山东省临沂市沂南县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题含答案解析

2023—2024学年度上学期期中教学质量监测九年级数学注意事项：1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回．2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A.方程含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，故选项A不符合题意；B.方程最高次是三次，不符合一元二次方程定义，故选项B不符合题意；C.不整式方程，不符合一元二次方程定义，故选项C不符合题意；D.符合一元二次方程定义，正确．故选：D．2.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B.是中心对称图形，故该选项符合题意；C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．3.如若关于x的方程有一个根为，则a的值是（）A.9 B.5 C.3 D.【答案】B【解析】【详解】解：由题意得，解得：；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键．4.已知的半径为10，，则点P与的位置关系是（）A.点P内 B.点P在上 C.点P在外 D.不确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得的半径为10，则点P到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在内．【详解】解：∵，∴,则点P在内，故选：A．5.根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（）x01234y51323A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查估算能力，仔细看表，可发现y的值和5最接近0，再看对应的x的值即可得．【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．故关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是．故选：C．6.将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．7.如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】根据图形旋转的性质可得，即可求解．【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．8.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【详解】解：由题意得：解得：故选：A【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．熟记相关结论即可．9.若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为．根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴该函数的对称轴为：，∴点A到对称轴的距离为：，点B到对称轴的距离为：，点C到对称轴的距离为：，∵，∴该函数图象开口向上，∵，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．10.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…013…y…6…下列选项中，正确的是（）A.这个函数的开口向下 B.这个函数的图像与x轴无交点C.当时，y的值随x的增大而减小 D.这个函数的最小值小于6【答案】D【解析】【分析】根据抛物线经过点，，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点可得抛物线开口向上，进而求解．【详解】解：∵抛物线经过点，，∴抛物线对称轴为直线，∵抛物线经过点，∴当时，y随x增大而减小，∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；∴时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；由对称性可知，在处取得最小值，且最小值小于．故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质．11.如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；（2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误是（）A. B.C.若，则 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．【详解】解：如图，A、连接，，因此，故A不符合题意；B、连接，由，，，得到，因此，得到，由，得到，则，得到，故B不符合题意；C、由，得到，而，因此，故C不符合题意；D、由圆周角定理得到所以，故D符合题意．故选：D．12.如图是二次函数的部分图像，顶点坐标为．下列结论：①；②方程有两个相等的实数根；③；④．其中所有正确结论的序号是（）A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②③【答案】A【解析】【分析】由抛物线的开口方向以及对称轴的位置可判断①，由抛物线顶点坐标为可判断④，由当时，及抛物线的对称轴可得当时，，从而判断③．【详解】∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线顶点坐标为，∴，∵，①正确，∵方程可以看作是函数与的交点，又抛物线的顶点坐标为，∴函数与有一个交点，即方程有两个相等的实数根，②正确，由图象可得，当时，，∵抛物线对称轴为直线，∴当时，，③正确，∵抛物线顶点坐标为，∴，∴，④正确，∴结论正确的序号为①②③④，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，二次函数与方程以及不等式的关系．二、填空题（每小题3分，共12分）13.抛物线与y轴的交点坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将代入解析式求解即可．【详解】解：将代入得，∴抛物线与y轴交点坐标为，故答案为：．14.为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍已知年该学校用于购买图书的费用为元，年用于购买图书的费用是元，则年买书资金的平均增长率是______．【答案】【解析】【分析】设年买书资金的平均增长率是，利用年该学校用于购买图书的费用年该学校用于购买图书的费用年买书资金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设年买书资金的平均增长率是，根据题意得：，解得：不符合题意，舍去，年买书资金的平均增长率是．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为____cm．【答案】2.5【解析】【详解】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4−x，MF=2，在中，即：解得：x=2.5，故答案为2.5．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是构造出正确直角三角形．16.一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕A点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有___________．（填序号）【答案】①③④【解析】【分析】由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案．【详解】解：由题意可得：，∴，故①符合题意；如图，∵，，∴，∴，∴与不平行，故②不符合题意；∵，，∴，∴，故③符合题意；如图，∵，∴，∴，而，∴，∴，故④符合题意；故答案为：①③④【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共72分）17.（1）解方程：；（2）已知：关于x的方程的一个根是2，求另一个根及k的值．【答案】（1）（2）k的值为，方程另一根为2【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程：（1）用公式法求解即可；（2）把代入即可求得k的值，再求其另一根即可．【详解】解：（1）∵，∴，即；（2）∵方程的一个根是2，∴，解得，∴方程为，解得或，即k的值为，方程另一根为2．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．（1）画出，使得与关于原点对称，并写出的坐标；（2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出并写出的坐标．【答案】（1）见解析，（2）见解析，【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质找到的对称点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解；（2）根据中心对称的性质找到的对称点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解．【小问1详解】如图，即为所求．【小问2详解】如图，即为所求．．【点睛】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．19.某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．【答案】（1）每件童服装应降价15元（2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由见解析【解析】【分析】（1）设每件童服装应降价x元，根据单件利润×销售量=总利润列方程求解即可；（2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论．【小问1详解】解：设每件童服装应降价x元，根据题意，得，整理，得，解得，，∵尽可能让利于顾客，∴，答：每件童服装应降价15元；【小问2详解】解：该店铺每周不可能盈利10000元，理由为：设该店铺每周可能盈利10000元，则，整理，得，∵，∴所列方程没有实数根，故该店铺每周不能盈利10000元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．20.已知：二次函数．（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x…

…y…

…（2）当时，观察图象，直接写出函数值y的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、画二次函数的图象、二次函数与不等式的关系等知识点，正确画出二次函数图象是解答本题的关键．（1）将函数解析式化成顶点式，然后确定对称轴和顶点坐标，根据对称轴，在对称轴的左右两边各选两个点最为横坐标x的值，然后代入求出函数值y，然后填入表格，根再描点连续即可；（2）根据函数图象直接写成答案即可．【小问1详解】解：，∴抛物线顶点坐标为；对称轴为直线，列表，x…0123…y…03430…描点，连线，【小问2详解】解：根据函数图象可得，时，y的取值范围是．21.如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)由旋转的性质可得,利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出,那么.由,得出，再根据三角形外角的性质即可求出.【小问1详解】∵将线段绕点旋转到的位置，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴；【小问2详解】∵，∴，∴，∵，∴，∵,，∴，∵是的外角，∴，∴的度数为.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键.22.如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．（1）求证：是⊙O的切线；（2）当，时，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论；（2）连接，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得，即，又因为，根据三线合一得到D是的中点，由求出的长，再由的长，利用勾股定理求出的长，最后根据的面积列出等式，即可求出的长．【小问1详解】证明：如图，连接，，，，，，，，，是⊙O的切线．【小问2详解】连接，为⊙O的直径，，又，且，，在中，