高考数学真题分类汇编 专题05 三角函数与解三角形 文（含解析）-人教版高三数学试题

专题05三角函数与解三角形

历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019充分必要条件2019年北京文科06单选题2019三角函数2019年北京文科08单选题2018三角函数2018年北京文科07单选题2013解三角形2013年北京文科05单选题2010解三角形2010年北京文科07填空题2018解三角形2018年北京文科14填空题2017三角函数2017年北京文科09填空题2016解三角形2016年北京文科13填空题2015解三角形2015年北京文科11填空题2014解三角形2014年北京文科12填空题2012解三角形2012年北京文科11填空题2011解三角形2011年北京文科09填空题2010解三角形2010年北京文科10解答题2019解三角形2019年北京文科15解答题2018三角函数2018年北京文科16解答题2017三角函数2017年北京文科16解答题2016三角函数2016年北京文科16解答题2015三角函数2015年北京文科15解答题2014三角函数2014年北京文科16解答题2013三角函数2013年北京文科15解答题2013三角函数2013年北京文科18解答题2012三角函数2012年北京文科15解答题2011三角函数2011年北京文科15解答题2010三角函数2010年北京文科15

历年高考真题汇编1．【2019年北京文科06】设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：设函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，∴函数f（x）＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．

2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．

3．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A． B． C． D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．

4．【2013年北京文科05】在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA，则sinB＝（）A． B． C． D．1【解答】解：∵a＝3，b＝5，sinA，∴由正弦定理得：sinB．故选：B．

5．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3 C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．

6．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）acsinB，，可得：tanB，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tanA，∈（，+∞）．cosBsinB∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．

7．【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα，则sinβ＝．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．故答案为：．

8．【2016年北京文科13】在△ABC中，∠A，ac，则．【解答】解：在△ABC中，∠A，ac，由正弦定理可得：，，sinC，C，则B．三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则1．故答案为：1．

9．【2015年北京文科11】在△ABC中，a＝3，b，∠A，则∠B＝．【解答】解：由正弦定理可得，，即有sinB，由b＜a，则B＜A，可得B．故答案为：．

10．【2014年北京文科12】在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC，则c＝；sinA＝．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cosC，C为三角形内角，∴sinC，∴由正弦定理得：sinA．故答案为：2；．

11．【2012年北京文科11】在△ABC中，若a＝3，b，，则∠C的大小为．【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b，，∴由正弦定理得：，∴sin∠B．又b＜a，∴∠B＜∠A．∴∠B．∴∠C＝π．故答案为：．

12．【2011年北京文科09】在△ABC中．若b＝5，，sinA，则a＝．【解答】解：在△ABC中．若b＝5，，sinA，所以，a．故答案为：．

13．【2010年北京文科10】在△ABC中，若b＝1，c，∠C，则a＝．

【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB，∵b＜c，故B，则A由正弦定理得∴a1故答案为：1

14．【2019年北京文科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cosB，∴sinB，由正弦定理有：，∴sinA，∴sin（B+C）＝sin（A）＝sinA．

15．【2018年北京文科16】已知函数f（x）＝sin2xsinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2xsinxcosxsin2x＝sin（2x），f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，可得2x∈[，2m]，即有2m，解得m，则m的最小值为．

16．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx，（co2xsin2x）﹣sin2x，cos2xsin2x，＝sin（2x），∴Tπ，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin（2x）≤1，∴f（x）

17．【2016年北京文科16】已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，，由于函数的最小正周期为π，则：T，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x），令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．

18．【2015年北京文科15】已知函数f（x）＝sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝sinx﹣2sin2＝sinx﹣2＝sinxcosx＝2sin（x）∴f（x）的最小正周期T2π；（2）∵x∈[0，]，∴x∈[，π]，∴sin（x）∈[0，1]，即有：f（x）＝2sin（x）∈[，2]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：．

19．【2014年北京文科16】函数f（x）＝3sin（2x）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝3sin（2x），∴f（x）的最小正周期Tπ，可知y0为函数的最大值3，x0；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，0]，∴当2x0，即x时，f（x）取最大值0，当2x，即x时，f（x）取最小值﹣3

20．【2013年北京文科15】已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2xcos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α），求α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为∴T，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x），，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．

21．【2013年北京文科18】已知函数f（x）＝x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝2x+xcosx＝x（2+cosx），∵曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，∴f′（a）＝a（2+cosa）＝0，f（a）＝b，联立，解得，故a＝0，b＝1．（II）∵f′（x）＝x（2+cosx）．令f′（x）＝0，得x＝0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f（x）﹣0+f′（x）1所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1是f（x）的最小值．当b≤1时，曲线y＝f（x）与直线x＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f（﹣2b）＝f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）＝1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）＝f（x2）＝b．由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．

22．【2012年北京文科15】已知函数f（x）．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）＝sin2x﹣cos2x﹣1sin（2x）﹣1∴f（x）的最小正周期Tπ．（2）∵函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ，2kπ]（k∈Z）∴由2kπ2x2kπ，x≠kπ（k∈Z）得kπx≤kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]（k∈Z）

23．【2011年北京文科15】已知f（x）＝4cosxsin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，＝4cosx（）﹣1sin2x+2cos2x﹣1sin2x+cos2x＝2sin（2x），所以函数的最小正周期为π；

（Ⅱ）∵x，∴2x，∴当2x，即x时，f（x）取最大值2，当2x时，即x时，f（x）取得最小值﹣1．

24．【2010年北京文科15】已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx＝3cos2x﹣4cosx﹣1，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx＝﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值．

考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题

1．函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（）A．， B．，C．， D．，2．将函数的图像先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图像，若且，则的最大值为()A． B． C． D．3．将函数()的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若则的值为()A． B． C． D．4．已知函数的图象经过两点，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（）A． B． C． D．5．已知函数，则下列结论中正确的