湖南省2020年高二数学上学期期中考试卷（五）

湖南省2020年高二数学上学期期中考试卷（五）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1.已知集合A={x|x=3n+1,nGN},B={4,6,8,10,12},则集合AcB中的元素个

数（）

A.1B.2C.3D.4

式1

（）的一条渐近线方程为则该双曲

2.已知双曲线相b2=1a>0,b>0y=5x,

线的离心率为（）

A.当B.C.V5D.2

2-兀

3.已知a为钝角，sina=-1，贝ijtan(彳+a)=()

X1

A.3B.3C.-3D.-3

4.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）

A.y=-10x+200B.y=10x+200C.y=-lOx-200D.y=10x-200

5.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10,则输出S的值是（）

（芋）

/喻女”

A.45B.46C.55D.56

6.函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）

A.（一番子）B.（李等）C.5,等）

D.（等，2九）

7.如图，在正方体ABCD-AiB[C[D]中，E、F、G、H分别为AA]、AB、BB1、B,C|

的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）

A.45°B.60°C.90°D.120"

8.给出如下四个命题：

①若"pVq"为真命题，则p,q均为真命题；

②”若a>b,贝!J2a>2b-1”的否命题为“若aWb,贝ij2a<2b-1"；

③“VxeR,*2+*，1”的否定是"左（）61<,xj+x（）Wl”；

④“x>l"是"x>0"的充分不必要条件.

其中不正确的命题是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

9.已知户a+g、（a>2）,口吗）十-2（XWR）,则p,q的大小关系为（）

A.p2qB・p>qC.p<qD.p〈q

10.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

工线95G纣AR

A.-y-B.21C.21+等D.21+75

H.设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件：存在[a,b]UD,使f(x)在[a,

b］上的值域是号，学，则成f(x)为"倍缩函数"，若函数f(x)=噫(2x+t)为"倍缩

函数”,则t的范围是()

A.(0,—)B.(0,1)C.(0,—]D.(―,+8)

424

22

12.从双曲线与-*1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T,

a?b?

延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点，O为坐标原点，贝|MO-|MT

与b-a的大小关系为()

A.|MO-|MT|>b-aB.MO|-|MT|=b-aC.|MP-|MT<b-aD.不确

定

二、填空题：本大题共4个小题，共20分。

13.在直角坐标系xOy中，设集合Q={(x,y)0<xWl,OWyWl},在区域。内任

取一点P(x,y),则满足x+yWl的概率等于.

14.设抛物线y2=4x焦点E经过点P(4,1)的直线1与抛物线相交于A、B两点，且

点P恰好为线段AB的中点二则1AF|+变;=.

15.如图，已知|赢=2,|0Bl=2V3>m•语0点C在线段AB上，NAOC=30。，用

市和祸来表示向量正，则6"等于_____-

3C

O/

16.若函数y=f(x)(xGR)满足f(x+l)=-f(x),JLxe［-1,1］时，f(x)=l-

lgx(x?>0)

X2,函数g(x)1Jc、则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5,5］内的零

--(x<0)

Ix

点的个数为.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD/7BC,CE〃BG,且NBCD=

71

ZBCE=——，平面ABCD_L平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证：

2

(I)EC1CD；

(II)求证：AG〃平面BDE；

(III)求：几何体EG-ABCD的体积.

18.函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f3)=§.

l+xZ25

(I)求f(x)的解析式，

(II)用函数单调性的定义证明f(X)在(-1,1)上是增函数.

19.已知直线丫=1«+1与双曲线x2-y2=l的左支相交于不同的两点A,B,线段AB的

中点为点M,定点C(-2,0).

(1)求实数k的取值范围；

(2)求直线MC在y轴上的截距的取值范围.

20.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,侧面PAB为等边三角形,

侧棱PO2&.

(I)求证：PC±AB；

(II)求证：平面PABJ_平面ABC；

(III)求二面角B-AP-C的余弦值.

21.己知数列｛aj中，a】=2,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+i+Sn一i=2Sn+l,其中(n22,

nGN*).

(1)求数列｛aj的通项公式;

na

(2)设bn=4%(-1)-'A.2»(人为非零整数，nWN*),试确定人的值，使得对任

意nGN*,都有与+1>1成立.

22.己知椭圆C：三［^1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短

轴两端点构成等边三角形.

(I)求椭圆的方程；

(II)过点Q(-1,0)的直线1交椭圆于A,B两点，交直线x=-4于点E,而=人■丽,

标寸应.判断入+”是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.B.2.A.3.D.4.A5.B.6.C.7.B.8.C.9.A.10.D.

11.A.12.B.

二、填空题

13.解：本题是一个几何概型，

•••试验包含的所有事件对应的集合Q={(x,y)OWxWl,OWy<l},

ASO=1X1=1,

:满足条件的事件A={(x,y)0这xWLOWyWl,x+yWl},

/.由几何概型公式得到P=E=[,

T2

故答案为：

14.解：设A(xpyp,B(X2>Y2)，

作出抛物线的准线：x=-l,过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D,

根据抛物线的定义，得

|AF|=|AC|=Xi+l,|BF!=|BD|=X2+1,故|AF|+|BF|=(x|+x2)+2

：AB中点为P(4,1),

/.-i-(x)+x2)-4,可得X[+X2=8

Z.AF+BF|=（X1+X2）+2=10

故答案为：10.

15.解:•.•赢•丽=0，；.OAJ_OB.

•.•OA=2,OB=2A/3，

•*-ABI=70A2+0B2=4,NA=60°,NB=3O°.

VZAOC=30°,

.".OC1AB,

；.AC寺A=l，

•**AC=yAB=-^QB--1oA»

.—♦—•—•3-*1-♦

••OC=OA+AC=jOA+—OB-

故答案为：-1-0A

44

16.解：..,数y=f(x)(x£R)满足f(x+1)=-f(x),

Af(x+2)=f(x),

即f(x)的周期为2,

Vh(x)=f(x)-g(x)在区间［-5,5］内的零点的个数为,

函数f(X)与g(X)函数图象的交点个数，

三、解答题

17.(I)证明：由平面ABCD_L平面BCEG,

平面ABCDn平面BCEG=BC,CE±BC,CEU平面BCEG,

.•.EC_L平面ABCD,...

又CDU平面BCDA,故ECLCD...

(II)证明：在平面BCEG中，过G作GNLCE交BE于M,连DM,

则由已知知；MG=MN,MN〃BC〃DA,且MN二AD=1"BC，

AMGAD,MG=AD,故四边形ADMG为平行四边形，AAG/7DM...

；DMU平面BDE,AGQ平面BDE,；.AG〃平面BDE...

(Ill)解：

%G-ABCD=VD-KEG+VG-ABD+VD-BK京琳皿*DC+ySAABD*BG+-3SABEG叩。“

春X等x2X2+vxyxIX2X1-4-x鼻1X2X2=3-

J/J4J/

A

18.解：(I)由题知，f(x)是(-1,1)上的奇函数,

所以f(0)=0,即b=0...

又因为f(4)

所以a=l,

..r(x)=7；

l+x<

(II)证明：VxpX2^(-1,1)且X[<X2，

(X|-x2)(I-XJX2)

贝！I有f(X])-f(X2)=,22

(1+Xj)(1+X2

Vxi<X2，X],(-1,1),

(X]-X2)(I-Xjx2)

.*.f(X1)<f(X2),

函数在(-1,1)上是增函数.

19.解：(1)直线y=kx+l代入双曲线x2-y2=i,可得(1-k2)X2-2kx-2=0,

:直线y=kx+l与双曲线x2-y2=l的左支相交于不同的两点A,B,

一2

A1-k2^0,A=4k2+8(1-k2)>0,­-----

二解得

，k的取值范围是(1,g

•.•直线1经过C(-2,0)及线段AB的中点M,

直线MC的方程为：Ik,整理，得x-(-2k2+k+2)y+2=0,

令x=0,解得直线1在y轴上的截距b=----o-----

-2kz+k+2

设f(k)=-2k2+k+2=-2(k-工)2+1L,

48

则f(k)在(1,上是减函数，

Af(5/2)<f(k)<f(1),且f(k)¥0,

-2+&<f(k)<1,且f(k)WO,

Ab<-2-&，或b>2,

故直线1在y轴上的截距b的取值范围是(-8,-2-V2)U(2,+8).

20.解：（I）设AB中点为D,连接PD,CD,

因为AP=BP,所以PD_LAB.

又AC=BC,所以CDLAB.

因为PDnCD=D,所以ABJ_平面PCD.

因为PCU平面PCD,所以PCLAB.

（II）由已知NACB=90°,AC=BC=2,

所以AD=BD=CD，AB=2V2.

又4PAB为正三角形，且PD_LAB,所以PD=V^.

因为PC=2&,所以PC2=CD2+PD2.

所以NCDP=90。.

由（I）知NCDP是二面角P-AB-C的平面角.

所以平面PABJ_平面ABC.

（Ill）方法1：由（H）知CD,平面PAB.

过D作DELPA于E,连接CE,则CE_LPA.

所以/DEC是二面角B-AP-C的平面角.

在Rt^CDE中，易求得DE当

因为CD=V^，所以tanNDEO二

第UE窜J・

所以cos/DEcX^。

即二面角B-AP-C的余弦值为零.

方法2：由（I）（II）知DC,DB,DP两两垂直.

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知D（0,0,0）,C（V2.0,0）,A（0,-近,0）,P（0,0,遍）.所以

AC=（V2»如,0）＞PC=（V2»0,-肩）.

设平面PAC的法向量为n=（x,y,z）,

则卜屈=。即尸。

（n*PC=0lV2x_V6z=0

令x=l,则y=-1，z=^.

所以平面PAC的一个法向量为n=（l,-1,华）.

易知平面PAB的一个法向量为反=（&,0,0）.

n&汨

所以cos<n,DC>-

In|IDCI"7

由图可知，二面角B-AP-C为锐角.

所以二面角B-AP-C的余弦值为华.

21.解：(1)由已知，(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn_1)=1(11。2,n2N*),

即an+i-a『l(n»2,nWN*'),且a2-a1=l.

・•・数列｛aj是以ai=2为首项，公差为1的等差数列.

・，・an=n+l.

(2)Van=n+1,

nnln+1

.,.bn=4+(-1)A.2,要使bn+i>bn恒成立，

n+lnn+1

.,.bn+1-bn=4-4+(-1)n入・2计2,(-1)n-lA，2>0恒成立,

.-.3«4n-3X«(-1)n-12n+l>0恒成立，

(-1)『1人<2标1恒成立.

(i)当n为奇数时，即入〈2117恒成立,

当且仅当n=l时-，2广1有最小值为1,

(ii)当n为偶数时，即人>-1恒成立，

当且仅当n=2时，-2八1有最大值-2,

：.\>-