新教材2024版高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

3．2.2双曲线的几何性质A级——基础过关练1．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,33)＝1的焦点坐标是 ()A．(±eq\r(17)，0) B．(0，±eq\r(17))C．(±7，0) D．(0，±7)【答案】C【解析】由题意可知c2＝16＋33＝49，所以c＝7.由双曲线方程可知焦点在x轴上．故选C.2．与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 ()A．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,48)＝1【答案】A【解析】依题意设双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ()A．－eq\f(1,4) B．－4 C．4 D．eq\f(1,4)【答案】A【解析】双曲线方程化为标准形式y2－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，则有a2＝1，b2＝－eq\f(1,m)，由题设条件知2＝eq\r(－\f(1,m))，所以m＝－eq\f(1,4).4．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，对比3x±2y＝0得a＝2.5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为 ()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,13)＝1 B．eq\f(x2,13)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1【答案】D【解析】由双曲线的渐近线bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知eq\f(2b,\r(a2＋b2))＝eq\r(3)，又因为c＝eq\r(a2＋b2)＝2，所以有a＝1，b＝eq\r(3)，故双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.6．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,4)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为 ()A．y＝±eq\f(\r(3),2)x B．y＝±eq\f(\r(15),2)xC．y＝±eq\f(\r(15),4)x D．y＝±eq\f(2\r(2),5)x【答案】C【解析】因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，不妨设a＝4，c＝1，则b＝eq\r(15)，所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(15),4)x.7．(多选)已知双曲线9y2－4x2＝－36，则 ()A．该双曲线的实轴长为6B．该双曲线的虚轴长为4C．该双曲线的离心率为eq\f(\r(13),3)D．该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x【答案】ABCD【解析】将9y2－4x2＝－36化为标准方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，即eq\f(x2,32)－eq\f(y2,22)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝eq\r(13)，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(2,3)x.故选ABCD.8．双曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是__________．【答案】(－12，0)【解析】双曲线方程可变为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－k)＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－k),2)，又因为e∈(1，2)，则1<eq\f(\r(4－k),2)<2，解得－12<k<0.9．(2023年钦州检测)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方程为y＝±2eq\r(2)x，则该双曲线的离心率为________．【答案】3【解析】双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率eq\f(c,a)＝e，因为eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝9，所以eq\f(c,a)＝e＝3.10．(2023年长春检测)已知椭圆C1的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为16eq\r(2).(1)求椭圆C1的标准方程及离心率；(2)若双曲线C2与(1)中椭圆C1有相同的焦点，且过点P(6，2eq\r(2))，求双曲线C2的标准方程．解：(1)由题意得在椭圆C1中，2b＝2c，且eq\f(1,2)×2ab＝16eq\r(2).根据a2＝b2＋c2，解得a＝4eq\r(2)，b＝c＝4，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.椭圆的离心率为e＝eq\f(4,4\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(2)由题意，椭圆C1的焦点为(－4，0)和(4，0).因为双曲线C2过点P(6，2eq\r(2))，根据双曲线的定义，得2a＝eq\r([6－(－4)]2＋(2\r(2)－0)2)－eq\r((6－4)2＋(2\r(2)－0)2)＝4eq\r(3)，所以a＝2eq\r(3).又因为c＝4，所以b2＝42－(2eq\r(3))2＝4.所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1.B级——能力提升练11．(2023年大庆检测)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·(eq\o(OF1,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝0(O为坐标原点)，cos∠PF2F1＝eq\f(12,13)，则双曲线C的离心率为 ()A．2 B．eq\f(5,3)C．eq\f(13,5) D．eq\f(13,7)【答案】D【解析】如图，取PF1的中点为M，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF1,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))).由eq\o(PF1,\s\up6(→))·(eq\o(OF1,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝0，得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(OM,\s\up6(→)).因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1⊥PF2.由cos∠PF2F1＝eq\f(12,13)，设|PF2|＝12，则|F1F2|＝13，|PF1|＝5，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝7，2c＝|F1F2|＝13，得双曲线C的离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(13,7).故选D.12．(多选)(2023济宁高二检测)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且eq\o(MF2,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))2，则以下结论正确的是 ()A．∠F1MF2＝120°B．双曲线C的离心率为eq\r(3)C．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(2)xD．直线l的斜率为1【答案】BC【解析】如图，作F2D⊥MN于点D，则eq\o(MF2,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝|eq\o(MF2,\s\up6(→))|·|eq\o(MN,\s\up6(→))|·cos∠F2MN＝|eq\o(MN,\s\up6(→))||eq\o(MD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(MD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，所以D是MN的中点，从而|F2M|＝|F2N|.根据双曲线定义，得|MF2|－|MF1|＝2a，|NF1|－|NF2|＝2a，所以|NF1|－|MF1|＝|MN|＝4a，因为以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，于是∠F1MF2＝135°，A错误；因为|MF2|＝|NF2|＝2eq\r(2)a，|NF1|＝(2eq\r(2)＋2)a，由余弦定理|F1F2|2＝|NF1|2＋|NF2|2－2|NF1|·|NF2|cos45°得4c2＝(2eq\r(2)a)2＋(2eq\r(2)＋2)2a2－2×2eq\r(2)a×(2eq\r(2)＋2)a×eq\f(\r(2),2)，化简得eq\f(c2,a2)＝3，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，B正确；由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝3得eq\f(b2,a2)＝2，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，C正确；由图易知∠NF1F2<∠NMF2＝45°，所以kMN＝tan∠NF1F2<1，D错误．故选BC.13．具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线C1：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1与双曲线C2有共同的渐近线，双曲线C2的渐近线方程是__________；若双曲线C2还经过点M(eq\r(3)，4)，则双曲线C2的离心率为__________．【答案】y＝±eq\f(\r(3),3)x2【解析】C1：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，双曲线C1，C2有共同的渐近线，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(3),3)x.设双曲线C2的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝k(k≠0)，将点M(eq\r(3)，4)代入得eq\f(3,9)－eq\f(16,3)＝k，解得k＝－5，所以双曲线C2的方程为eq\f(y2,15)－eq\f(x2,45)＝1，离心率e＝eq\f(\r(60),\r(15))＝2.14．如图，已知F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.【答案】(1，2)【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，所以只需∠AEB为锐角，所以∠AEF<45°，所以eq\f(b2,a)＝AF<FE＝a＋c，所以e2－e－2<0，所以－1<e<2.又因为e>1，所以1<e<2，所以e∈(1，2).15．已知F1，F2分别是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48eq\r(3)，求此双曲线的方程．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，所以点F2到渐近线的距离为eq\f(|bc±0|,\r(b2＋a2))＝b(其中c是双曲线的半焦距)，所以由题意知c＋a＝2b.又a2＋b2＝c2，解得b＝eq\f(4,3)a，故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.(2)因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60