高三物理一轮复习 机械振动教学一体案

机械振动1．概念如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐运动。2．动力学表达式F＝－kx。运动学表达式x＝Asin(ωt＋φ)。3．描述简谐运动的物理量(1)位移x：由平衡位置指向质点所在的位置的有向线段表示振动位移，是矢量。(2)振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。(3)周期T和频率f：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数，它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系。4．简谐运动的图象(1)物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律。(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin_ωt，图象如12－1－1甲图所示。从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos_ωt，图象如图乙所示。图12－1－15．简谐运动的能量简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。1．简谐运动的五个特征：(1)动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。(2)运动学特征：简谐运动的加速度大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比，而方向与位移方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。(3)运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。(4)对称性特征：①相隔eq\f(T,2)或eq\f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。②如图12－1－2所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。图12－1－2③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。(5)能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep。简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。2．对简谐运动的图象的理解(1)图象的意义：①简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图12－1－3所示。图12－1－3②图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。③任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向。(2)由图象获得的信息：①由图象可以看出振幅、周期。②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。③可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。回复力和加速度的方向总是与位移的方向相反，指向平衡位置；速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移若增加，则质点的运动方向就远离平衡位置；下一时刻的位移若减小，则质点的运动方向就指向平衡位置。1.如图12－1－4所示为弹簧振子P在0～4s内的振动图象，从t＝4s开始()图12－1－4A．再过1s，该振子的位移是正的最大B．再过1s，该振子的速度方向沿正方向C．再过1s，该振子的加速度方向沿正方向D．再过1s，该振子的加速度最大解析：选AD振动图象描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况。依题意，再经过1s，将振动图象延伸到正x最大处。这时振子的位移为正的最大，速度为0，故A项正确，B项错误；因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反，所以此时回复力最大且方向为负方向，故振动物体的加速度最大且方向为负方向，故C项错误，D项正确。单摆图12－1－51．定义在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆。2．视为简谐运动的条件摆角小于10°。3．回复力小球所受重力沿切线方向的分力，即：F＝G2＝Gsinθ＝eq\f(mg,l)x，F的方向与位移x的方向相反。4．周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))。5．单摆的等时性单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和振子(小球)质量都没有关系。1．单摆的回复力是重力沿切线方向的分力，并非重力和拉力的合力。但在最大位移处回复力也可以说成是拉力和重力的合力，其他位置，拉力与重力沿摆线方向的分力不平衡，它们的合力充当向心力，故不能说回复力是拉力和重力的合力。2．平衡位置是回复力为零的位置，但单摆在摆动过程中该位置受力并不平衡，其合力为向心力。这一点与弹簧振子不同。3．周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的理解与运用(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心。(2)测重力加速度g。只要测出单摆的摆长l，周期T，就可以根据g＝4π2eq\f(l,T2)，求出当地的重力加速度g。2．(2011·上海高考)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则()A．f1>f2，A1＝A2 B．f1<f2，A1＝A2C．f1＝f2，A1>A2 D．f1＝f2，A1<A2解析：选C单摆的频率由摆长决定，摆长相等、频率相等，故A、B错误；由于机械能守恒，小球在平衡位置速度越大，其振幅也越大，故C正确，D错误。受迫振动和共振1．受迫振动(1)概念：振动系统在周期性外力作用下的振动。(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。2．共振(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。(2)条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率。(3)特征：共振时振幅最大。(4)共振曲线：如图12－1－6所示图12－1－6(1)共振曲线的理解：如图12－1－7所示，横坐标为驱动力频率f驱，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响。由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大，当f驱＝f固时，振幅A最大。图12－1－7(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。(3)发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅逐渐增大。当驱动力对系统做的功与系统克服阻力做的功相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅达到最大。(4)几种振动形式的比较：振动类型项目自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力周期性驱动力作用周期性驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T固或f驱＝f固振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ<5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、转速计等3．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是()A．当f<f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小B．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f解析：选BD受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化规律如图所示，显然A错，B对。稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即C错，D对。简谐运动的公式和图象[命题分析]本考点为高考Ⅱ级要求，是高考热点，主要考查简谐运动的公式和对图象的理解，以选择题或计算题呈现。[例1]有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过eq\f(1,4)周期振子有正向最大加速度。图12－1－8(1)求振子的振幅和周期；(2)在图12－1－8中作出该振子的位移—时间图象；(3)写出振子的振动方程。[解析](1)振幅A＝10cm，T＝eq\f(2s,10)＝0.2s。(2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移，如图所示(3)设振动方程为y＝Asin(ωt＋φ)当t＝0时，y＝0，则sinφ＝0得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π所以振动方程为y＝10sin(10πt＋π)cm[答案](1)10cm0.2s(2)图见解析(3)y＝10sin(10πt＋π)cm————————————————————————————————作简谐运动的图象或写出简谐运动的方程，需知道三个条件：即振幅、周期及初始位置即初相位。——————————————————————————————————————[互动探究]本题中振子从t＝0时刻到t＝0.05s时刻这段时间内，其加速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？该振子在前2s内的总位移是多少？通过的路程是多少？解析：振子在t＝0到t＝0.05s内，离平衡位置的位移越来越大，故加速度越来越大，动能越来越小，弹性势能越来越大。经2s振子完成10次全振动，回到原位置。故总位移为零，通过的路程为10×4A＝10×4×0.1m＝4m答案：加速度变大，动能变小，弹性势能变大2s内位移是零，路程是4m简谐运动的周期性与对称性[命题分析]本考点为高考热点，主要考查对简谐运动的周期性和对称性的理解，以选择题呈现。[例2]一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1m；t＝eq\f(4,3)s时刻x＝0.1m；t＝4s时刻x＝0.1m。该振子的振幅和周期可能为()A．0.1m，eq\f(8,3)s B．0.1m,8sC．0.2m，eq\f(8,3)s D．0.2m,8s[解析]若振子的振幅为0.1m，eq\f(4,3)(s)＝(n＋eq\f(1,2))T，则周期最大值为eq\f(8,3)s，A项正确，B项错；若振子的振幅为0.2m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1m处运动到负向最大位移处再反向运动到x＝0.1m处，再经n个周期时所用时间为eq\f(4,3)s，则(eq\f(1,2)＋n)T＝eq\f(4,3)(s)，所以周期的最大值为eq\f(8,3)s，且t＝4s时刻x＝0.1m，故C项正确；当振子由x＝－0.1m经平衡位置运动到x＝0.1m处，再经n个周期时所用时间为eq\f(4,3)s，则(eq\f(1,6)＋n)T＝eq\f(4,3)(s)，所以此时周期的最大值为8s，且t＝4s时，x＝0.1m，故D项正确。[答案]ACD———————————————————————————————1由于简谐运动具有周期性、往复性、对称性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解。分析此类问题时，特别应注意，物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定，时间也存在周期性关系。2相隔2n＋1eq\f(T,2)的两个时刻振子的位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度等大反向。——————————————————————————————————————[变式训练]1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asineq\f(π,4)t，则质点()A．第1s末与第3s末的位移相同B．第1s末与第3s末的速度相同C．3s末至5s末的位移方向都相同D．3s末至5s末的速度方向都相同解析：选AD由x＝Asineq\f(π,4)t知周期T＝8s。第1s末、第3s末、第5s末分别相差2s，恰好是eq\f(1,4)个周期。根据简谐运动图象中的对称性可知A、D选项正确。受迫振动与共振[命题分析]本考点考纲Ⅰ级要求，主要考查对受迫振动与共振的概念的理解，以选择题形式呈现。[例3](2013·江西重点中学联考)如图12－1－9所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为240r/min。则()图12－1－9A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5sB．当振子稳定振动时，它的振动频率是4HzC．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大[解析]摇把匀速转动的频率f＝n＝eq\f(240,60)Hz＝4Hz，周期T＝eq\f(1,f)＝0.25s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A错误，B正确。当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确。[答案]BD————————————————————————————————1无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。2受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能。——————————————————————————