高中专题复习及考试要求 第二章 函数第7节 函数的图象

第7节函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数的图象知

识

梳

理步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换－f(x)f(－x)－f(－x)logax[常用结论与微点提醒]1.记住几个重要结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称. (3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(

)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(

)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(

)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(

)解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)图象关于x轴对称，(3)错.(4)中，f(2－x)＝f[1＋(1－x)]＝f[1－(1－x)]＝f(x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，(4)正确.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√解析其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.答案C3.(新教材必修第一册P140习题4.4T6)在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(

)解析依题意，在2h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.答案B4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是(

) A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x) C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)

解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x).

法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.

答案B答案D∴f(x)为奇函数，排除A.答案(2，8]考点一作函数的图象【例1】

作出下列函数的图象：(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.规律方法作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】

分别作出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.

解(1)先作出函数y＝lgx的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lgx|的图象，如图①实线部分.(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.考点二函数图象的辨识所以f(x)是奇函数，排除选项C.所以f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.又f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；当0<x<1时，lg|x|<0，f(x)<0，排除C；当x>0且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.答案(1)B

(2)B规律方法1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.答案(1)B

(2)D角度1研究函数的性质【例3－1】

已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(

)考点三函数图象的应用多维探究A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.答案C角度2函数图象在不等式中的应用【例3－2】(1)(2020·青岛模拟)已知函数f(x)＝2－|x|，若关于x的不等式f(x)≥x2－x－m的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为(

) A.[－3，－1)

B.(－3，－1) C.[－2，－1)

D.(－2，－1)由图可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整数解为x＝0，解析(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x2－x－m的图象如图所示.角度3求参数的取值范围【例3－3】

设函数f(x)＝|x2－2x|－ax－a，其中a>0，若只存在两个整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是________.

解析f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，则|x2－2x|<ax＋a，

分别画出y＝|x2－2x|与y＝a(x＋1)的图象，如图所示.即x＝0或x＝1，∵只存在两个整数x，使得f(x)<0，当x＝1时，|12－2|＝1，令2a＝1，规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称B.函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称D.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴(2)(角度2)已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(

)A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图，答案(1)BCD

(2)C

(3)B直观想象——函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.类型1利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例1】

已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(

) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点