宁夏中卫市2021届高三三模数学（理）试题

2021年中卫市高考第三次模拟考试

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第n卷第22、23题为选考题,

其他题为必考题.考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本

试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

i.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考

证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非

选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号

涂黑.

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

1.集合4={x|x>0},B={-2,-1,0,2},则（。«4加3=（）

A.{0,2}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1}D.{2}

2.命题“若小+〃=o则a=0且8=0”的否定是（）

A.若4+〃工0,则awO且力。0B.若/+〃=0,则awO且力。0

C.若/+b2H0,则或力。0D,a2+b2=0,则或匕。（）

3.若向量丽=（5,6）,诬=（2,3）,则86=（）

A.（-3,-3）B.（7,9）C.（3,3）D.（-6,-10）

4.已知角。终边经过点P（痣,a）,若。=一工，则。=（）

A.-V6B.迈C.V6D.-近

33

5.2022年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再

从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某

中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图，甲同学的成绩雷达图如

图所示，下面叙述一定不正确的是（）

甲冏学电处用均分

A.甲的物理成绩领先年级平均分最多

B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分

C.甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理

D.对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

百

6.已知水平放置的AMBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中9O'=C'O'=1,A'O'V

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

7.已知矩形A8CD的四个顶点的坐标分别是3（1,1）,C（l,0）,D（-l,0）,其中A,8两点

在曲线y=f上，如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形A8CD中，则骰子落入阴影区域的概率是()

DoCx

8.若函数/（x）=sin2x+cos2x,则下列结论正确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为2"

B.函数/（x）的图象关于点对称

C.函数/（x）在区间B引上是减函数

TT

D.函数/（X）的图象关于直线X=,对称

9.已知圆“过点A（l,l）、3（1,—2）、C（3,-2）,则圆“在点8处的切线方程为（）

A.2x+y=0B.3x+2y+l=0C.2x+3y+4=0D.%+2y+3=0

10.若正四面体ABC。的所有棱长均为血，则正四面体ABC。的（）

A.表面积为4百B.高为亚2D.内切球半径为走

C.体积为一

336

11.设锐角33。的三内角A,B,。所对边的边分别为。，b,c,且。=2,B=2A,则匕的取值范

围为（）

A.（272,273）B.（2>/2,4）C.（2,2@D.（0,4）

12.已知函数/（x）=xe*,g（x）=2xln（2x）,若,/■（%）=g（x2）=f,f>0,则--的最大值为（）

1「4〃1、2

A.-r-B.—rC.-D.一

eee

第n卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知i为虚数单位，复数z=（2+尸川―出）为实数，则2=.

14.已知方程lgx=3-x的根在区间(2,3)上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为

15.已知函数/(x)是定义域为R上的奇函数，且对任意xeR,都有"2—x)=/(x)成立，当1,1]

—0x

时，/(x)=a]+2、，则”；当xe[1,3]时，/(x)=.

22

16.已知椭圆C：]+方=1(6>0)与双曲线Jf-y2=i共焦点，过椭圆。上一点p的切线/与x轴、

y轴分别交于A,8两点(耳，居为椭圆。的两个焦点)•又。为坐标原点，当△ABO的面积最小时,

下列说法所有正确的序号是.

①〃=1；②当点P在第一象限时坐标为几，¥)；

③直线0P的斜率与切线/的斜率之积为定值--；

2

④的角平分线P“(点”在《居上)长为,.

三、解答题：(本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S,，一2s2，S3,4s4成等差数列，且氏+24+4=」-.

16

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若2=-(〃+2)盛同，求数列〈今的前九项和7；.

18.某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识十一

黄金周”期间，组织学生去A、3两地游玩，由于目的地A近，8远，特制定如下方案:

目的地A地目的地8地

绿色出行非绿色出行绿色出行非绿色出行

出行方式出行方式

3]_21

概率概率

4433

得分10得分10

若甲同学去A地玩，乙、丙同学去8地玩，选择出行方式相互独立.

(1)求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；

(2)求三名同学总得分X的分布列及数学期望E(X).

19.在如图所示的几何体中，E4_L平面ABC。，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC,AD=-BC,

2

4)=1,ZABC=60。，EFI/AC,EF=-AC.

2

B

(1)证明：AB±CF；

(2)当二面角6—石尸一D的余弦值为®时，求线段的长.

10

20.已知抛物线：丁=2川的焦点为-2,0),点P在抛物线上.

(1)求此抛物线的方程；

(2)若归耳=5,求点P的坐标；

(3)过点T。,0)(7>0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B、C、。四点，且点M、N分别

为线段48、的中点，求△77WN的面积的最小值.

21.已知函数/(x)=lnx—四二D,其中aeR.

x+1

(1)当a=2,x>l时，证明：/(%)>0；

(2)若函数/(x)=工型>0恒成立，求实数。的取值范围；

X—1

(3)若函数E(x)=J更有两个不同的零点花，x2,证明：-"一

x-1

选考题：(请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅

笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑)

22.选修4一4：坐标系与参数方程

_x=3+sin0-2cos<p—

在直角坐标系x0y中，曲线G的参数方程为<(°为参数)，以坐标原点。为极点,

y=cose+2sino

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为QCOS6+2=0.

(1)求曲线a的极坐标方程并判断C，G的位置关系;

(2)设直线6=a1—5vavgpeRj分别与曲线G交于A,8两点，与C?交于点P,若|A却=3|。4|,

求的值.

23.选修4—5：不等式选讲

设函数/(%)=|1-2乂一%+1］的最大值为例.

(1)求M；

(2)若正数。，力满足4+4=Mab,请问：是否存在正数。，力，使得。6+/=。茄，并说明理由.

ab

2021年中卫市第三次模拟考试

理科数学试卷答案

一、选择题：

1-5：BDCAC6-10：ABBCD11-12：AD

二、填空题：

321-1

13.-14.(2.5,3)15.1,—；—16.①④

2''2'_2+1

三、解答题：

17.解：(1)设等比数列｛q｝的公比为q,

由一2s2，S3,4s$成等差数列知，2s3=-2S2+4S「

所以2%=—%，即4=一；.

|231-1

又4+2〃3+%=—»所以%q+2%q~+%q——，所以q=----,

16162

所以等比数列｛4｝的通项公式。“=(一;).

h)i

(2)由(1)知a=-(〃+2)k)g；1=n(n+2),

所以-!-=—[—=-|-一一—所以数列的前〃项和

hn〃(〃+2)2\n〃+2j也

71W11W1n(11wi1Y

T=1+++・••++

n2I3；(24；135)1〃一1n+\J(〃〃+2)

1+—132〃+3

~22n+1n+242(九+1)(〃+2)

所以数列,32n+3

,的前〃项和7；

42(〃+1)(〃+2)

18.解：(1)恰有一名同学选择绿色出行方式的概率

P=：

(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,根据事件的独立性和互斥性得:

P(X=0)=-xlxl=—；尸(X=l)=3xk1+，xC；x2xl=Z

43336433423336

3,2112|尸(X=3)=，2X2=L

P(X=2)=—xCix—x—+—x

42334(3194333

故X的分布列为:

X0123

174\

p

363693

174125

所以EX=0x—+lx—+2x—+3x-=—.

36369312

19.解：(1)由题知E4J_平面ABCD,84<Z平面45。,

BAA.AE.

过点A作AH_LBC于"点，在用ZVIBH中，ZABH=60°,BH,得AB=1,

2

在AABC中，AC2^AB2+BC2-2ABBCcos600=3,

：.AB2+AC=BC2,.-.ABrACHACnEA^A,

AB_L平面ACfE,又平面ACEE,

(2)以A为坐标原点，AB,AC,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

设AE=a(a>0),则80,0,0),E(0,0,a),电,正aJ10大

I222

/IJ

1_

BE=(—I,O,a),BF,DE,DF=

2)

n-BE=-x-\-az=Q

设3=(%,y,z)为平面BEF的一个法向量，则《______G

n-BF=-元+y+az=0

令x=a得〃=(a,0,1),

同理可求得平面DEF的一个法向量〃?=(2a,0,—1),

2a2-1V10

+1)J4a2+1IF

化简得4a4—5/+i=o,解得。=1或。=!，

2

•..二面角8—所一。为锐二面角，经验证a=」舍去，...a=l.

2

作于M点，则"为AC中点，

CF=y/FM2+CM2=—.

2

20.解：(1)抛物线：/=2内的焦点为尸(2,0),可得］=2,即p=4,

所以抛物线的方程为y2=8x；

(2)由抛物线：/=8尢的焦点/(2,0),准线方程为％=-2,

可得1PH=Xp+2=5,所以巧,=3,yp=±246,

即有P(3,2伺或(3,-2何；

(3)由题意可得直线AB,8的斜率存在，且不为0,可设AB的斜率为％,

则直线CD的斜率为—,，直线AB的方程为y=k\x-t),

k

直线CD的方程为y=—，(%—/),

k

设A&,y),B(z，%)，

-’)可得k2x2—2(公t+4)x+女2产=o,

由<

888

可得%—2tH——,所以y+%=Z%+w)—2kt—2kt---2kt——

则力建，

将M中的攵换为―〉，可得N(f+4%2,一U),

+k2,

『+(4)2=4\k\y/l+k2,

于是心的=勺研四=8四1、

+w22出.“6,

当且仅当左=±1时，上式取得等号.

所以△力MN的面积的最小值为16.

21.解：(1)当。=2时，f(x)=Inx-—―

x+l

、12(x+l)-2(x-l)(X+1)2-4X(X-1)2

f(x)=-------------a----=---------=------7

x((Xx4+-1l)~2x(x+l)~x(x+l)2

当x>l时，/(x)>0,所以/(x)在(1,+8)上为单调递增函数,

因为/(1)=0,所以/(x)>/(l)=O.

/八NWr\1a(x—l)[cn、厂+2(1一。)x+l

(2)函数/(x)=lnx--------，则f(x)=----------；----

x+Ix(x+l)

令g(x)=Y+2(1-d)x+1,

当a<0时，又x>0,则g(x)>0,f'(x)>0,

当0VaW2时，△=4/一8440,得g(x)20,/'(x)>0,

所以当a«2时，/(x)在(0,+o。)上为单调递增函数，且/(1)=0,

所以有」一/(x)>0,可得尸(x)>0.

x-1

当a>2时，有A=4/—8。>0,

此时g(x)有两个零点,设为％,t2,且4<，2.

又因为4+J=>0,=1,

所以0<f1<1<，2，

在04)上，/(X)为单调递减函数，

所以此时有/(x)<0,即lnx<6±D,得电土-——<0,此时F(x)>0不恒成立,

x+1x-1X+1

综上aW2.

(3)若尸(x)有两个不同的零点罚，/，不妨设玉<々，

则X],为了(幻=111%—^^―9的两个零点，且引力1,X2*1,

X+1

由(2)知此时a>2,并且/(x)在(0/),为单调递增函数，

在右)上为单调递减函数，且/(1)=0，

所以/(幻>0,/&)<0，

因为["")=一总<。，Me")=刍>°,

且/(X)图象连续不断，

所以百£(6一"，4),%2,所以J—4〈9一丹v-'—e"，

因为G—4=L=2。cT—2a,

综上得：2,/-2av/-