，=l（a>6>0）经过点[乎,1],椭圆

G：二+4=1的离心率为的迈•

3a3b~3

⑴求椭圆G与椭圆Q的标准方程;

（2）设过原点且斜率存在的直线/与椭圆G相交于A,C两点，点P为椭圆C2的上顶点，直

线必与椭圆C,相交于点B,直线PC与椭圆相交于点。，设EPO4，GPOB,△POC,

口POD的面积分别为5一邑，S3,54,试问率+*是否为定值，若是，求出该定值；若不

»2d4

是，请说明理由.

【答案】⑴G：f+/=i,c2t上+£=1

393

（2）是定值，定值为2

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，求椭圆方程；

（2）首先设A（八力，m/0,直线P4,PC的斜率分别为占，右，直线以分别和椭圆GC

3好+1|PC|

联立方程组，求得点AB的横坐标,并求局的值，将

3（将+3）

面积比值表示为要+3，即可求解.

32，\rt>\\rLf\

（1）

因为椭圆G经过点所以小+5=1，①

因为椭圆G的离心率为立，所以6=且口史=如，

3y/3a3

二C

即尸&，②由①②可得"，

b=1

故椭圆G的标准方程为/+]=1，椭圆c2的标准方程为[+（=i.

（2）

2

设加工0,则C（一八一〃），m2+（=1,即3-〃2=3〉.

由题意知P（0,百），设直线F4,PC的斜率分别为占，J

2

贝Uk\k,=-〃-6h（〃一句（：+句=〃[3=2^=_3

m-mm2nt2m2

（点拨：得到占，42的关系式，为下面消元做准备）

y=k、x+下）

直线丛的方程为），=%》+6,则由，'x2+^=l

I3

消去y得,；+3）x2+2GA=o,

2限

解得x=0或x=则，/?=-

6+3将+3

y=匕元+G

由’X2y2，消去丁得（3攵：+l）x2+65/3^,X=0,

------F--二1

93

解得x=0或x=-绊%,所以点B的横坐标4=-绊%

3K]I13K]I1

2限

所喘1+3

6风

3K?+1

（点拨：因为点p在>轴上，所以可以将线段之比转化为点的横坐标的绝对值之比）

,+1,,

PC_36+1_（kJ_k；+27_k；+27

,PD-3（3^2+9）-9（^2+3）'

因为匚PO4,DPOB的高均为原点到直线PA的距离，

所以1=卷.（将面积比转化为线段氐之比）

因为△POC,11P8的高均为原点到直线PC的距离，所以号=悬，

S\S3PAPC3#+12；+27