二重积分概念和性质互联网资料

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第九章重积分

第一节二重积分的概念与性质1、二重积分的概念2、二重积分的性质

一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面

D

侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.解法:类似定积分解决问题的思想:“大化小,常代变,近似和,求极限”

机动

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结束

1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域

1,2,,n

以它们为底把曲顶柱体分为n个f(k,k)小曲顶柱体(k,k)2)“常代变”在每个

Dk

中任取一点

则

Vkf(k,k)k3)“近似和”n

(k1,2,,n)

f(k,k)kk1机动名目上页下页返回结束

4)“取极限”

(k)maxPP2P,P2k11令max(k)1knn

f(k,k)(k,k)k

Vlimf(k,k)k0k1

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结束

2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,其面密度为计算该薄片的质量M.

设D的面积为,则

M若特别数,仍可用

y

D

“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域1,2,,n,

x

相应把薄片也分为小区域.机动名目上页下页返回结束

2)“常代变”在每个k中任取一点(k,k),则第k小块的质量3)“近似和”

y(k,k)kk1n

4)“取极限”

令max(k)1kn

(k,k)k

x

Mlim(k,k)k0k1机动名目上页下页返回结束

n

两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同“大化小,常代变,近似和,取极限”(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:

Vlimf(k,k)k0k1n

n

平面薄片的质量:

Mlim(k,k)k0k1

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结束

定义:设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数,

将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使记作

则称f(x,y)可积,称I为f(x,y)在D上的二重积分.积分和积分表达式

x,y称为积分变量积分域被积函数面积元素机动名目上页下页返回结束

假如f(x,y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划分区域D,这时也常因此面积元素记作dxdy,二重积分记作

Df(x,y)dxdy.引例1中曲顶柱体体积:

Vf(x,y)df(x,y)dxdyDD

引例2中平面薄板的质量

:

M(x,y)d(x,y)dxdyDD机动名目上页下页返回结束

二重积分存在定理:(证明略)定理1.若函数

在有界闭区域D上连续,则在有界闭区域D上除去有

在D上可积.定理2.若有界函数积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,

0x1y例如,f(x,y)xy在D:10y1D1上二重积分存在;但f(x,y)在D上o1xxy22

二重积分不存在.机动名目上页下页返回结束

二、二重积分的性质

2.f(x,y)df(x,y)dDD1

D2

f(x,y)d

为D的面积,则

D1dDd机动名目上页下页返回结束

4.若在D上f(x,y)(x,y),则

Df(x,y)dD(x,y)d特殊,由于f(x,y)f(x,y)f(x,y)

5.设则有

Df(x,y)d

D

f(x,y)dD的面积为,

mf(x,y)dMD

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结束

6.(二重积分的中值定理)连续,为D的面积,则至少存在一点

在闭区域D上使

Df(x,y)df(,)证:由性质5可知,1mf(x,y)dM

D

由连续函数介值定理,至少有一点1f(,)f(x,y)d

使

D

因此机动名目上页下页返回结束

例1.

比较下列积分的大小:

D解:周

(xy)2d,

D

(xy)3d

y

其中D:(x2)2(y1)22积分域D的边界为圆

1

D

o123xxy1而域D位

它与x轴交于点(1,0),于直线的上方,故在D上xy1,从而

(xy)2(xy)3

D

(xy)2d(xy)3dD机动名目上页下页返回结束

例2.估量下列积分之值dxdyI100cos2xcos2yD

D:xy10

解:D的面积(102)2200为由于1101122102100cosxcosy100积分性质5

y