矩阵分析课后习题解答

第一章线性空间与线性变换

（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，

答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不

得擅自上传）

例1.1试证，所有〃阶对称矩阵组成也#维线性空间；

所有«阶反对称矩阵组成加产维线性空间.

证明；用及表示〃阶矩阵中除第，.行.第，列的元索为1外，

其余元素全为0的矩阵•用£,（，<八1=1,2,3.”-1）表示n阶

军阵中除第i行第J列元索与第j行第，列元素为1外，其于元素

全为。的矩阵.

显然,扁,&都是对标矩阵，&有“个，&有"（":1）个•不难

证明&是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这八十

攻守=更嘤2个矩阵线性表示此即对称矩阵组成曾山

维线性空间.

同样可证所有，，阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为

“5—1）

2>

评注：欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个

她产维线性空间•只需找出四产个向■线性无关,并且集

合中任何一个向量都可用这口抖个向量线性表示即可•

例1.5在火2X2中求矩阵

「I21

A=

LO3」

—廿「111「111「1n「101

在基E】=,£产»£j=|，品=下的坐

Li】」LioJLooJLoo」

标•

・t方注一设+八星+工抠s+九&

*11110

+h+

.0+北;〕-0oJL00」

故

•}2]「4+小+心+7,X)+

.03」L不+72

于是

X|+X：4-X,4-JT4=1,x,+X,4-X,=2

』+与=0"i=3

解之得

4=3.-3,1,=2,不工-1

即4在段下的坐标为（3,—3,2,一1尸.

方法二应用同构的概念,R”?是一个四维空间，井且可将矩

阵A看作（1.2,0,3）1号,&,昌，瓦可看作（1,1,1,1户，（1.1,1.

o）T,（ia,o,o）T,（i,o,o,o）T.于是有

因此4在局•&,5,当下的坐标为[3,-3,2,-1]T.

评注：只需按照向量坐标定义计算.

例】，6试证：在代"中矩阵

ririr•10

9%—

i.o1.Ll0」-11

线性无关

解：设■①+%及+同*+入户产。

即

**l+—+&+3防+&+-]

==0

-+用+kt+般+A」

于是

鬲+A+3+机=o•3+品+&=o

用+A+4«=0,瓦+A1+0=0

解之得

B=A=A,=A,=0

故66,a线性无关.

例1.10已知R4中的两组基

%=[1，—1,0,0]T,，=[0,1,-1.07，

T

5=[0.0.1,—1了，a4=[l,0,0,l]

A=[2.1♦—1.1JT,冉=[0,3.1,01T,

A=[5.3.2.1尸,A=[6.6,1,3]T.

求，(1)由基，,a,■，a,到基A，向，内屈的过渡矩阵，

(2)求向,f=口,0,1，0丁在基自,民,艮，向下的坐标.

解，(1)设

国-卬必,6,见]产

将6与A，区B&代人上式得

故过渡矩阵

00

-110

01

00

-2一2

12

3_5_

4

~2~2

125

2~2

_3

8

.72~2

⑵设

Tyi

0>2

iA»A>A)

将A，内6坐标代人上式后整理得

r7'

9

8

27

1

T

2

27.

评注：只需将a,旦代人过渡矩阵的定义［伐，

修,6，aJP计算出P-

倒1.12已知

or,=[1,2,1,07,a?=〔一

A=[2,-1,0」]'.A=口，-1,3,71r

求span{6,6}与&pan{A响）的和与交的基和维数•

解：因为

span{6，%>+span{耳）=span{5,区，尾）

由于秩〈6,向♦q}=3,且q,%,耳是向量6,a?,四，鸟的一个

极大线性无关组，所以和空间的维数是3,基为5.6,

方法一设fGspan{ai，.}n«pan{Pi.A）,于是由交空间定

义可知

6=+4a?=16+-A

此即

解之得

*1=—，1，卜2=4/1.八二一必&为任意数）

于是

£=g+ktat=45,2,3"丁（很显然e=/£+Z,A）

所以交空间的维数为1，基为[-5,2,3,4了.

方法二不难知

span（or,,a,}=span{a】，&},span（网，耳}=span{R.Q\}

其中&=[-2,—2.0.17,阳=[一生2,1.0F又span{6,“I

也是线性方程组

・l=孙一2彳4

V

4=2x）—不

的解空间.span（伐，氏。是线性方程组

卜——等J+H

lx2=2JT3".r4

的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组

工=xz--2i^

=24-

113.

0=-于“3+201，

12=不一勺

的解空间，容易求出其基础解系为［-5,2,3,4了，所以交空间的维

数为1,基为［-5,2,3,4了.

评注：本题有几个知识点是很重要的.（1）spaM］,/,…，

6）的基底就是—6的极大线性无关组•维数等于秩{'；

a,}.（2）span{ar|«a2}+span{A—spania,»a?,A♦ft）.

（3）方法一的思路，求交span{%,a?}Plspan{A，区）就是求向量

e,既可由6，%线性表示，又可由伍,区线性表示的那部分向量.

（4）方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联

立方程组的解空间”,将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求

解,

«1.7设RO1.是所有次数小于4的实系数多项式组成的

线性空间，求多项式户（才）=1+2］，在基1,才一1,（不一1儿

（工一1尸下的坐标.

解；方法一（用线性空间理论计算）

R（H）=1+213=

L2」

yt

ar»

=[1,JT~1,（X—I）?,（才一1）〕

JL

又由于

[1,才-1.（-T_1）1（/-D3]

-1—11-1

01-23

=[lHI?，工日

001一3

.0001-

于是pGr）在基1,1-1，（/一1）2,（才一1尸下的坐标为

~yC1-11-1一TT-3-

01一2306

001一306

9001.2-2-

方法二将。（幻=1+2上3根据幕级数公式技工一1展开可

得

户Gr）=1+2/

=?（1）+0（1）（丁-1）+-I）1+-1尸

乙！JI

=3+6（工一1）+6（z—+2（z—1））

因此在基1.工一1,G-I）,.5-1＞下的坐标为[3,6,6,

2了.

评注；按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更

简单一些.

例1.23设W是线性空间冰上的线性变换•它在R3中基

6,。2,5下的矩阵表示是

■123-

A=-103

.215.

(1)求//在基&=5,氐=■十6，4=6+6+。3下的矩阵

表示•

(2)求、,#在基％,%，一下的核与值域.

解：(1)由朝意知

*1Ir

EA*A»A]=oil

-O01.

设W在基A，区£下的矩阵表示是心则

(2)由于141#。，故AX-0只有零解.所以“的核是零空

间.由维数定理可知〃的值域是线性空间尺\

1-12设线性变换.*在基,1.1,1『,4=[八

0,—1)..《＜0,1,1了下的矩阵表示为

■1o-r

A—110

L123.

(1)求H在基4=[1,0.0了,62=[0/，0丁后三[0,0，1了下

的矩阵表示•

(2)求、"的核与值域.

1-12.解।(1)由题意知

、一110'

[5,(X2,%]=[Wz,jJ1。1

-1-1L

，,，a,]=「%,。?,4]从

于是

110

101

I.1~11.

--11-r

=1-aj01-1

.101.

=[因，。工，见]尸

其中

1-]

01-1

101.

即为所求过渡矩阵•

设B是线性变换、/在基的出，勒下的矩阵表示，即

,"［备，£?,£,］—［品.。.与］8

于是

■11on

B=P'AP-220

.302J

(2)由于方程组AX=0的基础解系是口，一1，1丁，所以

”的核子空间

N(A)=span{or：一/十a,}nspan{[-2,2,3]，}

”的值坡

火(4)=span((a]).(cfj),))

=span{6+or?-+2a31—6+3a3}

=span{[0.0.-1Y，[1.2」]T,[I,2.2了}

=span([0.0,1了，[1.2.0丁)

(此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别)

1.9.利用子空间定义，R(A)是C"的非空子集，即验证R(A)对C"满足加

法和数乘的封闭性。

1.1。证明同1.9o

1.11.dimR(A)=rankA,dimN(A)=〃-rankA(解空间的维数)

例L21求矩阵A的列空间区(A)与核空间

解：A的列空间R(A)为

R(A)=span{[l,O,l]T.C1.4.ir«[6*2.6]T)

=span<Cl,0,l]T»Cl.4,1]T1

=span{[l,0,1,0]1)

又由于A的核空间为M=0的解空间，其基础解系为111，

1.-27

所以

N(A)=span{[ll.l.—2]T}

(2)A的列空间R(A)为

R(A)=span{[0.-1.3,O]T,[2,-4.1»5]T,[-4,5,7,-10]Tl

=span{[0,—l,3,0]T.[2,­,4,1,5]1)

A的核空间为4X=0的解空间,其基础解系为(一3・2,1)T

所以

N(A)=span{]-3.2.1]7)

1.13.提示：设A=(%),—=«),分别令X=X,=(0,0,...1,0,0,…尸(其中1

r

位于X,•的第i行)，代入XAX=0,得册=0;令

x=x(>=(0,0...,1,0,0...1,0,0.../(其中1位于招的第i行和第j行),代入

r

XAX=0,得a：i+与+ajt+ajj=0,由于au=a方=0,则为+%=0,故

A「=-A,即A为反对称阵。若X是〃维复列向量，同样有册=0,

旬+町=0,再令X=x；=(0,0,...i,0,0,...1,0,…尸(其中i位于X”的第i行，1

位于Xg的第j行）,代入X"AX=O,得4+0+i（%-阳）=0,由于

cijj—a0=0,cij——cig,贝Ucijjcij=0,占攵A=0

1.14.A8是Hermite矩阵,则（AB）H=BHAH=BA=AB

1.15.存在性：令8=处义1=上及，A=8+C,其中A为任意复矩

22

阵，可验证8"=B,C"=-C

唯一性：假设A=3|+G，B/=B|，G"=-G，且8尸B，GHC，由

A"=B「+G”=8「G，得B]J丁=§c=.丁=。（矛盾）

能”|+修I"

叫其%。…触卜。

=一|八IV]17

Jr。阴"

，i"A⑷・邓…例期

7I)/水仍.”刈/小：

八人&俄二月工什心鸟儿

取"噂和蜉犷Mi何同”心口

外加#喑大

，/氢虹曲多整?

A7.中正啰吟咫…

勿从"=/7a卜"

/.次怒/依勿碗，

广A少才

〈似历•

>.>1

例1・27求矩阵A的特征值与特征向量.

解：(1)A的特征多项式

A-10

ME一4|二4A—40=(A-2尸

2-1A-2

A的特征值儿=&=A3nz.

当入=2时，特征矩阵

2-1O-2-1O-

AE-A=4-20—►000

2-10」一000.

xt=2x

对应于特征值4=2的线性无关特征向量为：5=口，2.0了,，=

[0,0,1]1于是属于特征值4二2的全部特征向像为吊6十八，,其

中居出不全为零.

(2)A的特征多项式

A-1—1

|AE-A|=-1A

-1—1A

4的特征值儿=A=-1,A=2一

当2=—1时，椅征矩阵

工1=一工£一天

对应于峙征值4=一1的线性无关特征向量为:6=[-1,1,0了,

6=[-1・0，1丁，干是属于特征值4=-1的全部特征向量为

♦其中A1，上2不全为零•

当入=2时,特征矩阵

-2一10

AE—A=-12-101-1

1-1L000」

=J's»72=13

对应于特征值a=2的线性无关特征向■为《,=［】，1,1丁，于是

属于特征值A-2的全部特征向量为九/•其中3不为零.

第二章酉空间和酉变换

其黜犯空得,：湍楙必口林岫刚州附

徵土篙警霁鬻，词""

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,)

.彳海巡，阳伊送斗力,",

-21-1I-：［•求NS)的标准正

例3.4巳知A=

.11011-

交基.

S：根据核空间的定义可知N(A)是方程用

*21-117

0。的解空间，解得它的基岫斛系为

-11-I01-

a>=[。，1,1,0,01T♦a：=[-1,1,0,1,0]T,

.，=[4,-5,0,0,1尸

从而N(4)xspan{6，6必).

首先应用Schmidt正交化方法得到

A=5n[1,1,1,0,0]T,

a,(“♦Pi〉n1a

向=._砥"=._/

■11一

=［一一万,1,0］♦

n_c(djA)a(%，A)a

A=6-藕而4~百尸

S一凡电+袁K4，-f4rT,11T,

然后再将4,S,R单位化后，可得一个标准正交基

几=①=「。力左。♦叮’

yATIo/To/ioZIo

兀=E"cr~丁E-Ek'n。l］T'

y_戛r766135-,T

=FT-右r/方浮端

所以人.匕,九即为NGO的标准正交基.

历吃”:嬴……W

团寸然工;募……

L*党址般加必为…”‘

■mw曾工:[7制他相X"）

11喘墟洛4s7

-叱比X器口皿

柒■利经工七；

心­*/，（*

H

…5,x。

■”）中―“„"，：[

二J1「尢心十…+为於。。<

—$父F初，JM牝3X

：F哪霭常磐

-“尸性如二附犯小力」

4场0"刎典型

（注意实空间与复空间部分性质的区别）

2.8法二：设4=(与心,..4)(0,0,...1,0,...0尸=(4勺,..4/(1在第i行);

ej=(el,e2,...ellXO,O,..A,O,...O)'=(e„e2,...en)Y(1在第j行)

根据此题内积定义(e”e,)=。X=\l]

110i^j

故q,e2，...e.是V的一个标准正交基。

I）侪-小赧率可

事［…"⑺『3

“机刎”。砰”飞尸Q1

皆斓第耀航2%

今就；；aL哪心

呼^痛端

仅二gIM

［拉坤?］B"*J36J、I"

W“M卜。SB邛&职）

；您；；髭„以“

（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为（x,y）=y〃x）

例3.21求正交矩阵。，使Q7Q为对角矩阵，巳知

•I10-「

11-10

A=

0-111

「101L

M（首先求出矩阵A的符征多项式iAE-A|=*-l）'"-3>

（AFI）.

当4=3时，求得矩阵A的属于特征值A-3的单位特征向重

为6=万2・

当入=一1时,求得矩阵A的属于特征值a=-1的单位特征

向量为&=[一寺，f.1»T•

当A=1时.求得矩阵A的属于特征值人=】的单位特征向最

为&-[为°,/，小&=[d方，

取

LI

2F0

11

0

2VT

Q=

11

0

27T

1

0TTJ

于是有

000'

-100

010

L0001.

例3.18已知下列正规矩阵，求酉矩阵U,使得为对角

矩阵.

0一1il卜+3i4i一6一2『

(1)4=100.(2)4=-4i4-3i-2-6i

OJ16+2i

0一2一6i0

'0-1i'

B：(1)A=100

.i00.

首先求出矩阵A的特征多项式为|M一▲|=M#+2),所以A

的特征值为A,—V~Zi,%=—V~2i»Aj—0.

对于特征值Ci,求得一个特征向=i,l]T.

对于特征值一/妻i.求得一个特征向=

对于特征值o,求得一个特征向量x,=[o,i,ir.

由于A为正规矩阵,所以*】，M，尤是彼此正交的，只需分

别将工，单位化即可

C_X

2

0

国

2

C

2-

而且有

■Zfio。-

肥解/=0—70

Loooj

4+3i4i—6-2i

(2)A=-4i4—3i—2-6i

£+2i-2—6i0.

解：首先求出矩阵A的特征多项式为以E-A[=(¥+81)

Q—9),所以A的特征值为&-9i"产9i.A=9,

对于特征值一所，求得一个椅征向量*>=[一;

r11T

对于特征值9i,求得一个椅征向量M=[i,一.

•11丁

对于特征值9,求得一个特征向量*3=i.l.-v•

由于4为正规矩阵•所以心，莅，*2是彼此正交的，只需分

别将£l，*2，X］单位化即可

于是取

生如

3TT

22

33

21

33

从而有

一9i00

UKAU=09i0

009.

2.15先求得C使C"AC=A，假设P=CB,使尸"AP=/,则有（8对尸=A，

依次式求得B,进而求得P。（此方法不一定正确）

2.16将（％g,进行列变换化为阶梯型知可取小a?为其中两个

基，另两个基可取%=（。，0,1，。）'，=（。，0,0»，化标准正交基略。

2.17略

第二章矩阵的分解

例小9求下列矩阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵P.

■210-1

■2-1-r

0201

(1)2-1-2⑵

0021

.-112.

,0002

解：(1)记

■2-1-1,

A«2—1—2

112」

首先求出A的Jordan标准形

2—211In

—A=—22+12----4-1

.1-12J.(A-1)«

那么，A的初等因子为。一】)，(久一•故A的Jordan标准形为

“】'

J=1

.11-

再设P=UG，*z，X.J,由P一AP=J得

由此可得方程组

(£—A)X1=0

y(E—4)X2=­X、

(E—A)X3=0

首先解第一个方程,可得基础解系为&=11,1.0了•比=口,0.1了，

不妨选取莺=[1・1.01r.但是不能简单选取*..=[1，0・1了.因为

M还要保证非齐次线性方程组(/一4)，=一心有解.又由于第

三个方程与第一个方程是同解方程组，所以其的任意解具有形式

X]=(q&+c?小)=《Ci+r”，G»O)T.

为了使第二个方程有解•可选的值使下面的两个矩阵的

秩相等

--11V

£-A=-222

・1一1一L

只要选取5=2,。2=一】即可.于是&=口,2,-1丁，将其代人

第二个方程，并解之得治=口，1，1了・容易验证线性无

关，所以取

11r

P=121

,0-11J

且有PAP=J.

(2)记

210一r

0201

0021

.0002.

首先求出A的Jordan标准形

2—2-10-1一

0A-20-1

-A=、、，

004一2"1

一0002一2-

1

fA-2

.一2尸.

那么A的初等因子为久一2,。一2尸.从而A的Jordan标准形为

7100-

0210

J=

0020

.0002.

再求相似变换矩阵P，设/=[*1，*2，*，・*/且有「一么?=人即

■2100-

,X,*J=QxxI,x4j।

yyt002O1

.0002」

于是可得方程组

AX1-2乜，AX.=%+2X：,

AX.=X2+2"AX{=2X,

先求解线性方程组A*i=2X（和=这是同解线性方程

组，可得其全部解为居[】.。,0,0了+花[0.0",0]二防，电不全为

零•为使A/=M+2*?有解，取X尸[1.0。01，求出（4--2E）

解=居的全部解为M、14,0]T,为了使A*-]2+2鼠有解.取

乙=0」2±】，再求解（4-2^）13=*2=[0,1,1,0丁，其全部解为

[O.g,0,6？]T.

于是取乂=[1,0,0,0）,花=10/，1.0了,*3=10」,0.1丫.

*.2[0・0,1,。了.从而

1000-

0110

0101

.0010.

且有p-乂p=J.

1

注:例2.9(1)中的Jordan标准型有误,11，Jordan标准

1

型不唯一，各Jordan块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值

对应的Jordan块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan块整体可

以互换。

例2.1求下列入矩阵的Smith标准形.

--A+124一］A

「#一10'

<1)AA2-A<2)

0(A-1),-

-¥十1A1A—1—A1,

B：(1)用初等变换方法求解.

•一4+1办一1-A+12A-1r

A¥A矛0-

.X+1A*+A-1.A»41川+人一11.

0

q

1

0

.0

(2)利用行列式因子方法求解，首先求出

D,(A)=2一1,DZ(A)=(2一!),(；+【)

于是

3

4,(才)工Z>t(A>=久-I,=%.梁=。-1)(A4-1)

从而其Smith标准形为

Z—10■

.0(A-1)3(A4-1).

评注：求人-矩阵的Smhh标准形常用的方法有两种，初等变

换法与行列式因子、不变因子法.根据所给庭目不同，第一个题目

采用初等变换法较好.而后两个题目用行列式因子法求解更方

使些•

灯-尸14句内切

Mm/■力

必讣嚅Ahl:-"之阴小抗冽也

c>?(V''

也小力卡•.

M川牛牌沈劭叫内甲八:；何I少加"

方仰砒，

M(200

3)甲叩〉

°、，/0'00

0

U人门卜》》大＞〕00。。’“山

双八"以屋=(小份:力心#:,十FX

3.7、3.8同3.1

例211试写出Jordan标准形均为

100'

J=021

一002.

的两个矩阵4,&

解：用两种方法求解此题.

方整一相似变换矩阵的方法•对干任意一个可逆矩阵P・

矩阵PJP-'均与矩阵J相似，从而其Jordan标准形必为J,于是任

取两个不同的可逆矩阵P,即可得到两个矩阵A.3.

方法二矩阵秩的方法.设A（或8）的Jordan标准形为

1。0-

021

.002」

从而4（或的Smith标准形为

1■

1

-。一2）2。一]）一

由此可知A（或8）的行列式因子为

D,（A）=1.D式入）=],£>式4）=（A-l）（A-2>

这样的矩阵A（或E）有很多,取表达式较为简单的矩阵，下列任何

一种矩阵都可以

'200-■10O'"200-

»10V*20V»20

.**Z..**2_.♦»1.

2**-1**2*»

01»02*02*

.002..002..001

下面分析“，”处元索取何值时才能保证以1为主对角元的

Jordan块只有一个，以2为主对角元的Jordan块也只有一个.根

据求矩阵Jordan标准形的第二种方法（矩阵秩的方法），只要使

r（A-2£）=2或r（B-2E）=2

即可.例如

200-20-1

921■010

.001..002.

均可以.但

200"1-10

020021

L05'o02-

都不可以.

例2.13用矩阵的Jordan标准形求解线性微分方程组

一5

出=-4*1+

:

<dx

——4J"(+3~r

dr2

驾

口—不

.="Hx,+8

这里X,"2，才3都是，的函数：

解:对方程组的系数矩阵A求出其Jordan标准形J以及相

-一-I10-

似变换矩阵P.且P，其中4=-430,/=

_188—1.

1I001

oi

011•作变量替换△=产.那么原

.0021J4

方程组可化成

虹

也

也

也

蛆

市

即

旨=y+y

可求得M=*©+£/〃，，2=A£,”=4通-'・于是

>,（/）=+心内

<”］（，）u2y+用（2,+1）必

|xj（l）=4A©+6式41+2）e'+及支'

其中跖.八，酊为任意常数，

3.11方法同上

3.12由屋=。知A的特征值全为0（7》/0,独=疝=>4。=/％）,则4+/

的特征值全为