高中数学 三角恒等变换综合课后练习一 新人教A版必修4

题1:函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的最大值和最小正周期分别是()A．2，π B.eq\r(2)＋1，πC．2,2π D.eq\r(2)＋1,2π题2:若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)题3:已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形题4:△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值是()A．1B．－1C．3题5:若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．题6:当函数y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.题7:已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析式．题8:若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为() A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)课后练习详解题1:答案：B.详解：y＝2cosxsinx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，所以当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)时取得最大值eq\r(2)＋1，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.题2:答案：D.详解：∵tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，∴eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝4，∴eq\f(sin2θ＋cos2θ,cosθsinθ)＝4，即eq\f(2,sin2θ)＝4，∴sin2θ＝eq\f(1,2).题3:答案：C.详解：依题意得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(100sin30°,80)＝eq\f(5,8)，eq\f(1,2)<eq\f(5,8)<eq\f(\r(3),2)，因此30°<B<60°，或120°<B<150°.若30°<B<60°，则C＝180°－(B＋30°)>90°，此时△ABC是钝角三角形；若120°<B<150°，此时△ABC仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.题4:答案：B.详解：因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)＝－1＋1－1＝－1，故选B.题5:答案：2.详解：－1＝taneq\f(3π,4)＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.题6:答案：eq\f(5,6)π.详解：利用正弦函数的性质求解．∵y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x<2π)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))(0≤x<2π)．由0≤x<2π知，－eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,3)<eq\f(5π,3)，∴当y取得最大值时，x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(5,6)π.题7:答案：(1)见详解.(2)f(x)＝eq\f(x,1＋2x2)详解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)由(1)得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝2tanα，即eq\f(x＋y,1－xy)＝2x，∴y＝eq\f(x,1＋2x2)，即f(x)＝eq\f(x,1＋2x2).题8:答案：B.详解：由题意知：sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝