角的有关计算（解析版） 2020-2021年七年级数学上册期末综合复习提优训练（北师大版）

2020-2021学年七年级数学上册期末综合复习专题提优训练(北师大版)

专题06角的有关计算

【典型例题】

1.(2019•四川攀枝花第二初级中学七年级期中)如图1,射线OC,OD在NAOB的内部，且NAOB=150°,ZCOD=30",

射线OM,ON分别平分NAO。，NBOC.

(1)若NAOC=60。，试通过计算比较NNOD和NMOC的大小;

(2)如图2,若将图1中NCO。在ZAOB内部绕点。顺时针旋转.

①旋转过程中NMCW的大小始终不变.求NMCW的值；

②如图3,若旋转后OC恰好为NM04的角平分线，试探究NNO。与NMOC的数量关系.

【答案】

(1)NAO5=150°,ZCOD=30°,ZAOC=60°.

：.ZAOD=ZAOC+ZCOD=90°,NBOC=4AOB-ZAOC=90°,

射线OM,ON分别平分NA8,4BOC，

：.乙CON=-NBOC=45°,ZDOM=-ZAOD=45°,

22

ZNOD=ZCON-ZCOD=15°,NMOC=ZDOM-NCOD=15°,

：.ZNOD=ZMOC.

⑵①ZAOB=150°,/COD=30°，

ZAOD+ZBOC=ZAOB+4COD=180°.

射线OM,ON分别平分NA。。，/BOC，

：.NBON=|ZBOC,ZAOM=|NAOD,

：.AMON=ZAOB-/BON-ZAOM■

=150°--ZBOC--ZAOP.

22

=150°-1(NBOC+ZAO。)，

=150°--xl80°,

2

=60。：

②设ZAOM=2x，

。。是NAOM的角平分线，

/.ZMOC=ZAOC^-ZAOM=x,

2

射线O材平分NAOZ),

ZAOD=2ZAOM=4x,ZCOD=ZAOD-ZAOC=3x,

NCOD=30。，

3x=30°，

解得x=10°，

:.ZMOC=ZAOC=x=10°，

ZBOC=ZAOB-ZAOC=140°，

射线CW平分NBOC，

:.ZCON=-ZBOC=7Q°.

2

/NOD=ZCON-ZCOD=40°.

:.ZNOD=4/MOC

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键.

【专题训练】

一.选择题

1.(2020•河北九年级一模)把一个三角板按图所示位置放置，Zl=40°,Z2=()

21

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】C

2.（2018•湖南初一期末）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中NA8C的度数是（）

A.120°B.135°C.145°D.150°

【答案】B

3.如图，OALOB,OC1OD,若Nl=50。，则N2的度数是（）

A.20B.40C.50D.60

【答案】C

4.如图，已知COJ_A8于点O,ZAOD=5ZDOB+6°,则NCOD的度数（）

A.58°B.59°C.60°D.61°

【答案】D

5.（2020•保定市第十九中学七年级期末）如图，已知ZAOB=120°,NCOD在ZAOB内部且ZCOD=60°，则4»

与NCOB一定满足的关系为（）.

4ZAOD=ZCOBB.ZAOD+ZCOB=nQ°

C.ZAOD=-ZCOBD.NA0D+NC03=180°

2

【答案】D

6.（2019•山西初一月考）如图，已知点O为直线=4?上一点，ZAOC=60°,直角三角板的直角顶点落在点O

处.MNJ_A5QN在NAOC的内部，另一边OM在直线4B下方，则NCOM+NAON的度数是（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

【答案】。

二、填空题

7.（2020•云南省保山第九中学七年级月考）如图，点A,。，8在同一条直线上，/COD=2NCOB,若/。。。=40。，则NA。。

的度数为.

D

【答案】120。

8.（2019•上海市培佳双语学校初一月考）如图，AB、CD相交于o,OE上AB，NDQE=350则NBOC=

【答案】125°

9.如图，点B、0、D在同一直线上，若NAOB=18°，ZCOD=\01°,贝"AOC=

【答案】91。

10.已知NAOB=72°,若从点。引一条射线OC,使N8OC=36°,则NAOC的度数为

【答案】36°或108°.

11.NA与08的两边分别平行，且NA比D8的2倍少45°,则NA=.

【答案】45°或105"

12.在同一平面内，已知NAOB=50。，NCOB=30。，则NAOC等于

【答案】20°或80°

三、解答题

13.（2021•广东初一期中）如图NCO£（=116。，ZBOD=90°,OA平分NBOC,求NAO。的度数.

【答案】

解：VZCOD=116°,NBOD=90。,

：.ZBOC=ZCOD-ZBOI）=116°-90°=26°,

TOA平分N8OC,

ZAOB=ZBOC-r2=13°,

ZAOD=ZBOD-ZA（?B=90°+13°=103°

【点睛】

根据角平分线定义得出所求角与己知角的关系转化求解.

14.（2020.广东揭阳•七年级期中）如图.已知直线AB、CO相交于点O,射线OE和射线0。分别平分NAOF和NBOF且NAOC

=30°,求NEOF.

E、7

A-B

O

C

【答案】

解：•・•射线和射线。。分别平分NAOF和N80F,

11

・•・NEOF=—ZAOF,ZDOF=—NBOF,

22

111

:.NEOF+NDOF=——(NAOF+NBOF)=—ZAOB=—X180°,

222

即NE8=90°,

VZAOC=30",

AZAOE=180°・NAOC-NEOO=18(T・30°-90°=60°,

VZEOF=ZAOE=60(>.

【点睛】

此题考查的是角的和与差，掌握各角的关系是解决此题的关键.

15.如图，已知NAOC和NBOD都是直角，ZCOD=40°.

⑴求/BOC和ZAOB的度数；

⑵画射线OM,若ZDOM=4ZBOM，求AAOM的度数.

【答案】

解：⑴NBOC=ZBO。—NCOD=90。—40。=50。

ZAOB=ZAOC+ZBOC=900+50°=140°

⑵设NBQM=x，则NDOM=4x.

①若在4OD内部，如下图所示:

ZDOM+NBOM=NDOB

则有4x+x=9()°

x=18°.

ZAOM=ZAOB-NBOM=140。—18。=122

②若OM在/BOD外部，如下图所示

,/ZDOM-NBOM=NDOB

则有4x—x=90。

x=30°

/.ZAOM=ZAOB+NBOM=140°+30°=170

【点睹】

此题考查的是角的和与差，掌握各角的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.

16.已知：如图NA05=15O°，在NAO8内部有NCOD=20°(NAOC<ZAOD).

(1)如图1,求NAOD+N3OC的度数；

(2)如图2,平分/BOC，QV平分44OD,求NMON的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，当NCOD从NAOC=10。的位置开始，绕着点0以每秒2。的速度顺时针旋转/秒时,

3

使/BOM=-/AON,求，的值.

2

【答案】

解：⑴NAOD+NBOC

=ZAOD+ZCOD+ZBOD

=NAO8+/C。。

=150o+20°=170°

(2),.・ON平分NAO。，OM平分/3OC

11

・•・4AON+/BOM=—(ZAOD+ZBOC)=-x|70°=85°

22

.•・NMON=/AOB-UAON+/BOM)=l50°-85°=65°

11

(3)VZAON=Z—ZAOD=—(10+20+2/)°=(15+r)0

22

11

ZBOM=—ZBOC=—(150-10-2r)0=(70-Z)°

22

3

又•：/BOM二一ZAON

2

.,.70-/=—(15+r)

2

：.t=19

【点睛】

本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系.

17.(问题提出)已知N4OB=80.5。，ZAOD=—ZAOC,ZBOD=3ZBOC(ZBOC<50°),求NBOC的度数.

2

(问题思考)聪明的小明用分类讨论的方法解决.

(1)当射线OC在NAOB的内部时，①若射线。。在NAOC内部，如图1,可求NBOC=16.1。；问：当射线OC在NAOB的

内部时，②若射线O。在NAOB外部，如图2,请你求出NBOC的度数

(问题延伸)

(2)当射线。C在NAOB的外部时，请你画出图形，并求NBOC的度数

【答案】

B

⑴②//

°K———A

如图所示，设ZBOC=a,则N8。。=3a,ZCOD=ZBOD-ZBOC=2a,

ZAOD=-ZAOC，：.ZAOD=-ZCOD=-a,

233

27

ZAOB=NBOD—NAOD=3a——a=—a=80.5°,

33

。=34.5°即/8"=34.5°：

(2)当射线OC在NAOB的外部时，根据题意此时射线OC靠近射线OB,

ZBOC<50°,ZAOD=-ZAOC,

2

射线0。的位置也只有两种可能；

设Z.BOC-a，

①若射线0。在NA03的内部，如图1所示：

(图1)

则Z.BOD=3a,/COD=/BOD+/BOC=4a,

ZAOD=-ZAOC.ZAOD=ZCOD=4a，

2

ZAOB=ZBOD+ZAOD=3a+4a=7a=80.5°.

。=11.5。即々0。=11.5°；

②若射线OD在NAOB外部，如图2所示：

则ZBOD=3a,/COD=/BOD+/BOC=4a,

114

ZAOD=-ZAOC.AZAOD=-NCOD=-a,

233

45

ZAOB=ZBOD-ZAOD=4a——a=-a=80.5°,

33

a=48.3°即ZBOC=48.3°.

【点睛】

本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可.

18.如图1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点。处，ABOA=90，ZCOD=60°>OC与03重合，在C©

外ZAOB,射线OM、ON分别是ZAOC>ZBOD的角平分线

(1)求NMON的度数：

(2)如图2,若保持三角尺A08不动，三角尺COO绕点逆时针旋转〃(0<n<60)时，其他条件不变，求/MON

的度数(提示：旋转角NBOC=几)

(3)在旋转的过程中，当NAOC+NBOO=120时，直接写出NBOC的值.

【答案】

(1)vZBOA=90，ZCOD=60°^射线OM、ON分别是NAOC、N30D的角平分线，

11

:.4coM:——ZAOC=45°,ZBON=——NBOD=30",

22

：.4M0N=4COM+ZBON=75°；

(2)・・・NBO4=90。,NCOO=60。，Z.BOC=n，

NAOC=90"-〃0,/8OD=605,

•・,射线QW、ON分别是NAOC、N8O3的角平分线，

111111

:.ZCOM=—ZAOC=—(90。-〃°)=45—n°tNBON=—NBOD=——n°t

222222

11

・•・/MON=/COM+/BON+/BOC=45°-—废+30°-—n°+n°=15°；

22

(3)由叠合可得ZAOC+/BOD+2/BOC=ZAOB+ZCOD=150”,

ZBOC=—(1500-120>15°

2

【点睛】

本题题主要考查了旋转的性质和角平分线的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠.

19.如图1,已知NAOB的内部有一条射线OC,OM、ON分别平分NAOC和NBOC.

(1)若NAOB=120。，ZBOC=40°,求NMON的度数.

(2)若取掉(1)中的条件NBOC=40。，只保留NAOB=120。，求NMCW的度数.

(3)若将NAOB内部的射线。C旋转到N4OB的外部，如图2,乙408=120。，求NMON的度数，并请用一句话或一个式子

概括你发现的NMON与NAOB的数量关系.

【答案】

解：⑴,."ZAoe=i20°,zeoc=40°,

二ZAOC=ZAOfi-ZBOC=120°-40°=80°,

,：OM.ON分别平分NAOC和NBOC,

NMOC=-ZAOC=LX80。=40°，乙NOC=-ZBOC」x40。=20°，

2222

・•・ZMON=ZMOC+ZNOC=400+20°=60°；

(2)-：OM,ON分别平分NAOC和N80C,

:.ZMOC=-ZAOC.NNOC=、NBOC，

22

VZAOC+ZBOC=ZAOB,NAO8=120。,

NMON=NMOC+NNOC=-ZAOC+-ZBOC=-ZAOB=-xl20°=60°：

2222

(3)TO2平分N4OC,ON平分NBOC,

11

NMOC=—ZAOC,ZNOC=—ZBOC,

22

所以NMCW=NCOM-ZCON=—ZAOC--ZBOC=—(ZAOC-NBOC)=-ZAOB=—xl20°=60°,

22222

综上可知AMON^-ZAOB.

2

t点睛】

本题主要考查了用的计算，准确利用角平分线的性质计算是关键.

20.(2020•重庆初一月考)将”三角板中的两块直角三角尺的直角顶点。按如图方式叠放在一起.

(1)如图1,若N8OD=35°,则NAOC=°；若NAOC=135°,则N80D=°；

(2)如图2,若NAOC=140°,则N80D=°；

(3)猜想NAOC与ZBO£)的大小关系，并结合图1说明理由；

(4)三角尺AOB不动，将三角尺CO。的O。边与。4边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当N4OD(0°

<ZAOD<90°)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出NAOO角度所有可能的值，不用说明理由.

图1图2

【答案】

解：（1）若NBO£>=35。，VZAOB=ZC<?D=90°,

二ZAOC=ZAOB+ZCOD-ZBO1)=90°+90°-35°=145°,若NAOC=135°,

则NBOD=NAOB+NCOD-ZAOC=90°+90°-I35°=45°：

(2)如图2,若NAOC=I40。，

则NBOD=3600-ZAOC-ZAOB-ZCOD=40°；

(3)ZAOC与NBOD互补.

,/ZAOD+ZBOD+ZBOD+ZBOC=\80°.

,/NAOD+NBOD+NBOC=NAOC,

：.NAOC+/8OD=180。，

即NAOC与N8OD互补.

(4)ODVAB时，ZAOD=30°,

CDLOB时，乙400=45。，

CDLAB时，ZAOD=75°,

OC1AB时，ZAOD=60°,

即NA。。角度所有可能的值为：30。、45。、60。、75°；

故答案为(1)145°,45°；(2)40°.

【点睹】

本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠.

21.如图1,O为直线AB上一点，过点O作射线OC,ZAOC=30°,将一直角三角板(NM=30。)的直角顶点放在点O处,

一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.

(1)将图1中的三角板绕点0以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转一周.如图2,经过r秒后，0M恰好平分NBOC.①求r

的值；②此时ON是否平分NAOC?请说明理由；

(2)在(1)间的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3,那

么经过多长时间0C平分NMON?请说明理由；

(3)在(2)间的基础上，经过多长时间0C平分NMOB?请画图并说明理由.

【答案】

(1)①・・・NAON+NBOM=90°,NCOM=NMOB,

'：ZAOC=30°,

・・・NBOC=2NCOM=150。，

:.ZCOM=15°f

：.ZCON=l5°t

:.ZAON=ZAOC-ZCON=3G0-15°=15°,

解得：片150+3。=5秒;

②是，理由如下：

•：NCON=150,NAON=15。,

・・・ON平分NAOC；

(2)15秒时0c平分NMOM理由如下：

VZAON+ZBOM=90°,ZCON=ZCOM,

・・・NMON=90。,

：.NCON=/COMM5。,

;三角板绕点。以每秒3。的速度，射线。。也绕。点以每秒6。的速度旋转,

设4AoN为33NAOC为30°+67,

'：NAOC-NAON=45。,

可得:6r-3/=15°,

解得：r=5秒；

(3)0c平分NM08

,/NAON+NBOM=90。，ZB0C=ZCOM,

•..三角板绕点0以每秒3。的速度，射线0C也绕0点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N为3/,ZAOC为300+6/,

,I

:.NCOM为——(9O0-3f),

2

NBOM+NAON=90。，

nJ得：180°-(30°+6z)=—(90°-3/),

2

解得：H23.3秒；

如图：

【点睛】

此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键.

22.综合与探究:

问题情境：如图，已知NAOB=90°,射线。C在N4OB的外部且0°<ZBOC<180°.OM是NAOC的角平分线，ON是

NBOC的角平分线.

特例探究：（1）如图1,

①当NBOC=40°时，NMON的度数为°；

②当NBOC<90°时，求NMON的度数；

猜想拓广：(2)若N40B=a(0<a<90°),

①当NAOB+NBOC<180°时，则NMON的度数是°；（用含a的代数式表示）

②当NAOB+NBOC>】80°时，