计算机图形变换与输出

图形变换：通过图形的几何变换可以产生新

的图形。

■图形不动，坐标系变动

・坐标系不动，图形移动

齐次坐标

所谓齐次坐标法，就是用n+1维向量来表示一个n维向

量。对n维向量用其n个巫标分量(P“P2,P)表示，

是唯一的，若用齐次坐标表示，则有n+1个分量，即

(hPphP2,hPn,h),且不唯一。

二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规

格化的齐次坐标，即取H=l。(x,y)的规格化齐次坐

标为(x,y,1)

齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为

常数的一平面上的二维向量。

1、力可以取不同的值，所以同一点的齐次坐

标不是唯一的。如普通坐标系下的点(2,3)

变换为齐次坐标可以是

(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。

2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”

由普通坐标x力f齐次坐标

由齐次坐标+力f普通坐标

3、当力二1时产生的齐次坐标称为“规格化坐

标”，因为前沙坐标就是普通坐标系下的4

维坐标。

（X,y）点对应的齐次坐标为（x〃，为，"）

Xh=hx,yh=hy.h^O

（x,y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线

xh=hx

<h

yh=y

zh=h

齐次坐标的作用

1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用

矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从

一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。

2.便于表示无穷远点。

例如：(xxh,yxh,h),令h等于0

3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平

面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换

成多面体。(图形拓扑关系保持不变)

4.变换具有统一表示形式的优点

•便于变换合成

•便于硬件实现

基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内

的平移、旋转和变比的规律。

主要介绍

A二维图形几何变换

A三维图形几何变换

»参数图形几何变换

11WOB

3.1.1二维图形几何变换

一、基本变换

1.平移（Translation）W)

将图形对象从一个位置（X，y）移

到另一个位置（X,，y，）的变换。

Sy)

(")

3.1.1二维图形几何变换(续)

，基本变换

2.旋转(Rotation)

X=PCOS(DC

，是逆时针旋转角度

x'=pcos(9+a)=pcosacose-psinasine=xcos8—ysin。

=〃sin(e+a)=psinacos9+pcosasine=xsine+ycos。

3.1.1二维图形几何变换（续）

一、基本变换

2.旋转（Rotation）

将以某个参考点（/九）为e

圆心，将对象上的各点（局y）

围绕圆心转动一个逆时针角度

a

1、把旋转中心平移至坐标原点，

2、进行旋转变换

3、将坐标系平移回原来的原点

y=/+（A/）cosQ（尸耳）sin0

y=7r+（尸外）cos例•（A-占）sin0

3.1.1二维图形几何变换(续)

一、基本变换

3.变比(Scaling)W)

使对象按比例因子(邑，耳)

放大或缩小的变换

固定点变比(scalingrelativetoafixedpoint)o以a为

固定点

1((6作平移片T=-ya；

2((2)按式⑶3)作变比;

3(⑶作1)的逆变换，即作平移片山场心

3.1.1二维图形几何变换(续)

一、基本变换

3.变比(Scaling)

当比例因子&或S小于0时，对象不仅变化大小，而

且分别按X轴或歹轴版反射

3.1.1二维图形几何变换（续）

二、变换矩阵

二维几何变换矩阵可以表示如下:

八

•72。可看作三个行向量，其中

•[100]：表示x轴上的无穷远点

•[010]：表示y轴上的无穷远点

•[001]：表示原点

3.1.1二维图形几何变换（续）

从变换功能上可以将变换矩阵分为

4个子矩阵，其中

ad

be是对图形进行缩放、旋转、

对称、错切等变换

小力是对图形进行平移变换；是对图形进行投影

变换，g的作用是在x轴的1/g处产生一个灭点，h的作

用是在y轴的l/h处产生一处灭点；［i］是对整体图形作

伸缩变换

3.1.1二维图形几何变换（续）

二、变换矩阵

1平移的矩阵运算表示为

100

x'yi]=[xji]oio

TxTy1

简记为"二T）o其中，"二[yyi],尸[xyi]

100

T（M）=010

表示平移矩阵。

3.1.1二维图形几何变换(续)

二、变换矩阵

2.旋转的矩阵运算表示为

cos3sin。0

xyr1=xy1—sin。cos<90(3.2)

001

简记为"二pA(e),其中A(8)表示旋转矩阵。

3.1.1二维图形几何变换（续）

二、变换矩阵

3.变比的矩阵运算表示为

(3.3)

简记为/二pS（Sy壬），其中（"，壬）表示变化矩阵。

3.比例变换r1

00

X*yl]=[xj1]0Sy0=\sx^xSy^y

001

-以坐标原点为放缩参照点

-当5>=5>=1时：恒等比例变换

-当51¥=">1时:沿x,jc亍向等比例放大。

-当5X1时:沿x,广斤向等比例缩小

-当Srw5y时：沿X,历向作非均匀的比例变

换，图形变形。

4.对称变换

ado

x*y*l]=[xy1]be0=[ax+bydx+ey1]

001

口当b=d=O,a—Le=l时，有Y.

x*=-x,y*=y,产生与y轴对称

的反射变换

Y,»X

□当b=d=O,a=l,e=-l时,有

x*=x,y*=-y,产生与x轴对

称的反射变换

3.1.1二维图形几何变换(续)

三、级联变换(CompositeTransformation)

对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联

才能实现。这里特别要注意的是，由于矩阵

的乘法运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到

的变换结果也不相同。

口复合平移

41+&

口复合比例

L0oSv20000

zn二0与o0%0二0邑1•邑20

001001001

口复合旋转

COS。］sin40cos02sin320

Tt=TL-sin0xcos40-sin02cos%0

00ijLo01

cos©+%)sin(〃+%)0

=_sin(4+%)cos©+%)0

001

例11：对参考点尸旋转变换

>对参考点尸（xf，W）做旋转变换。

解：

>1>把旋转中心［（xf，W）平移至坐标原点，即坐

标系平移Jxf「yf）,则

/100、

(项mD=(xy1)。io=(%y1)丁(一0~yf)

「/、一力b

>2、进行旋转变换

/cos。sin。0、

(xy1)=(%必1J—sin0cos。0]=(、2yi物⑻

2210011

对参考点尸(xf,yf)旋转变换

＞将坐标系平移回原来的原点

、00、

(1*y*1)=卜先1)01。=(x2

一/力

A因此

)T(—-yf)T^T(xfyA

例2：任意的反射轴的反射变换

＞任一图形关于任意的反射轴y=a+bx的反射变换

»解：1.将坐标原点平移到(0,a)处

例3：任意的反射轴的反射变换

A2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向

旋转，角，使之与X轴重合

例3：任意的反射轴的反射变换

To0、

>5.恢复反射轴的原始位置010

(0a17

>因此T=(R(—8月尺(。)心

3•

比例、旋转变换是和参考点有关的，若

相对于任意参考点g力yf）作比例、旋转变

换，其变换过程是先将坐标系平移到参考

点上，变换后，再将坐标平移回来

3.1.1二维图形几何变换（续）

四、二维几何变换的指令

L建立变换矩阵的指令为

creat_transformation_matrix

丁伊matrix)；

2.积累变换的指令为

accumulate_transfbrmation_matrix(ma^rzx1,matrix2.matrix)；

3.坐标变换的指令为

set_segment_transformationmatrix);

R1僦原技

3.1.2三维图形几何变换

＞三维其次坐标

(x,y/)点对应的齐次坐标为(与，刃，N不〃)

xh=hx.yh=hy.zh=hz,h*O

标准齐次坐标(x,y,z,1)

＞右手坐标系

变换矩阵:%]%2

。21。22

3D~

“31%2

1平移变换:

1000

***10100

xyzIxyz1-1

0010x+(V+42+4

1

YA

0

Z

X

2比例变换：「s-°oo

0Sy00

00Sz0

0001

考虑相对于参考点（xryf弓）的缩放变换,

其步骤为：

A.将平移到坐标原点处；

B.进行缩放变换；

C.将参考点yf,z,移回原来位置

三维变换矩阵-旋转变换

•绕X轴变换

空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐

标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。

Z

ZZ

(y1/)(y‘z’)

Q

9

i(y,z)/(y,z)

9a

------------------------------►

X，»YoY

x

Qcos(a+e)ycos3-zsin0

psin(a+(9)ysin0+zcos0

1维变换矩阵-旋转变换

»矩阵表示为:

1000

0cos。sin。0

%1yz,i]=xyz1]

0-sin。cos。0

0001

»遵循右手法则，即若夕〉0,大拇指指向

轴的方向，其它手指指的方向为旋转方

向。

三维变换矩阵-旋转变换

•绕Y轴旋转

此时，Y坐标不变，X,Z坐标相应变化。

◄—

X0

=xcos0+zsin0

yy

ZQcos(a+e)=zcos0-xsin0

3维变换矩阵-旋转变换

＞矩阵表示为

cos。0-sin。0

0100

[x，y1zf1]=[xyz1

sin。0cos。0

0001

三维变换矩阵-旋转变换

•绕Z轴旋转

此时，z坐标不变,X,Y坐标相应变化。

tZtY

r\

(x'y‘)%

/a

o--------X

O

x=°cos(a+e)=xcos0-ysin0

y1=psin(a+6)-xsin0+ycos3

rz'二rz

三维变换矩阵-旋转变换

＞矩阵表示为：

cos。sin。00

-sin。cos。00

x*y!z，1]=[xyz1]

0010

0001

绕空间任意轴的旋转变换。其基本思想：将旋转轴转

到Z轴方向，对图形作绕Z轴的旋转变换后在转回

原位置

例：设旋转轴由空间一点，6，玛，23.

其方向数他b,c)定义，若空间一点A

ib

P(Xp,%,zp)绕A轴转e角到P*(x*p,p

吟，力y

构造关系1/£

拉*P吟Wl]=[xpypZpl]Ra

其中，&为待求的变换矩阵//

解：（1）使坐标原点平移到A点，即用平移矩阵作变换

1000

0100

0010

Z1

一4~ya~a

z

(2)：绕x轴转a角，使A落在x-z

平面内

1000

0cosasina0

R=

x0-sincifcosa0X

0001

p

(3)：绕y轴转P角，使A落在2轴

上L「

COSP0-sin0

0100

Ry

sinP0cos(30

0001

(6)：总的变换矩阵为:p

^=TA，RX^RzR1y，R1xT-1A

可以通过下列步骤来实现尸点的旋转：

A.将4点移到坐标原点。

B.使48分别绻¥轴、麟由旋转适当角度与好由

重合。

C.将AB绕Z轴旋转0角

D.作上述变换的逆操作，使45回到原来位置

o

3.1.2三维图形几何变换（续）

四、三维几何变换的指令

L建立变换矩阵的指令为

creat_transformation_matrix(^,无，zf,Sx,Sy,sz,

冷几，zr,xt,yt>zt,a,7,Tz,Ty,matrix)；

2.积累变换的指令为

accumulate_transfbrmation_matrix(ma^rzx1,matrix2.matrix)；

3.坐标变换的指令为

set_segment_transformationmatrix);

3.1.3参数图形几何变换（续）

1.圆锥曲线的几何变换

圆锥曲线的二次方程是西+加+。+40,其相应的矩阵

达式是

简记为胫巴0。

⑴平移变换。

则平移后的圆锥曲线矩阵方程是

3.1.3参数图形几何变换（续）

1.圆锥曲线的几何变换

⑵旋转变换。若对圆锥曲线相对坐标原点作旋转变换，旋转

变换矩阵是cosdsin。0

庐

一sin。cos。0

001

则旋转后的圆锥曲线矩阵方程是MFS值%0o

若对圆锥曲线相对（勿，〃）点作旋转而变换，则旋转后

的圆锥曲线是上述％、侬换的复合变换，变换后圆锥曲线的

矩阵方程是

XTrRSRTTrT^。

3.1.3参数图形几何变换（续）

1.圆锥曲线的几何变换

⑶比例变换。若对圆锥曲线相对应力）点进行比例

变换，比例变换矩阵为

S00

0Sy0

001

则变换后圆锥曲线的矩阵方程是才"SQS"r5=0。

3.1.3参数图形几何变换（续）

2.参数曲线、曲面的几何变换

若指定一个平移矢量K对曲线平移方，即对曲线上的每一点7W

平移九对平移后的点阴有

次二P^t

对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵物口代数系数矩阵4可以直

接实现平移变换，即有

侪-B+T,T=［方方00］，

建是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。

3.2.1坐标系统

(orldoordinates)

为了描述被处理的对象，要在对象所在‘

的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长

度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象

的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标7

系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手x

三维笛卡儿坐标系。

3.2.1坐标系统（续）

(iewoordinates)X

产生三维物体的视图，必须规定观

z

察点（视点）和观察方向。

好比照相时选择拍摄的位置和方向。。

视占

左手笛卡儿坐标系（上图）：观察坐标丫”

系的原点通常设置在观察点（视点），Z轴作‘

为观察方向。

右手笛卡儿坐标系：视点确定在Z轴

上的某一个位置，Z轴仍为观察方向（下图）。

视点z

3.2.1坐标系统(续)

(eviceoordinates)

与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。

例如，显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左

上角；绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在

左下角。

(ormaleviceoordinates)

为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟

设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设

备的坐标规定耒输出的。这种设备坐标规定为0WXW1,

O<Y<1,这种坐标系称之为规格化设备坐标系。

在三维空间创建并显示一个物体，先

建立世界坐标系；再指定视点的方位、视

线和成像面的方位。要观察物体的成像，

还必须在各坐标系之间实现变换后进行投

影变换，才能得到物体的成像。

3.2.2规格化变换与设备坐标变换（续）

1.规格化变换

vx-vxLwx-wxL

由两图的比例关系：

VXR—VXLwxR-wxL

《

vy-vy二wy-wyB

[vy-vyB

TBwyT-wyB

_VX-VXT/、

VX=-R-------•(WX-WXT)+VX

WXR-WXLL

_vyT-vyB

vy-.(wy-wyB)+vyB

wyT-wyB

3.2.2规格化变换与设备坐标变换(续)

2.窗口操作

(1)视野的变化(zooming)。

⑵摇镜头(panning)。

⑶多重窗口(multiplewindow)。

3.2.2规格化变换与设备坐标变换(续)

3.从规格化坐标(NDC)到设备坐标(DC)的变换

⑴通常采用的公式

XDC—Sf、NDc+4，＞DC—y7NDc+4

⑵方向的考虑

⑶对设备坐标中像素中心的变换

NDC

-a

N、7

3.2.3投影变换

投督(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可

描述为project(object(x,y,z))->object(x\寸)

投影的要素除投影对象、投影面外，还有投影线。

按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法：

⑴平行投影(parallelprojection)o

它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去。

⑵透视投影(perspectiveprojection)o它使用一组由投影中

心产生的放射投影线，将三维对象投影到投影平面上去。

尸-------------------p.

B片

•投影分类

投影中心与投影平面之间的距离为有限投影中心与投影平面之间的距离为无限

平面几何投影

根据投:

J方向与:

/影平面I

夹角

三

一

点

点

透根据投影

透

平面与坐

侧

视

视

视

标轴的夹

角

、

'Q、

侧

俯

等

正

正

正

轴

视

视

三

二

视

侧

侧

侧

图

图

图

三视图：正视图、侧视图和俯视图

俯视图

正平行投影-三视图

A变换矩阵（其中（a,b）为〃、座标下的值）

正视图

正平行投影-三视图

侧视图

b+tz

正轴测投影

A当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直

于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。

＞正轴测投影分类：

＞正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标

原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变

形系数。

正轴测投影

正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标

原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变

形系数。

正轴测投影

＞正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标

原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相

同的变形系数。

HI蝌赫倭

3.2.3投影变换(续)

2平行投影-斜交平行投影(obliqueP.P.)

投影线与投影平面成。交角

投影平面投影平面

■投影方向

——11——►投影方向

正投影与斜投影

斜平行投影

投影线与投影平面不垂直

＞斜等测投影

•投影平面与一坐标轴垂直

•投影线与投影平面成45。角

与投影平面垂直的线投影后长度不变

＞斜二测投影

•投影平面与一坐标轴垂直

•投影线与该轴夹角成arctg(l/2)角

该轴轴向变形系数为心即与投影平面垂

直的线投影后长度变为原来的一半。

斜平行投影

＞斜等测投影和斜二测投影

\投影方向卜P

投影方向P

▲

投影平投影平

面法向面法向

0

投影平面P投影平面°P

(a)斜等测(b)斜二测

7-16斜平行投影

3.2.3投影变换（续）

3透视投影变换

投影中心与投影平面之间的距离为有限

参数：投影方向

例子：室内白炽灯的投影，视觉系统

灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投

影之后收敛于一点，称为灭点.

.主灭点:平行于坐标轴的平行线的灭点。

.一点透视

•两点透视

•三点透视彳宓

特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图

形深度感强，看起来更加真实。

R1献助晚

3.2.3投影变换（续）

3透视投影变换

灭点

⑶