湖南省2021届高三数学模拟试题（黑卷）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合A={0,1,2,3,4,5,8},8={1,2,4,8},则()

A.{0,3,5}B.{2,4,5)C.{1,2,4,8}D.{0,1,3,5}

【答案】A

2.(1+20(3-4/)=()

A.-5+2iB,-5+10iC.-5-10zD.11+2/

【答案】D

3.韦伯-费希纳定律是表明心理量和物理量之间关系的定律，其中心理量和物理量之间满足关系式

5=-11/+。（其中$表示心理量，Z是常数，/表示物理量，C是积分常数），表示的含义是心理量和物理

量的对数值成正比，通过研究表明c=3,当/=e2,S=7.若S=31n3,则/的值大约为（参考数据:

55s448）（）

A.1.07B.1.16C.1.45D.2.15

【答案】B

4.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是"中国十大历史文化名楼”之一，

世称“天下第一楼其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二

十年（215年），历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年（1880年）重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳

阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有”洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小李为

测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图，测得NDAC=30°，ZDBC=45°，AB=14米,

则岳阳楼的高度CO约为（0。1.414，B。1.732）（）

CBA

A.18米B.19米C.20米D.21米

【答案】B

5.已知I可量〃，满足,卜3忖=2,a-b=\'若—a+2石与，〃“+3〃共线，则+（）

A.2B.4C.722D.22

【答案】A

6.某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车A、B、C,D、E、F,为了让顾客选出自己心仪的电

动汽车，把它们按顺序排成一排，A必须安排在前两个位置，3、C不相邻，则不同的排法有（）

A.144种B.156种C.160种D.178种

【答案】B

7.已知长方体ABC。-A由中，AB=3C=3,M=4,M是4乌上任意一点（不是端点），N是

8C的中点，则异面直线GQ与MN所成角的正切值的最小值为（）

2

A3而RM----D.-

5555

【答案】D

8.已知函数f（x）=e"-石存在两个零点，则正数。的取值范围是（）

A.1%)B•俘+3D（看田

【答案】C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某次音乐节，评委给13支乐队的评分（十分制）如下图，下列说法正确的是（）

0

2345678910111213乐队熔号

A.13支乐队评分的极差为7

B.13支乐队中评分不低于7分的有6支

c.13支乐队评分的平均数约为6.46

D.第6支到第12支乐队的评分逐渐降低

【答案】ABC

10.已知函数/(x)=2cos(0x+°X3〉O,O<e<^)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2»，/(0)=1.

则()

7t

A.co=—

2

B./(x)的图象关于直线x=-22对称

3

2447r

C./(x)单调递减区间为4攵万——94k71+--(kGZ)

4才

D./(x)21的解集为4匕r—q-,4左乃(左eZ)

【答案】BCD

11.若则()

A.%<丁B.丫-3>/C.lg(y-x)>0<3-v

【答案】AD

22

12.已知双曲线G:=-3=1(“>0,。>0),圆&：。一份2+(),_&)2=/62()

a~b~

A.圆C?的圆心在双曲线G上

B.若双曲线C的焦距为4,则。匕<2

C.双曲线G的顶点与圆C?的圆心构成的三角形的面积为

D.若圆C2与x轴和双曲线G的渐近线均相切，则离心率e=2

【答案】BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列{4},%=一。8，4一。5=4,则q=.

【答案】10

14.已知随机变量X〜B(〃」),P(X=〃)=」-,则P(X=1)=.

n27

4

【答案】-

15.已知直线/(斜率大于0)的倾斜角的正弦值为也，在x轴上的截距为-2,直线/与抛物线

2

C:/=2py(p>0)交于A,B两点.若［ABI=16,则P=.

【答案】4

16.中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.

己知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴

截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm.则当圆柱的底面半径厂=

时，该容器的容积最大，最大值为.

Q②3cm，

【答案】①.——cm②♦（乃+2『

1+2

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△ABC的内角A氏C的对边分别是且2QCOS8=2C+8

(1)求A；

(2)若a=3=3,求△A£?C的面积.

【答案】(1)4：(2)—.

34

18.已知数列｛。”｝的前〃项和为S“，满足a“+i=2a“+1,且4+2a2=%.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)求使得S.4121成立的〃的最大值.

【答案】(1)(2)最大值6

19.经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.由于测量树高比测量胸

径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.下面给出了某林场在研究树高与胸径之间的关系时收集的某种

树的数据.

编号123456

胸径/cm18.120.122.224.426.028.3

树高/cm18.819.221.021.022.122.1

编号789101112

胸径/cm29.632.433.735.738.340.2

树高/cm22.422.623.024.323.924.7

（1）根据表格绘制树高y与胸径x之间关系的散点图；

（2）分析树高y与胸径》之间的相关关系，并求y关于％的线性回归方程;

（3）预测当树的胸径为50.6cm时，树的高度约为多少.（精确0.01）

附：回归方程3=%+4中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：-------，a=3-b^-参

力；-屋

/=!

1212

考数据：»，），=7851.03,汇苍=10715.74.

1=11=1

【答案】⑴作图见解析；（2）树高y与胸径X之间正相关，y=0.25^+14.82；⑶27.47cm

20.在长方体ABC。—4中，已知A3=4），E为的中点.

（1）在线段4C上是否存在点尸，使得平面4AP//平面ECG?若存在，请加以证明，若不存在，请

说明理由;

（2）设AT>=2,AA=4，点G在A4上且满足丽=8而，求EG与平面所成角余弦值.

【答案】（1）存，证明见解析；（2）逅.

6

21.在数学中，我