山东省德州市乐陵市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题含答案解析

2023—2024学年度第一学期期中检测九年级数学试题一、单选题（每小题4分，共48分）1.随机事件发生的机会是（）A.0和1之间的一个数 B.0C. D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，即可得到随机事件发生的机会在0到1之间，即可得出结论．【详解】解：由随机事件的定义可知：随机事件发生的机会在0到1之间，故选A．【点睛】本题考查事件的分类，熟练掌握随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，是解题的关键．2.下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意；D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意；故选：C．3.若方程的两根为和，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：如果和是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可．【详解】解：∵方程的两根为和，∴．故选：C．4.下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（）A.圆的周长与圆的半径之间的关系B.三角形的高一定时，面积与底边长的关系C.在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D.正方体的表面积与棱长的关系【答案】D【解析】【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：，故他们之间的关系是正比例函数关系；B．三角形的高h一定时，故他们之间的关系是正比例函数关系；C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；D．正方体的表面积S与棱长a的关系：，S和a是二次函数关系，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（）实验次数100500100020004000频率0.370.320.3450.3390.333A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据表格数据，得出某一结果发生的概率大约为，在结合选项判断，哪个选项最接近，进而即可得出答案．【详解】解：由表格数据，可知某一结果发生的概率约为，∵，，，，∴与最接近的是，∴该结果发生的概率约为．故选：B【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值是事件的概率．6.“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（）可以使得接收光能最多．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．【详解】解：由题意可得：若要太阳光板于太阳光垂直，则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，故选：B．【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．7.亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A.1 B.0 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】设常数项为c，利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可．【详解】解：设常数项为c，根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，解得c≤9，所以c的最大值为9．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．8.某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（）A.250元 B.500元 C.750元 D.1000元【答案】B【解析】【分析】每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，求二次函数的最大值即可．【详解】解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为，∴，∴最大利润为：元，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键．9.中，，将绕点O顺时针旋转，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接得到四边形．所得到的四边形为（）A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的判定、旋转的性质等知识点，由旋转知识可得，，可得，即可得四边形ABCD为菱形，熟练掌握旋转的性质是解题关键．【详解】解：如图：是绕点O顺时针旋转180°所得，由旋转可知，，，∵，∴，∴四边形为菱形，故选：．10.在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A.x2+2x﹣3＝0 B.x2+2x﹣20＝0 C.x2﹣2x﹣20＝0 D.x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【解析】【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.11.已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（）A.若时都有，则B.若时都有，则C.若时都有，则D.若时都有，则【答案】C【解析】【分析】根据两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线，再由对称轴公式即可求得答案；【详解】解：∵抛物线经过，两点，∴抛物线的对称轴为直线．对于A选项，若时，∴．又，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴，故A不符合题意；对于B选项，若时，∴．此时关于对称轴对称的点为，若，∴或．∴选项B不符合题意．若时，∴．又，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴，故C符合题意．若时，∴．又，∴此时，y随x的增大而增大．∴抛物线开口向下．∴，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用．12.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可．【详解】解：设，两边平方得，整理得，解得，（舍去），即则．故选：A．点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．二、填空题（每小题4分，共24分）13.如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______度【答案】60【解析】【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为．故答案为：．【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________．【答案】【解析】【分析】根据简单的概率公式求解即可．【详解】解：卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片，∴是物理变化的概率为：，故答案为：．【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算，理解题意是解题关键．15.某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为_______．【答案】10%【解析】【分析】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为为x,根据题意列出方程式即可求解．【详解】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减百分比为x，根据题意可得：，解得：或（不符合题意，舍去）∵故答案为：10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出电动汽车续航里程衰减的方程，解方程即可求解．16.由的图象知：当x满足条件______时，．【答案】##【解析】【分析】先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数与x轴的两个交点坐标为、，∴由函数图象可知当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据二次函数图象与x轴的交点确定不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．17.如图，已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．【答案】（，）【解析】【分析】设A（x，x2），根据平移、旋转的性质求出C点坐标，代入抛物线求出x，故可求解．【详解】解：∵点A是抛物线图像上一点故设A（x，x2），∵将点A向下平移2个单位到点B，故B（x，x2-2）∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如图，过点B作BD⊥AB于B，过点C作CD⊥BD于D，AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，∴∠DBC=30°故CD=，BD=，故C（x+，x2-3），把C（x+，x2-3）代入，∴x2-3=（x+）2，解得x=-∴A（-，3）故答案为：（，3）．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系、平移与旋转的特点及直角三角形的性质．18.小文同学在一次“项目化”学习中，有一种用特殊材料制成的质量为30克的“泥块”，把它切为大、小两块，将较大的“泥块”放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小的“泥块”放在该天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，依据杠杆的平衡原理，小文同学算出了其中较大“泥块””的质量，较大“泥块”的质量为_____．【答案】18【解析】【分析】左边的物体的重量左边天平臂长右边的物体的重量右边天平臂长，根据这个等量关系可将题中给出的大小泥块的在天平上测得的不同质量来列出方程组求出，大小泥块的质量．【详解】解：设较大泥块的质量为克，则较小泥块的质量为克，若天平左，右臂长分别为cm，cm，由题意得：，两式相除得，解得，．经检验都是原方程的解，根据题意应该舍去，当时，，较大的泥块的质量为18克，较小的泥块的质量为12克，故答案为：18克．【点睛】本题考查了分式方程的应用，等式的性质，正确地理解题意是解题的关键．三、解答题（共7小题，共78分）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法求解；（2）先整理化简，再利用因式分解法求解．【小问1详解】解：，，或，解得，；小问2详解】解：，，，，或，解得，．20.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．（1）与关于原点成中心对称，写出点、、的坐标；（2）将绕点顺时针旋转得到，画出．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【详解】（1）与关于原点成中心对称，，，，，；（2）如图，即为所作图形：【点睛】本题考查作图旋转变换以及中心对称，解题的关键是熟练掌握基本知识21.某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？解：设……根据题意，得，……根据上面所列方程，完成下列任务：（1）数学问题中横线处短缺的条件是______；（2）所列方程中未知数x的实际意义是____________；（3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．【答案】（1）单价每降低1元时，月销售量可增加20件（2）单价降低了元（3）见解析【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）根据所列方程，可得出题干中缺失的条件；（2）根据所列方程，可找出未知数的实际意义；（3）利用月销售总利润每件的销售利润月销售量，可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案．【小问1详解】解：根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低1元时，月销售量可增加20件．故答案为：单价每降低1元时，月销售量可增加20件．【小问2详解】解：根据所列方程，可知所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了元．故答案为：单价降低了元；【小问3详解】解：根据题意，得，整理，得，解之，得，，又∵要让顾客得到更大的实惠，∴，∴．答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元．22.如图是某停车场，现仅剩下“”、“”、“”、“”、四个车位（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；（2）分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在不相邻车位的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：共有4个车位，∴这辆车停在“”号车位的概率是，故答案为：．【小问2详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在不相邻车位的结果有6种，∴两人停车在相邻车位的概率为．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）求这枝垂柳的最高点到地面的距离；（3）踩着高跷的小明头顶距离地面，他从点出发向点处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？【答案】（1）（2）这枝垂柳的最高点到地面的距离为（3）小明走出远时，头顶刚好碰到树枝【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，（1）由题意得出点和点，再代入求解即可；（2）将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；（3）令，得，求解即可；熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图像性质是解题的关键．【小问1详解】解：由题意得，抛物线经过点和点，∴，解得：，∴该抛物线的函数解析式为；【小问2详解】∵，∴抛物线的顶点的坐标为，∴这枝垂柳的最高点到地面的距离为；【小问3详解】在中，当时，得，解得：（不合题意，舍去），，∴小明走出远时，头顶刚好碰到树枝．24.问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．（1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；（3）【拓展提升】如图3，若是边长为2等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案）【答案】（1），证明见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由旋转性质可得，，由“”可证，可得；（2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论；（3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解．【小问1详解】解：，证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴平