专题04 数列及求和（解析版）2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

第第页专题4数列及其应用01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15分）命题点1等差数列及性质命题点2等比数列及性质命题点3等差等比数列综合命题点4数列情景题命题点5数列求和高考猜题04创新好题·分层训练（精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）一、一般数列性质：单调性：递增数列：an+1>an；递减数列：an+1二、等差数列及性质1．定义式：an+12．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c∀相邻三项，2a3．通项公式：an从函数角度理解：an=An+B，其中A=d推广：a4．an为等差数列，Sn为其前性质1：若m+n=s+t，则a特殊的，若m+n=2t，则a性质2：am，am+k，am+2k，a性质3：Sm，S2m−Sm5．前n项和：Sn从函数角度理解：Sn=An26．单调性：d>0，单调递增；d<0，单调递减；d=0，常函数7．Sn法一：Sn最值问题可由S法二：若a1>0,d>0，Sn的最小值为S若a1>0,d<0，Sn的最大值为项的正负分界处（an≥0若a1<0,d<0，Sn的最大值为S若a1<0,d>0，Sn的最小值为项的正负分界处（an≤0法三：解不等式组Sn≥Sn−1，Sn≥S解不等式组Sn≤Sn−1，Sn≤S8．判断等差数列的方法：﹡定义法﹡等差中项法﹡通项公式法﹡前n项和公式法三、等比数列及性质：1．定义式：an+12．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b∀相邻三项，a3．通项公式：an=a4．an为等比数列，Sn为其前性质1：若m+n=s+t，则a特殊的，若m+n=2t，则a性质2：am，am+k，am+2k，a性质3：Sm，S2m−Sm5．前n项和：Sn=aSn=na6．单调性：若a1若a1若a1若a1若q=1，常数列；若q<0，摆动数列.四、数列综合问题：1．求通项公式：（1）猜想证明法根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.（2）an与S由an=S（3）累加法：a（4）累乘法：a（5）构造法：1※构造等比数列※形如：an+1待定系数法an+1+t=2(an+t)2※构造等比数列※形如：an+1待定系数法an+13※构造等差数列※形如：an+1等式两边同时除以2n+1，即得a4※构造等比数列※形如：an+1等式两边同时除以2n+1，得到a5※构造等差数列※形如：an等式两边同时除以ana6※构造等比数列※形如：a等式两边同时取对数，得lna2．数列求和方法：（1）公式求和法﹡等差、等比数列直接用公式求和i=1ni=1（2）倒序相加法距首位两端等距的两项和相等（3）错位相减法差比数列：形如an=bn∙（4）裂项相消法形如an=1ba形如an（5）分组求和法通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加.如：a（6）并项求和法形如an数列是高考中必考点，一般以1+1或者是2+1形式出现，主要考查等差等比数列及其性质应用真题多维细目表考点考向考题等差等比数列应用等差数列性质等比数列及性质③等差等比数列综合④数列情景题⑤数列求和2023新全国Ⅰ卷T7全国乙T10全国甲T52022全国乙卷T132021全国甲卷T18全国ⅡT172023新高考Ⅱ卷85全国乙卷T15全国甲卷T13T52022全国乙卷T10T82021Q全国甲卷T72023全国乙卷T102022全国甲卷T18新高考ⅡT172021全国乙卷T192022新高考Ⅱ卷T3全国乙卷T42020新高考Ⅱ卷T42023新高考ⅠT20新高考ⅡT18乙卷T18甲卷T172022新高考ⅠT172021全国乙卷T19甲卷T9T18新高考ⅠT17新高考ⅡT17命题点1等差数列及其性质典例01（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B典例02（2023·全国·统考甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.命题点2等比数列及性质典例01（2023·全国·统考高考Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．典例02（2023·全国·统考高考乙卷）已知为等比数列，，，则.【答案】【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.命题点3等差等比数列综合典例01（2022·全国·统考高考甲卷）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．典例02（2022·全国新高考Ⅱ卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．命题点4数列情景题典例01（2022·全国·统考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D典例02（2022·全国·统考乙卷题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】[方法一]:常规解法因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特值法不妨设则故D正确.命题点5数列求和典例01．（2023·全国·统考Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.典例02（2023·全国·统考乙卷）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.典例03（2023·全国·统考甲卷）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．典例04（2022·全国·统考Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴①裂项①裂项求和常见类型有：分式型：，，，，等；指数型：，等；摆动型：；根式型：等；对数型：，且；②错位相减法常见类型：数列的通项为或（公比为：），即“等差×等比数列”，基本步骤：用错位相减法求数列前项和过程可概括为“一加、二乘、三减、四除”八字一加：将数列的各项展开相加①二乘：对所列等式的每一项都乘上等比数列的公比②三减：将列出的两等式上减下，错位相减，①-②得四除：右侧括号部分用等比求和公式，注意为项，左右两边同时除以，再整理结果.对于绝对值求和：务必注意如果数列是分段的，则数列求和务必是分段的，一定要注意范围问题.预计2024年高考中数列也会是以等差等比求和的形式出现解答题与小题，小题将是以等差与等比结合的性质，解答题将是数列求和的形式出现1．设等比数列的前项和为，且，则（

）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比，然后根据等比数列前n项和公式计算即可求解.【详解】由，得，解得，，所以.故选：B.2．若成等差数列；成等比数列，则等于A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．∴故答案为A．3．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)．【详解】（1）当时，，即，解得．因为（），所以（），又（，），，所以（），又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．4．已知正项数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列满足，求的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，且，则，可知数列为常数列，且，则，即，当时，，且也符合上式，所以.（2）由（1）可得，则，设的前n项和为，则，所以的前n项和为.5．已知数列的前项和为，，当时，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，当时，，且，若，则，即，当时，，两式相减得，，整理得，即，所以.综上所述，.（2）因为，设数列的前项和为，当时，，当时，，此时时适合上式，所以.（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）A·A·新题速递一、单选题1．（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案.【详解】由等差数列的性质可得：，，则，即，，故选：C.2．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考开学考试）已知公比为2的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（

）A．64 B．63 C．126 D．128【答案】B【分析】根据三项成等差数列，利用等比中项列出等量关系，再结合等比数列定义，即可求得首项和公比，代入求和公式即可.【详解】由于，，成等差数列，所以，即，所以，解得，所以.故选：B.3．（2023·山东济南·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知数列满足且，则（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【分析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项.【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.4．（2023·江西·校联考模拟预测）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5.第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5−y尺，则,解得.相见时大鼠打了尺长的洞,用了天，小鼠打了尺长的洞，用了天，即天后两鼠相遇.本题选择A选项.二、解答题5．（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）记正项数列的前项和为，已知.(1)求；(2)若，数列的前项和为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，将上述两式相减得：，由于是正项数列，当时，，因为，所以或(舍去)，所以，所以可得：，故数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以；（2）因为，结合（1）的结论可得，.6．（2023·河南·统考三模）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，两边同时除以，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时，也满足上式，所以.（2）由（1）可得，，则.7．（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知数列满足，，记．(1)证明：数列为等差数列；(2)设数列的前n项和为，求数列的前n项的和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，得到，结合，得出，即可求解；（2）由（1），求得，得到，分为偶数和为奇数，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为数列满足，，可得，又因为，即，且，所以数列表示首项为，公差为的等差数列.（2）解：由（1），可得数列的通项公式为，可得，所以当为偶数时，；当为奇数时，，所以数列的前项和为：.8．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列满足（，且，．求：(1)数列的通项公式(2)数列的前项和．【答案】(1)(2)．【详解】（1）数列满足，根据等比数列定义可知为等比数列，又，设公比为，则，所以所以，故．所以数列的通项公式为（2）由（1）可得．；所以.BB·易错提升一、单选题1．（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比即可求解.【详解】由，得，解得，，.故选：C.2．（2023上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】借助等比数列的片段和性质得出与的关系，再借助基本不等式即可得到.【详解】根据等比数列的片段和性质有，由，，成等差数列，有，即，故有，又因为数列为正项等比数列，则，即，当且仅当时，等号成立.故选：D.3．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）在递增的等差数列中，首项为，若，，依次成等比数列，则的公差为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用等比中项性质及等差数列通项公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d（），由题意知，，，所以，即，解得或，因为，所以.故选：C.4．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡