概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案

./习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示"第一次出现正面","两次出现同一面","至少有一次出现正面",试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2随机事件的概率1.3古典概型与几何概型1.4条件概率1.5事件的独立性复习总结与总习题解答习题3.证明下列等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9,

从中任取1个,观察号码是"小于5","等于5","大于5"的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果"小于5","等于5","大于5",则样本空间S={ω1,ω2,ω3},

定义随机变量X如下：

X=X<ω>={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为

P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,

P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,

P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},

求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},

得

λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求<1>P{12<X<52;

<2>P{1≤X≤3};

<3>P{X>3}.解答：<1>P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;<2>P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

=115+215+315=25;<3>P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c,

试确定常数c,

并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知,12c+34c+58c+716c=1,

即3716c=1,解得

c=3716=2.3125.由条件概率知

P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}

=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.

在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110,

P{X=4}=C32⋅1C53=310,

P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为X345pk1/103/103/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：

P{3X>60},

即P{X>20},

P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,

当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求：<1>X的概率分布；

<2>P{X≥5};<3>在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：<1>P{X=k}=<1-p>kp=<0.9>k×0.1,k=0,1,2,⋯;<2>P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞<0.9>k×0.1=<0.9>5;<3>设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足

P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4.由于

P{X≤m-1}=∑k=0m-1<0.9>k<0.1>=1-<0.9>m,故上式化为1-0.9m=0.4,

解上式得

m≈4.85≈5,因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,

求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X,

它可能的值只有两个,即0和1.X=0表示未投中,其概率为

p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次,其概率为

p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为

X

0

1

P

0.4

0.6

习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3.

对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120,

P{X=1}=C73C31CP{X=2}=C71C32C103=21120,

P{X=3}=C33CX的分布律为

X

0123

P习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品<前k-1次都取到次品>,

则随机变量X的分布律为

P{X=k}=310×310×⋯×310×710=<310>k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b<2,p>,Y∼b<3,p>,

若P{X≥1}=59,

求P{Y≥1}.解答：因为X∼b<2,p>,P{X=0}=<1-p>2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b<3,p>,

所以

P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-<2/3>3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,

在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,

n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为：

P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b<k;800,0.005>

≈∑k=02P<k;4>=e-4<1+41!+422!>≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},

即

λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=<e-2>4=e-8.2.3随机变量的分布函数习题1F<X>={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,

是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F<x>是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F<x>={0x<0x20≤1,1x≥1

问F<x>是否为某随机变量的分布函数.解答：首先,因为0≤F<x>≤1,∀x∈<-∞,+∞>.其次,F<x>单调不减且右连续,即

F<0+0>=F<0>=0,

F<1+0>=F<1>=1,且

F<-∞>=0,F<+∞>=1,所以F<x>是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F<x>,并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X

135

Pk

.2所以其分布函数F<x>=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F<x>的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为

F<x>={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：<1>X的概率分布；

<2>P{X<2∣X≠1}.解答：<1>

X-113

pk

.2<2>P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为

F<x>={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F<0.4>=<1.3-0.5>-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F<0.5>=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F<2>-F<1.7>=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为

F<x>=A+Barctanx<-∞<x<+∞>,试求：<1>系数A与B;

<2>X落在<-1,1]内的概率.解答：<1>由于F<-∞>=0,F<+∞>=1,

可知

{A+B<-π2>A+B<π2>=1=0⇒A=12,B=1π,于是

F<x>=12+1πarctanx,

-∞<x<+∞;<2>P{-1<X≤1}=F<1>-F<-1>

=<12+1πarctan1>-[12+1πarctanx<-1>]

=12+1π⋅π4-12-1π<-π4>=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答：

F<x>=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a

2.4连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f<x>=12πe-<x+3>24<-∞<x<+∞>,则Y=¯∼N<0,1>.解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N<0,1>,

所以Y=3+X2∼N<0,1>.习题2已知X∼f<x>={2x,0<x<10,其它,

求P{X≤0.5};P{X=0.5};F<x>.解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f<x>dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f<x>dx-∫-∞0.5f<x>dx=0.当X≤0时,F<x>=0;当0<x<1时,F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时,F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故

F<x>={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为

F<x>={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：<1>A,B的值；<2>P{-1<X<1};

<3>概率密度函数F<x>.解答：<1>\becauseF<+∞>=limx→+∞<A+Be-2x>=1,

∴A=1;又

\becauselimx→0+<A+Be-2x>=F<0>=0,

∴B=-1.<2>

P{-1<X<1}=F<1>-F<-1>=1-e-2.<3>f<x>=F′<x>={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f<x>=Ae-∣x∣,

求系数A及分布函数F<x>.解答：由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f<x>dx=1,

即

∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx

=Aex∣-∞0+<-Ae-x∣0+∞>=A+A=2A或

∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,

所以2A=1,

即A=1/2.从而f<x>=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,

又因为F<x>=∫-∞xf<t>dt,

所以当x<0时,F<x>=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时,F<x>=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt

=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F<x>={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管,其寿命<以小时计>为一随机变量,概率密度

f<x>={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,

则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,

则电子管使用150小时以上的概率为

P{X>150}=∫150+∞f<x>dx=∫150+∞100x2dx

=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为

p=<2/3>3=8/27.习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数.由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型.

Y服从二项分布,其参数

n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以

P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N<3,22>.<1>确定C,

使得P{X>c}=P{X≤c};<2>设d满足P{X>d}≥0.9,

问d至多为多少?解答：因为X∼N<3,22>,

所以X-32=Z∼N<0,1>.<1>欲使P{X>c}=P{X≤c},

必有1-P{X≤c}=P{X≤c},

即

P{X≤c}=1/2,亦即Φ<c-32>=12,

所以

c-32=0,

故c=3.<2>由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,

即

P{X≤d}≤0.1.于是Φ<d-32>≤0.1,Φ<3-d2>≥0.9.查表得3-d2≥1.282,

所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N<0,102>,

先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,

p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}

=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ<1.96>-Φ<-1.96>]

=1-[2Φ<1.96>-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b<100,0.05>.因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ,

所以

P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定.根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N<4000,3600>.假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N<4000,3600>.设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1,

即

1-P{X<x}=0.1,所以1-F<x>=0.1,

即

1-Φ<x-400060>=0.1,

所以Φ<x-400060>=0.9.查标准正态人分布表得Φ<1.28>=0.8997,

因此

x-400060≈1.28,

即x=4077件,就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压<收缩压,以mm-HG计>服从N<110,122>.

在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.<1>求P{X≤105},P{100<X≤120};<2>确定最小的x,

使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N<110,122>.<1>P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ<0.42>=0.3372,

P{100<X≤120}=Φ<120-11012>-Φ<100-11012>

=Φ<0.833>-Φ<-0.833>=2Φ<0.833>-1≈0.595.<2>使P{X>x}≤0.05,

求x,

即1-P{X≤x}≤0.05,

亦即

Φ<x-11012>≥0.95,查表得x-10012≥1.645,

从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N<170,36>,

问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N<170,36>,

则X-1706∼N<0,1>.设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01,

而

P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ<x-1706><0.01,即Φ<x-1706>>0.99,

查标准正态表得x-1706>2.33,

故x>183.98cm.因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走.第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间<单位：分钟>服从正态分布N<40,102>;

第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N<50,42>,

求：<1>若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线？<2>若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则

X∼N<40,102>,Y∼N<50,42>.

哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.<1>因为P{X<60}=Φ<60-4010>=Φ<2>=0.97725,

P{Y<60}=Φ<60-504>=Φ<2.5>=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.<2>因为P{X<45}=Φ<45-4010>=Φ<0.5>=0.6915,

P{X<45}=Φ<45-504>=Φ<-1.25>=1-Φ<1.25>=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.

2.5随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为X-2-10123pi2a1/103aaa2a试求：<1>a;

<2>Y=X2-1的概率分布.解答：<1>\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,∴a=1/10.<2>

Y-1038pi3/101/53/101/5习题2设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯,

求Y=sinπ2X的分布律.解答：因为

sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,所以Y=sin<π2X>只有三个可能值-1,0,1.

容易求得

P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815故Y的分布律列表表示为Y

-101

P

21513815习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d<c≠0>,

试求随机变量Y的密度函数.解答：

fY<y>={fX<y-dc>⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时,fY<y>={1c<b-a>,ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY<y>={-1c<b-a>,cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY<y>.解答：f<x>={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈<0,1>是单调可导函数,y∈<1,e>,

其反函数为x=lny,

可得

f<x>={fX<lny>∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N<0,1>,求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY<y>.

FY<y>=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}<当y>1时>

=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY<y>=F′Y<y>=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1,

于是

fY<y>={12π<y-1>e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f<x>,

分布函数为F<x>,

求下列随机变量Y的概率密度：<1>Y=1X;

<2>Y=∣X∣.解答：<1>FY<y>=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时,FY<y>=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}

=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F<0>+1-F<1/y>,故这时fY<y>=[-F<1y>]′=1y2f<1y>;；②当y<0时,FY<y>=P{1/y≤X<0}=F<0>-F<1/y>,故这时fY<y>=1y2f<1y>;③当y=0时,FY<y>=P{1/X≤0}=P{X<0}=F<0>,故这时取fY<0>=0,

综上所述

fY<y>={1y2⋅f<1y>,y≠00,y=0.<2>FY<y>=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时,FY<y>=P{-y≤X≤y}=F<y>-F<-y>这时fY<y>=f<y>+f<-y>;②当y<0时,FY<y>=P{∅}=0,

这时fY<y>=0;③当y=0时,FY<y>=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY<y>=0,

综上所述

fY<y>={f<y>+f<-y>,y>00,y≤0.习题7某物体的温度T<∘F>是一个随机变量,且有T∼N<98.6,2>,

已知θ=5<T-32>/9,

试求θ<∘F>的概率密度.解答：已知T∼N<98.6,2>.

θ=59<T-32>,

反函数为T=59θ+32,

是单调函数,所以

fθ<y>=fT<95y+32>⋅95=12π⋅2e-<95y+32-98.6>24⋅95

=910πe-81100<y-37>2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,

其分布函数为FY<x>,

又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:Z=FX-1<Y>的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,

故FX<x>是单调增加函数,其反函数FX-1<y>存在,又Y在[0,1]上服从均匀分布,故Y的分布函数为

FY<y>=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是,Z的分布函数为

FZ<z>=P{Z≤z}=P{FX-1<Y>≤z}=P{Y≤FX<z>}

={0,FX<z><0FX<z>,0≤FX<z>≤1,1,FX<z>>1由于FX<z>为X的分布函数,故0≤FX<z>≤1.FX<z><0和FX<z>>1均匀不可能,故上式仅有FZ<z>=FX<z>,

因此,Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数,若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k,

P<Ak>=ck,

k=1,2,⋯,20.因为P<⋃K=120Ak>=∑k=120P<Ak>=c∑k=120k=1,

所以c=1210,

P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20}

=1210<2+4+⋯+20>=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,

求射击10炮,<1>命中3炮的概率;<2>至少命中3炮的概率;<3>最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数.由于各炮是否中靶相互独立,所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布,其参数为n=10,p=0.7,

故<1>P{X=3}=C103<0.7>3<0.3>7≈0.009;<2>P{X≥3}=1-P{X<3}

=1-[C100<0.7>0<0.3>10+C101<0.7>1<0.3>9+C102<0.7>2<0.3>8]

≈0.998;<3>因X∼b<10,0.7>,

而

k0=[<n+1>p]=[<10+1>]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:<1>保险公司亏本的概率;<2>保险公司获利分别不少于100000元,200000元的概率.解答：1>以"年"为单位来考虑,在1年的1月1日,保险公司总收入为

2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X,

则X∼b<2500,0.002>,

则保险公司在这一年中应付出200000X<元>,要使保险公司亏本,则必须

200000X>300000即X>15<人>.因此,P{保险公司亏本}=P{X>15}

=∑k=162500C2500k<0.002>k×<0.998>2500-k

≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.<2>P{保险公司获利不少于100000元}

=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}

=∑k=010C2500k<0.002>×<0.998>2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.

P{保险公司获利不少于200000元}

=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}

=∑k=05C2500k<0.002>k×<0.998>2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3%,试求每台分机向总机要外线时,能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X,

300台分机可看成300次伯努利试验,一次试验是否要到外线.设要到外线的事件为A,

则P<A>=0.03,

显然X∼b<300,0.03>,

即

P{X=k}=C300k<0.03>k<0.97>300-k<k=0,1,2,⋯,300>,因n=300很大,p=0.03又很小,

λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率.因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13,故

P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,

<查泊松分布表>且同时向总机要外线的分机的最可能台数

k0=[<n+1>p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布,而与时间间隔的起点无关<时间以小时计>,

求：<1>某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；<2>某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：<1>t=3,λ=3/2,

P{X=0}=e-3/2≈0.223;<2>t=5,λ=5/2,

P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为X

-101

pi

1/21-2qq2试求：<1>q的值；

<2>X的分布函数.解答：<1>\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi,

满足∑ipi=1,

且0≤pi≤1,∴

{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2.

从而X的分布律为下表所示：X

-101

pi

1/22-13/2-2<2>由F<x>=P{X≤x}计算X的分布函数

F<x>={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F<x>为

F<x>={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F<x>的右连续性,有

F<π2+0>=F<π2>⇒A=1.因F<x>在x=π6处连续,故P{X=π6=12,

于是有

P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6

=P{-π6<X≤π6=F<π6>-F<-π6>=12..习题8使用了x小时的电子管,在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o<Δx>,

其中λ>0是常数,求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F<x>,并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间<0,+∞>,

故应分段求F<x>=P{X≤x}.当x≤0时,F<x>=P{X≤x}=P<∅>=0;当x>0时,由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o<Δx>,

而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}

=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F<x+Δx>-F<x>1-F<x>,故F<X+Δx>-F<x>1-F<x>=λΔx+o<Δx>,

即

F<x+Δx>-F<x>Δx=[1-F<x>][λ+o<Δx>Δx],令o<Δx>→0,

得F′<x>=λ[1-F<x>].这是关于F<x>的变量可分离微分方程,分离变量dF<x>1-F<x>=λdx,

积分之得通解为

C[1-F<x>]=e-λx<C为任意常数>.注意到初始条件F<0>=0,

故C=1.于是F<x>=1-e-λx,x>0,λ>0,

故X的分布函数为

F<x>={0,x≤01-e-λx,x>0<λ>0>,从而电子管在T小时内损坏的概率为

P{X≤T}=F<T>=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为

f<x>={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F<x>.解答：当x≤0时,F<x>=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时,F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时,

F<x>=∫-∞xf<t>dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x<2-t>dt

=0+12+<2t-12t2>∣1x=-1+2x-x22;当x>2时,F<x>=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12<2-t>dt+∫2x0dt=1,

故

F<x>={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X<单位：百万升>是随机变量,其密度函数为：

f<x>={19xe-x3,x>00,其它,试求：<1>该城市的水日消费量不低于600万升的概率；<2>水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F<x>.

显然,当x<0时,F<x>=0,

当x≥0时有

F<x>=∫0x19te-t3dt=1-<1+x3>e-x3故F<x>={1-<1+x3>e-x3,x≥00,x<0,

所以

P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P<X≤6}=1-F<6>

=1-[1-<1+x3>e-x3]x=6=3e-2,

P{6<X≤9}=F<9>-F<6>=<1-4e-3>-<1-3e-2>=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f<x>={cλe-λx,x>a0,其它<λ>0>,

求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f<x>dx=1,

而

∫-∞+∞f<x>dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx

=c∫a+∞e-λxd<λx>=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,

从而c=eλa.

于是

P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f<x>dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx

=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa<e-λ<a+1>-e-λa>=1-e-λ.注意,a-1<a,

而当x<a时,f<x>=0.习题12已知X∼f<x>={12x2-12x+3,0<x<10,其它,

计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}

=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫<12x2-12x+2>dx∫0.10.5<12x2-12x+3>dx

=<4x3-6x2+3x>∣<4x3-6x2+3x>∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1<x>,F2<x>为分布函数,<1>判断F1<x>+F2<x>是不是分布函数,为什么？<2>若a1,a2是正常数,且a1+a2=1.

证明：a1F1<x>+a2F2<x>是分布函数.解答：<1>F<+∞>=limx→+∞F<x>=limx→+∞F1<x>+limx→+∞F2<x>=1+1=2≠1故F<x>不是分布函数.<2>由F1<x>,F2<x>单调非减,右连续,且

F1<-∞>=F2<-∞>=0,F1<+∞>=F2<+∞>=1,可知a1F1<x>+a2F2<x>单调非减,右连续,且

a1F1<-∞>+a2F2<-∞>=0,a1F1<+∞>+a2F2<+∞>=1.从而a1F1<x>+a2F2<x>是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ<x>为偶函数,试证对任意的a>0,

分布函数F<x>满足：<1>F<-a>=1-F<a>;

<2>P{∣X∣>a}=2[1-F<a>].解答：<1>F<-a>=∫-∞-aϕ<x>dx=∫a+∞ϕ<-t>dt=∫a+∞ϕ<x>dx

=1-∫-∞aϕ<x>dx=1-F<a>.<2>P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F<-a>+P{X≥a}

F<-a>+1-F<a>=2[1-F<a>].习题15设K在<0,5>上服从均匀分布,求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U<0,5>,

所以

fK<k>={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为<4K>2-4⋅4<K+2>≥0,

即

K2-K-2≥0,亦即<k-2><K+1>≥0,

解得K≥2<K≤-1舍去>,

所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者考试成绩X∼N<μ,σ2>,已知90分以上12人,60分以下83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2,因为考试人数很多,可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ,所以有Φ<90-μσ>=0.9772,反查标准正态表得90-μσ=2①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578;又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ<60-μσ>≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0,故Φ<μ-60σ>≈1-0.1578=0.8422,反查标准正态表得μ-60σ≈1.0②联立①,②解得σ=10,μ=70,所以,X∼N<70,100>.某人是否能被录取,关键看录取率.已知录取率为155526≈0.2947,看某人是否能被录取,解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ<0.8>≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947<录取率>,所以此人能被录取.方法2：看录取分数线.设录取者最低分为x0,则P{X≥x0}=0.2947<录取率>,P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54,解得x0≈75.此人成绩78分高于最低分,所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t<年>的时间间隔内发生地震的次数N<t>服从参数为λ=0.1t的泊松分布,X表示连续两次地震之间间隔的时间<单位：年>.<1>证明X服从指数分布并求出X的分布函数；<2>求今后3年内再次发生地震的概率；<3>求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：<1>当t≥0时,P{X>t}=P{N<t>=0}=e-0.1t,∴F<t>=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时,F<t>=0,∴

F<x>={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布<λ=0.1>;<2>F<3>=1-e-0.1×3≈0.26;<3>F<5>-F<3>≈0.13.习题18100件产品中,90个一等品,10个二等品,随机取2个安装在一台设备上,若一台设备中有i个<i=0,1,2>二等品,则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.<1>试求设备寿命超过1的概率；<2>已知设备寿命超过1,求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率.解答：<1>设X表示设备寿命.A表示"设备寿命超过1”fX<x>={λe-λx,x>00,x≤0<λ=i+1,i=0,1,2>,P<B0>=C902C1002,P<B1>=C901C102C1002,P<B2>=C102CP<A∣B0>=∫1+∞e-xdx=e-1,P<A∣B1>=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P<A∣B2>=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P<A>=∑i=02P<Bi>P<A∣Bi>≈0.32.<2>由贝叶斯公式：P<B0∣A>=P<B0>P<A∣B0>P<A>≈0.93.习题19设随机变量X的分布律为

X

-2-1013pi

1/51/61/51/1511/30试求Y=X2的分布律.解答：

pi

1/51/61/51/1511/30

X

-2-1013X2

41019所以

X2

0149pi

1/57/301/511/30注：随机变量的值相同时要合并,对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为

fX<x>={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3,

有

y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得

fY<x>={0,y<3<y-32>3e-<y-32>,y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX<x>={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y<0>,y<+∞>}=min{1,+∞}=1,β=max{y<0>,y<+∞>}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY<y>={fX[h<y>]∣h′<y>∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为

fX<x>={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为<-1,1>,

则Y的取值范围为[1,2>.

当1≤y<2时,

FY<y>=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}

=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1<1-∣x∣>dx

=2∫0y-1<1-x>dx=1-<1-y-1>2,从而Y的分布函数为

FY<y>={0,y<11-<1-y-1>2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为

fY<y>={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量及其分布习题1设<X,Y>的分布律为X\Y

123

1

1/61/91/18

2

1/3a1/9求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1,

可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得

a=2/9.习题2<1>2.设<X,Y>的分布函数为F<x,y>,试用F<x,y>表示：

<1>P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F<b,c>-F<a,c>.习题2<2>2.设<X,Y>的分布函数为F<x,y>,试用F<x,y>表示：

<2>P{0<Y≤b};

解答：P{0<Y≤b}=F<+∞,b>-F<+∞,0>.习题2<3>2.设<X,Y>的分布函数为F<x,y>,试用F<x,y>表示：

<3>P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F<+∞,b>-F<a,b>.习题3<1>3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：

<1>P{12<X<32,0<Y<4;

解答：P{12<X<23,0<Y<4

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3<2>3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：

<2>P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3<3>3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：

<3>F<2,3>.解答：F<2,3>=P<1,1>+P<1,2>+P<1,3>+P<2,1>+P<2,2>+P<2,3>=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且

P{X≥0,Y≥0}=37,

P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}

=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.习题5<X,Y>只取下列数值中的值：

<0,0>,<-1,1>,<-1,13>,<2,0>且相应概率依次为16,13,112,512,

请列出<X,Y>的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答：<1>因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1,

故所给的一组实数必是某二维随机变量<X,Y>的联合概率分布.因<X,Y>只取上述四组可能值,故事件：

{X=-1,Y=0},

{X=0,Y=13,

{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件,其概率必为零.因而得到下表：

X\Y

01/31

-1

01/121/3

0

1/600

2

5/1200<2>P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}

=0+16+512=712,同样可求得

P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y

01/31

pk

7/121/121/3习题6设随机向量<X,Y>服从二维正态分布N<0,0,102,102,0>,

其概率密度为

f<x,y>=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知

P{X≤Y}=P{X>Y},

故

P{X≤Y}=12.习题7设随机变量<X,Y>的概率密度为f<x,y>={k<6-x-y>,0<x<2,2<y<40,其它,<1>确定常数k;

<2>求P{X<1,Y<3};

<3>求P{X<1.5};

<4>求P{X+Y≤4}.解答：如图所示<1>由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1,

确定常数k.∫02∫24k<6-x-y>dydx=k∫02<6-2x>dx=8k=1,所以k=18.<2>P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318<6-x-y>dy=38.<3>P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418<6-x-y>dy=2732.<4>P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18<6-x-y>dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为

f<x,y>={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：<1>常数c;

<2>X和Y的联合分布函数F<x,y>.解答：<1>由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.<2>当x≤0或y≤0时,显然F<x,y>=0;当x≥1,y≥1时,显然F<x,y>=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,

有

F<x,y>=∫-∞x∫-∞yf<u,v>dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,

有

F<x,y>=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,设x>1,0≤y≤1,

有

F<x,y>=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F<x,y>在平面各区域的表达式

F<x,y>={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量<X,Y>的概率密度为

f<x,y>={4.8y<2-x>,0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY<y>.解答：fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy

={∫0x4.8y<2-x>dy,0≤x≤10,其它={2.4x2<2-x>,0≤x≤10,其它.fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx

={∫0y4.8y<2-x>dx,0≤y≤10,其它={2.4y<4y-y2>,0≤y≤10,其它.习题10设<X,Y>在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01<x-x2>dx=16,

由题设知<X,Y>的联合分布密度为

f<x,y>={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy=6∫x2xdy=6<x-x2>,0≤x≤1,

即

fX<x>={6<x-x2>,0≤x≤10,其它

fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx=6∫yydx=6<y-y>,0≤y≤1,即fY<y>={6<y-y>,0≤y≤10,其它.3.2条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量<X,Y>的分布律为X\Y

01

01

7/157/307/301/15<1>求Y的边缘分布律；<2>求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};<3>判定X与Y是否独立？解答：<1>由<x,y>的分布律知,y只取0及1两个值.

P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7

P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.<2>P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,

P{y=1∣x=0}=13.<3>已知P{x=0,y=0}=715,

由<1>知P{y=0}=0.7,

类似可得

P{x=0}=0.7.因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0},

所以x与y不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为

X\Y

5152535455

5152535455

0.060.050.050.010.010.070.050.<1>求边缘分布律;<2>求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.解答：<1>边缘分布律为X

5152535455pk

对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值<最上边的一行>,

将每列的概率相加,可得P{Y=j}.Y

5152535455pk

<2>当Y=51时,X的条件分布律为

P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,

k=51,52,53,54,55.列表如下:k

5152535455

P{X=k∣Y=51}

6/287/285/285/285/28习题3已知<X,Y>的分布律如下表所示,试求：<1>在Y=1的条件下,X的条件分布律;<2>在X=2的条件下,Y的条件分布律.X\Y

012

012

1/41/8001/301/601/8解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X

012

pk

3/81/37/24

Y

012

pk

5/1211/241/8故<1>在Y=1条件下,X的条件分布律为X∣<Y=1>

012

pk

3/118/110<2>在X=2的条件下,Y的条件分布律为Y∣<X=2>

012

pk

4/703/7习题4

已知<X,Y>的概率密度函数为f<x,y>={3x,0<x<1,0<y<x0,其它,

求：<1>边缘概率密度函数；<2>条件概率密度函数.解答：<1>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy={3x2,0<x<10,其它,

fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx={32<1-y2>,0<y<10,其它.<2>对∀y∈<0,1>,

fX∣Y<x∣y>=f<x,y>fY<y>={2x1-y2,y<x<1,0,其它,对∀x∈<0,1>,

fY∣X<y∣x>=f<x,y>fX<x>={1x,0<y<x0,其它.习题5X与Y相互独立,其概率分布如表<a>及表<b>所示,求<X,Y>的联合概率分布,P{X+Y=1},

P{X+Y≠0}.X-2-101/2

pi

1/41/31/121/3表<a>

Y-1/213

pi

1/21/41/4表<b>解答：由X与Y相互独立知

P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj>,从而<X,Y>的联合概率分布为X\Y-1/213-2-101/2P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y

-1/213

-2-101/2

1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12

P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,

P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}

=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12

=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00,

而火车这段时间开出的时间Y的密度

fY<y>={2<5-y>25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为

fX<x>={15,0≤x≤50,其它,因为X与Y相互独立,所以X与Y的联合密度为：

fXY<x,y>={2<5-y>125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为

P{Y>X}=∫05∫x52<5-y>125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N<0,1>分布,且X与Y相互独立,求<X,Y>的联合概率密度函数.解答：由题意知,随机变量X,Y的概率密度函数分别是

fX<x>=12πe-x22,

fY<y>=12πe-y22因为X与Y相互独立,所以<X,Y>的联合概率密度函数是

f<x,y>=12πe-12<x+y>2.习题8设随机变量X的概率密度f<x>=12e-∣x∣<-∞<x<+∞>,问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立,则∀a>0,

各有

P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},

故由上式有

P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}<1-P{X≤a}>=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅<∀a>0>但当a>0时,两者均不成立,出现矛盾,故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在<0,1>上服从均匀分布,Y的概率密度为fY<y>={12e-y2,y>00,y≤0,<1>求X与Y的联合概率密度；<2>设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,

求它有实根的概率.解答：<1>由题设易知fX<x>={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立,故X与Y的联合概率密度为f<x,y>=fX<x>⋅fY<y>={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;<2>因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：

P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf<x,y>dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy

=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]

=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]

=1-2π[Φ<1>-Φ<0>,又Φ<1>=0.8413,

Φ<0>=0.5,

于是Φ<1>-Φ<0>=0.3413,

所以

P{a有实根}=1-2π[Φ<1>-Φ<0>]≈1-2.51×0.3413=0.1433.

3.3二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立,且都等可能地取1,2,3为值,求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,

可见P{U=i,V=j}=0<i<j>.此外,有

P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9<i=1,2,3>,

P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9<i>j>,于是,随机变量U和V的联合概率分布为

V\概率\U1

2311/92/92/9201/92/93001/9习题2设<X,Y>的分布律为X\Y

-112

-12

1/101/53/101/51/101/10试求：<1>Z=X+Y;

<2>Z=XY;

<3>Z=X/Y;

<4>Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型,本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意,Z的相同值的概率要合并.概率

1/101/53/101/51/101/10<X,Y>X+YXYX/Ymax{x,Y}

<-1,-1><-1,1><-1,2><2,-1><2,1><2,2>-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是<1><2>X+Y

-20134

pi

1/101/51/21/101/10XY

-20134

pi

1/21/51/101/101/10max{X,Y}

-112

pi1/101/57/10

<3><4>X/Y

-2-1-1/212

pi

1/51/53/101/51/10习题3设二维随机向量<X,Y>服从矩形区域D={<x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布,且

U={0,X≤Y1,X>Y,

V={0,X≤2Y1,X>2Y,求U与V的联合概率分布.解答：依题<U,V>的概率分布为

P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}

=∫01dx∫x112dy=14,

P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,

P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}

=∫01dy∫y2y12dx=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V

01

01

1/401/41/2习题4设<X,Y>的联合分布密度为

f<x,y>=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解:

FZ<z>=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时,FZ<z>=P<∅>=0;当z≥0时,

FZ<z>=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f<x,y>dxdy

=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ

=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为

FZ<z>={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为

fZ<z>={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量<X,Y>的概率密度为

f<x,y>={12<x+y>e-<x+y>,x>0,y>00,其它,<1>问X和Y是否相互独立？<2>求Z=X+Y的概率密度.解答：<1>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy

={∫0+∞12<x+y>e-<x+y>dy,x>00,x≤0

\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12<x+1>e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY<y>={12<y+1>e-y,y>00,y≤0,

显然

f<x,y>≠fX<x>fY<y>,x>0,y>0,所以X与Y不独立.<2>用卷积公式求fZ<z>=∫-∞+∞f<x,z-x>dx.当{x>0z-x>0

即

{x>0x<z时,f<x,z-x>≠0,

所以当z≤0时,fZ<z>=0;当z>0时,fZ<z>=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是,Z=X+Y的概率密度为

fZ<z>={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立,若X服从<0,1>上的均匀分布,Y服从参数1的指数分布,求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意,X,Y的概率密度分布为

fX<x>={1,0<x<10,其它,

fY<y>={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为

fZ<z>=∫-∞+∞fX<x>fY<z-x>dx=∫-∞+∞fX<z-y>fY<y>dy

=∫0+∞fX<z-y>e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时,有fX<z-y>=0,

故fZ<z>=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时,

fZ<z>=∫0+∞fX<z-y>e-ydy=∫max<0,z-1>ze-ydy=e-max<0,z-1>-e-z,即

fZ<z>={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量<X,Y>的概率密度为f<x,y>={be-<x+y>,0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔1试确定常数b；〔2求边缘概率密度fX<x>,fY<y>；〔3求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：〔1由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1,确定常数b.

∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b<1-e-1>=1,所以b=11-e-1,从而

f<x,y>={11-e-1e-<x+y>,0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔2由边缘概率密度的定义得

fX<x>={∫0+∞11-e-1e-<x+y>dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它,

fY<x>={∫0111-e-1e-<x+y>dx=e-y,0<y<+∞,0,其它〔3因为f<x,y>=fX<x>fY<y>,所以X与Y独立,故

FU<u>=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX<u>FY<u>,其中

FX<x>=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1,所以

FX<x>={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY<y>={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0,因此

FU<u>={0,u<0,<1-e-u>21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成,L1和L2的寿命分别为X与Y,

其概率密度分别为

ϕ1<x>={αe-αx,x>00,x≤0,

ϕ2<y>={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,

试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},

则

F<z>=P{Z≥z}=P{min<X,Y>≤z}

=1-P{min<X,Y>>z}=1-P{X≥z,Y≥z}

=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]

由于

F1<z>={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,

F2<z>={1-e-βz,z≥00,z<0,

故

F<z>={1-e-<α+β>z,z≥00,z<0,从而

ϕ<z>={<α+β>e-<α+β>z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立,且服从同一分布,试明：

P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则

P{a<min{X,Y}≤b}=FZ<b>-FZ<a>,

FZ<z>=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}

=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}

=1-[P{X>z}]2,代入得

P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-<1-[P{X>a}]2>

=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.

复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在