辽宁省大连市达肯职业高级中学2021年高三数学理联考试题含解析

辽宁省大连市达肯职业高级中学2021年高三数学理联

考试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2

/(x)=Inx—

1.函数.x的零点所在的区间是()

A.(1,2)B,(2而C.(%3)

D.⑶制

参考答案：

B

3—:

2.1是虚数单位,复数匚7=()

A.2+iB.1-2Jc.1+2;D.2-i

参考答案：

A

略

j_[[1ol

3.设ae'彳'，则使函数y=x"的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是

()

A.1,3B.-blC.-1,3D.-1,1,3

参考答案：

A

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断.

【专题】计算题.

1

【分析】分别验证a=-1,1,2,3知当a=l或a=3时，函数y=x*■的定义域是R且为奇函

数.

【解答】解：当a=-1时，y=x-'的定义域是x|x#0,且为奇函数；

当a=l时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；

11

当@=力时，函数y=x2的定义域是xx20且为非奇非偶函数.

当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数.

故选A.

【点评】本题考查幕函数的性质和应用，解题时要熟练掌握基函数的概念和性质.

4.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用

2X2列联表进行独立性检验，经计算r=7.069,则所得到的统计学结论为：有多

大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”.

附:

PdCko)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

(A)0.1%(B)l%(099%(D)99.9%

参考答案：

5.设向量，满足"1=1,2=2,a(0+加=0,则匚与g的夹角是()

A.30"B.60'C.90*D.120,

参考答案：

D

略

6.已知等差数列｛an｝的公差d押，Sn为其前n项和，若a2,a3,许成等比数列，且al0=-

17,则2'的最小值是()

」-1-115

A.2B.8C.«D.32

参考答案：

A

【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式.

【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得(ai+2d)2=(a1+d)(al+5d),解可得

%-n」+2n$肝1SnS.Sn

ai、d的值，进而讨论可得ai、d的值，即可得2"=2n,2n+1>2nJ&2n_1>2n,

SnSn-n2+Zn

解出n的值，解可得n=4时，2”取得最小值；将n=4代入2n=2n中，计算可得答

案.

【解答】解：•••等差数列㈤｝的公差存0,a2,a3,温成等比数列，且aio=-17,

:.(ai+2d)2=(ai+d)(ai+5d),aio=ai+9d=-17

解得d=-2,a】=l或d=0,ai=-17(舍去)

n(n-l)X(-2)

2

当d=-2时，Sn=n+2=-n+2n,

%-d+Zn

则272n,

$n+l$n$n-l

令尹之户且行］了，

解可得2+J§^nW3+J^,

$nSqi

----X

即n=4时，2n取得最小值，且24=一2；

故选：A.

7.已知集合P=｛Q1,,则集合M的子集个数为(

)

A.32B.16C.31D.64

参考答案：

B

身P={M则x有如下情况：,{吼

则有子集为片=2*=16

注意点：该类型常错在空集,

8.已知函数y=f（x）的周期为2,当xJ-川时f（x）=x；那么函数y=f（x）

的图像与函数y=配入|的图像的交点共有（）

（A）10个（B）9个（C）8个（D）1个

参考答案：

A

略

2

9.设首项为1,公比为5的等比数列（凡；的前〃项和为则（）

A.B.S「犯-2C.4-肛D.'-3-见

参考答案：

D

7T

10.已知：函数f（x）=cos（2x+6）,（-兀＜6Vn）的图象向右平移T个单位后与

逅

函数y=sinxcosx+2cos2x的图象重合，则|6可以为（）

兀兀兀5几

A.6B.3C.2D.飞一

参考答案：

D

【考点】函数y二Asin（3x+6）的图象变换.

7T

【分析】利用函数尸Asin(sx+e)的图象变换规律，诱导公式可得@+n=2kn-T,

kez,从而得出结论.

7T

【解答】解：函数f(x)=cos(2x+6),(-JTW6V冗)的图象向右平移亍个单位,

可得y=cos[2(x-2)+6]=-cos(2x+4))=cos(2x+6+u)的图象，

V31V3.

由于所得图象与函数y=sinxcosx+2cos2x=2sin2x+2cos2x=sin(2x+3)

冗冗

=cos(6-2x)=cos(2x-6)的图象重合，

冗7兀5―

/.4)+JT=2kn-6,kez,即6=2kn-6,故令k=L可得6=6,

故选：D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知函数/(x)=e'-2x+a有零点，则a的取值范围是

参考答案：

(-co,2In2-2]

12.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥尸-4BCZ)即，则此正六棱锥的侧

面积是.

参考答案:

答案：6币

a

13.已知关于x的二项式(4+山)”展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a

的值为_________

参考答案：

【考点】二项式系数的性质.

【分析】利用二项式系数的和，求出n,通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指

数为0,即可求出a的值.

a

【解答】解：二项式(仁+%)”展开式的二项式系数之和为32,

.•.2=32,.*.n=5；

Cg(«)5r(U)r「rr等身二至二Q

/.Vx=^5ax，令6,可得厂3,

・・,展开式的常数项是80,

.•.，标3=80,

解得a=2.

故答案为：2.

14.已知a,b均为正数，且ab-a-2b=0,则4a［的最小值为.

参考答案：

7

【考点】基本不等式.

22

21a221a

—+―------——+h——

【分析】a,b均为正数，且ab-a-2b=0,可得ab=l.于是4ab=4+b2-

2]2b2

1.5+b=(&亏)勺+9二-^4"^上羽，再利用柯西不等式(V+b2)(1+1)＞勺+b)

即可得出.

【解答】解：va,b均为正数，且ab-a-2b=0,

2o12

a2t2.1a

贝！j4ab=4+b2-1.

2+b=4七）号+史名琮+2澳+2=4,当且仅当a=4,b=2时取等号.

(4+b2)(1+1)>"2'>16,当且仅当a=4,b=2时取等号.

a2

4+b2>8,

a2221a2

・，1by+b-4

故答案为：7.

15.函数）'=0"+1（“>00工1）的图象恒过定点工，若点火在直线

皿+花一1=0（附”0）上，则的最上值为_

参考答案：

【知识点】指数函数基本不等式B6E6

3+2点

因为点A坐标为（1,2）,则有m+2n=1,由mn>0知m>0,n>0,所以

【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求

最值.

16.已知且ah=l,则m=.

参考答案：

2

〃、V-a,x泗

17.已知函数卜+ax.a,x<°有三个不同的零点，则实数。的取值范围是

参考答案:

a>4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长

度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为P=2(cos9+sin0),斜率为E的直线1交y

轴于点E(0,1).

(I)求C的直角坐标方程，1的参数方程；

(II)直线1与曲线C交于A、B两点，求EA|+|EB|.

参考答案：

【考点】简单曲线的极坐标方程.

fx=Pcos0

【分析】(I)由P=2(cos。+sin。),得P(Pcos0+psin。),把1厂Psin0

代入即可得出；由斜率为«的直线1交y轴于点E(0,1)即可得出直线的参数方程.

f1

(II)将kI*孚上代入(x-1)2+(y-1):2得t=t-1=0,利用根与系数的关系、

直线参数的意义即可得出.

【解答】解：(I)由P=2(cos。+sin。)，得P2=2(pcos0+psin。,

即x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.

(1

x=yt

Q区

1的参数方程为2(t为参数，t£R),

f1

x迈七

(II)将尸1+厅t代入(X-1)?+(y-1)z=2得七2_t_1=0,

1+找・娓

解得,t产2,t2=-2一.

则IEA|+1EB|=|31+1tz|=|ti-tzI=逐.

也

19.(12分)椭圆C的中心在原点，一个焦点F(—2,0),且短轴长与长轴长的比是2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当1财产1最小时，点P恰好

落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.

参考答案：

(1)设椭圆C的方■程为国+£=l(a>b>0),。

ab

a*=b#+cS

a2

由题意:;解得a=16,b，=12.d

b43

、c=2.

所以怖圆c的方程为"+2=1.。

lbId

(2)设P(x,y)为椭圆上的动点，由于椭同方程为故一4WxW4.2

lbIN

因为MP=为一m,y),所以|MP|；=(x—m)：+y；=(x—m)'+12X|1一

=%-2jnx+]rT+12=[(x-4m)”+12-3m—d

f

因为当IMPI最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，/

一

即当x=4时，IMP取得最小值.而x£[—4,4],"

故有4m24,解得mNL

又点M在椭圆的长轴上，即一4WmW4.

故实数m的取值范围是

20.已知等差数列｛的｝前三项的和为一3,前三项的积为8.

(1)求等差数列｛斯｝的通项公式；

(2)若s，的，0成等比数列，求数列｛|即|｝的前〃项和.

参考答案：

解：(1)设等差数列｛斯｝的公差为d，则。2=出+"，a,=ay+2d.

由题意得解得或

所以由等差数列通项公式可得

斯=2-3(〃-1)=一3〃+5,或-4+3(〃-1)=3〃-7.

故Q〃=-3〃+5,或Q〃=3/L7,

(2)当a〃=—3〃+5时，s,ch，0分别为-1,—4,2,不成等比数列；

当a〃=3〃-7时，的Q?，分别为-1,2,—4,成等比数列，满足条件.

故|斯|=|3〃一7|=

记数列｛|。〃|｝的前〃项和为S〃.

当〃=1时，Si=|〃i|=4；当，=2时,S2=|〃I|+|〃2|=5；

当论3时，

S〃=S2+|a3l+|Q4l+…+|〃〃I=5+(3X3-7)+(3x4—7)+...+(3九-7)=5+—

H+10.当〃=2时，满足此式.

综上，Sn=

O'0-----x

21.椭圆C：ab=1(a>b>0)的焦距为4,且以双曲线4=1的实轴为短轴，斜

率为k的直线1经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围.

参考答案：

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(I)求得椭圆的c=2,由双曲线的性质可得b=2,由a,b,c的关系，可得a,

进而得到椭圆的方程；

(II)设直线1方程：y=kx+l,A(x„y,),B(x2,y2),代入椭圆方程，运用韦达定

理，由题意可得右焦点F在圆内部，即为亚•丽<0,运用向量的数量积的坐标表示，解

不等式即可得到所求范围.

【解答］解：<I)I•椭圆的焦距为4,.,.c=2,

2

y_2=1

又以双曲线4X■的实轴为短轴，

；.b=2,a=Vb2+c2=2V2,

22

x

椭圆的标准方程为84

(II)设直线1方程：y=kx+l,A(xi,y,)