山东省临沂市沂南县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题含答案解析

2023-2024学年度上学期期中教学质量监测八年级数学试题注意事项：1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回．2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下列各组长度的线段为边（单位：），能构成三角形的是（）A.7，5，12 B.4，6，5 C.8，4，4 D.6，8，15【答案】B【解析】【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边的关系即可求解；【详解】解：，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查三角形三边的关系，掌握相关知识是解题的关键．2.体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形定义进行逐一判断即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误；B．不是轴对称图形，故B错误；C．是轴对称图形，故C正确；D．不是轴对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．3.如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的（）A.垂线段最短 B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性【答案】D【解析】【分析】三角形具有稳定性．【详解】解：铁架桥框架做成了三角形的形状，是为了更稳固，利用了三角形的稳定性．故选D．【点睛】本题主要考查三角形的稳定性的应用，能够熟记性质是解题关键．4.如图，的边上的高是（）A.线段 B.线段 C.线段 D.线段【答案】A【解析】【分析】根据三角形的高的定义即可进行解答．【详解】解：中边上的高，需过边所对的顶点A向作垂线，线段即是中边上的高；故选：A．【点睛】从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高．5.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】由三角形内角和定理得，，两个三角形全等，，故选：D．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．6.如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形一个内角的大小为（）A.135° B.140° C.145° D.150°【答案】B【解析】【分析】根据正多边形的性质和内角和公式求解即可．【详解】解：正九边形的内角和为，且每个内角都相等，该正九边形的一个内角的大小为．故选：B．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．7.下列说法正确的是（）A.多边形的边数越多，外角和越大 B.三角形的一个外角等于两个内角的和C.直角三角形只有一条高 D.三角形的三条角平分线的交点在三角形内【答案】D【解析】【分析】根据多边形的外角和、三角形的外角的性质、三角形的高和三角形的角平分线的知识逐项判断即得答案.【详解】解：A、多边形的外角和是，与边数无关，故本选项说法错误；B、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项说法错误；C、直角三角形有三条高，故本选项说法错误；D、三角形的三条角平分线的交点在三角形内，故本选项说法正确；故选：D.【点睛】本题考查了多边形的外角和、三角形的外角的性质、三角形的高和三角形的角平分线，熟练掌握相关知识是解题的关键.8.如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴，即，当时，由可证，故A不符合要求；当时，由可证，故B不符合要求；当时，由可证，故C不符合要求；当，无法使，故D符合要求．故选：D．9.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（）A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形的三条高交于一点D.三角形三边的垂直平分线交于一点【答案】A【解析】【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．10.如图，在中，，，点D为的中点，于点E，，则为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长.【详解】解：如图：连接，，，为的中点，，平分，，，于，，，在中，，，，在中，，，，则．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，熟练运用三线合一的性质是解题关键．11.如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰△ABC的腰两种情况分别解答即可．【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的C点有0个；②为等腰直角的腰时，符合条件的C点有8个；故共有8个点．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键．12.如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号有（）A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④【答案】A【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“8字型”证明；，再根据全等三角形对应角相等可得，然后求出．【详解】解：平分，，，，在和中，，，故①正确；，在和中，，，，，故②正确；，，设交于O，，，故③正确；，，，，，，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．二、填空题（每小题3分，共12分）请将正确的答案填在横线上．13.已知P（1，－2），则点P关于轴的对称点的坐标是_______．【答案】（1，2）【解析】【详解】解：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（1，－2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）故答案为：（1，2）【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．14.如图，，，点在的延长线上，若，则___________°．【答案】【解析】【分析】根据三角形的外角性质即可求解．【详解】解：由三角形的外角性质得，．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．15.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20米有一树C，继续前行20米到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米；则河的宽度为_____米．【答案】5【解析】【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可得出答案．【详解】解：由题意知，在和中，，，∴，即河的宽度是5米，故答案为：5．【点睛】题目主要考查全等三角形的应用，熟练应用全等三角形的判定定理和性质是解题关键．16.如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】过点作交于，交于点，过点作交于点，由是的平分线可得，这时有最小值，即的长度，再根据，即可求得答案．【详解】解：如图，过点作交于，交于点，过点作交于点，，是的平分线，，，，这时有最小值，即的长度，，，，即的最小值是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和点的位置．三、解答题（本大题共7小题，共72分）17.（1）已知一个正n边形的一个内角是135°，求n的值．（2）如图，在中，为边上高，为的角平分线，点D为边上的一点，连接．若，求的度数．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角，正多边形，关键是掌握正多边形的每个内角和外角相等，由三角形外角的性质求出的度数．（1）求出正n边形的一个外角是45°，由多边形的外角和是360°，即可求出；（2）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出．【详解】解：（1）∵正n边形的一个内角是，∴正n边形的一个外角是，∵多边形的外角和是，∴（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．18.如图，已知线段．求作：的垂线，使它经过点A．下面是小军设计“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点C；②分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；③作直线．所以直线就是所求作的垂线．根据小军设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）证明这种作法的正确性（即求证）．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．（1）根据要求作出图形即可；（2）利用等腰三角形的三线合一解决问题即可．【小问1详解】解：如图，直线即为所求；【小问2详解】证明：连接．∵，∴．19.八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）已知：如图，线段相交于点O，______________，连接．求证：____________．证明：【答案】见解析【解析】分析】按照题意补充完条件和结论，然后证明即可得到结论．【详解】已知：，O分别为的中点（或，，）．求证：证明：∵O分别为的中点，∴，（线段中点定义）∵（已知）∴，（等量代换）在和中∵∴∴（全等三角形的对应边相等）【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20.如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为（1）请在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；（2）求的面积；（3）在y轴上画出点P，使的值最小，保留作图痕迹．【答案】（1）图见详解，（2）（3）图见详解【解析】【分析】本题考查了作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是准确画图．（1）根据关于y轴对称的，先画出点，再依次连接，并求出点的坐标即可；（2）根据网格，以为底，即可求的面积；（3）连接即可在y轴上画出点P，使的值最小．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：如图，点P为所作．21.如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【答案】（1）30海里（2）1小时【解析】【分析】（1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答；（2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度,最后求出时间即可解答．【小问1详解】解：由题意得：（海里）．∵，∴．∴．∴（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．【小问2详解】解：如图，过点C作于点P．∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．又∵，∴．在中，，∴（海里）．∴航行的时间为（时）．∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．22.如图，在四边形中，，点E为上一点，连接与交于点F，且．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求CF的长．【答案】（1）等边三角形，理由见解析（2）4【解析】【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证；（2）连接交于点O，由题意可证垂直平分，由是等边三角形，可得，，由（1）中是等边三角形，可得，可得的长．【小问1详解】是等边三角形，理由是：∵，∴是等边三角形．∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形；【小问2详解】连接交于点O，∵，∴是的垂直平