机器人学蔡自兴课后习题答案解析

其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3.坐标系｛B｝的位置变化如下：初始时，坐标系｛A｝与｛B｝重合，让坐标系｛B｝绕

Zp轴旋转。角；然后再绕Xg旋转。角。给出把对矢量"P的描述变为对V描述

的旋转矩阵。

解：•.•坐标系｛B｝相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变

换顺序为依次右乘。

.•.对"P描述有AP=gTBP；

其中圆=Rot(z,e)Rot(x,@)o

9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放

在图2-10b所示位置。

(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移

或绕该轴旋转。

(2)作图说明每个从右至左的变换序列。

(3)作图说明每个从左至右的变换序列。

解：(1)方法1：如图建立两个坐标系｛。内y“｝、，与2个楔块相固联。

图1:楔块坐标系建立(方法1)

对楔块1进行的变换矩阵为：M=Rof(y,90)R〃(z,90)；

对楔块2进行的变换矩阵为：

岂=万。〃式一3,0,4)Rof(z,—90°)：77?o，(x,90°)Rof(z,180°)：

1000

05

其中步

010

0001

'0010'-00-12'

10001000

所以

汇=；T

01002=0-104

00010001

对楔块2的变换步骤：

①绕自身坐标系X轴旋转90。；

②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180P;

③绕定系的Z轴旋转-90。；

④沿定系的各轴平移(-3,0,4)。

方法2：如图建立两个坐标系｛。内NR｝、｛。2尤2%22｝与参考坐标系重合，两坐标系

对楔块1进行的变换矩阵为：Tt=R〃(y,90)R〃(z,90)；

对楔块2进行的变换矩阵为：

T2=Trans(-2,0,9)Trans^,Q,0)Rot(y,9Q'')Rot(x,\80'')Rot(z-9Q0)；

-0010'-00-12

10001000

所以

1=：T-O

010020-109

00010001

备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。

(2)、(3)略。

2.图371给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方

程式。

解：方法1建模：

如图3建立各连杆的坐标系。

图3:机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。

表1:机械手的连杆参数

连杆«,­44

190"04

20^20。2

3000a

该3自由度机械手的变换矩阵：°n=4A2A3;

cO0s*L\c9\

yc02一他0L2C02

sO{0-cO{L}sO}s02c020L2SO2

A=；A2=

01000010

0001_0001

'C6»3-SA0O-

cdy00

4=

0010

0OOI

C6}C02C63-CO}SO2SO3-C0}C32S03-cO}s02cd3sO}L}c3}+L2C0]C02

sO}c02cO3-sOxsO2sO3-S0{c02s0y-S0xs02c03-cOxLlsOl+L2SO{CO2

sO2cO3+cO2sO3-S32S03+CO2CO30L2SO2

0001

方法二进行建模:

坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立

根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表20

表2：机械手的连杆参数

连杆a,-x44

10004

290°40%

30L?0%

c0x—s*00c02-s020L]

c0x0000-10

A=;A2=

0010s02c0200

00010001

c03-s40L2

S3C00C

4=33

001C),

0001

C01C32C03—cO}sO2sO3-c01c02sO3-cOv^02C33S0}L}C3]+L2C0]C02

oT=se{ce2ce3-s0lsO2s03-sO^c02sO3-sO^\02cO3-ML[S6]+L2SOXCO2

s02cO3+cO-)sO^—s02sOy+c02cO30L2SO2

0001

3.图3-12所示3自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3

平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机

械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵°工，2和Z。

解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端

执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。

方法1建模：

按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5o

LsL4

图5:机械手的坐标系建立

连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H参数值见表3o

表3:机械手的连杆参数

连杆ai44

190"0L]+乙2仇

20£30

30L40仇

末端执行器000%

注：关节变量"=%=仇=d=0o

将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：

1000100

00-100100

(7:，2-

o10Lt+L20010

00010001

-

-100L4~■1000

01003T_0100

飞=/末.

00100010

00010001

方法2建模：

按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6o

图6:机械手的坐标系建立

3自由度机械手的D-H参数值见表40

表4:机械手的连杆参数

连杆%-1%4*

100Lj+乙2

290"00%

30L30%

末端执行器0240

注：关节变量*=仇=仇=3&=4。

将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为:

1000'-1000

010000-10

。（=

001L、+0100

00010001

100乙31004

01000100

；1末一

00100010

00010001

-0104

1.已知坐标系｛C｝对基座标系的变换为：C=；：；；;对于基座标系的微分

0001

平移分量分别为沿X轴移动0.5,沿Y轴移动0,沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为

0.1,0.2和0。

(1)求相应的微分变换；

(2)求对应于坐标系｛C｝的等效微分平移与旋转。

解：(1)对基座标系的微分平移：6/=[0.5,0,lJT;

对基座标系的微分旋转：b=[0.1,0.2,0jJ

000.20.5

00-0.10

A—

-0.20.101

0000

0.2000.5'

-0.1000

相应的微分变换：de=△(?=

0-0.20.10.5

0000

-

(2)由相对变换。可知"、0、aP，

cc

dx=〃.((5xp)+d)=0.5；<4=°(@x〃)+[)=().5；dz=a-(.(^xp)+d)=0

以=〃-3=()；%=ob=0.1；'3=a4=0.2

对应于坐标系｛C｝的等效微分平移：Z=[0.5;0.5;0]；微分旋转：cJ=[0;0.1;0.2]o

2.试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末

端上，其姿态与第三关节的姿态一样。

解:设第3个连杆长度为4。

1）使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变

换法。

表5：D-H参数表

连杆4仇

190"L,04

20L?0%

300003

7%-响oo-

C（9?+一$（。2+%）0乙2。。2

§（仇十仇）。（2十名）0LS0s0cO00

22；X3y:%=E

00100010

00010001

由上式求得雅可比矩阵:

00

L1s。3

L2C0300

000

000

000

011

2）使用方法2建模，使用微分变换法。

图8:机械手的坐标系建立

表6：D-H参数