六年级奥数第8次课：圆与扇形(教师版)

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老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们

的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】

圆与扇形

一、考点、热点回顾

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关

问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的周长、面积计算公式:

c=7id或c=?7irs-7tr~2

半圆的周长、面积计算公式:

c-7cr-\-ds=-17tr"7

2

扇形的周长、面积:

a.a

c=----Tia+2rs=----nr2

360360

扇形的面积=冗^乂鲁,

JbU

扇形的弧长=2冗rX2。

JbU

如无特殊说明，圆周率都取n=3.14。

二、典型例题:

例1、如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知

每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）

分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑

的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯

道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为

JiR-nr=n（R-r）=3.14X1.22^3.83（米）。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时

橡皮筋的长度是多少厘米？

分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的

6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360。，所以BC弧所对的圆心角是60°,

6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5X6+5

X3.14=45.7（厘米）。

例3、左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中

的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影

部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2

+Jir2X2=102+3.14X50^257（厘米与。

例4、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴

着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,

31

其中A是半径为3。米的/圆，B,8别是半径为2。米和咻的广圆。

所以羊活动的范围是

31

rx3CPx-+rx202x-+xl02x4

54747r

31]

=%x(302x-+202X-+1Q2x-)

=3.14X(675+100+25)

=2512(米2)。

例5、右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。

分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

2

r

面积为产+4=^。根据题意得到

%r2r2

---=2.28

84

冗1

r2x(---)=2.28

o冗1冗一2

「=228+%-/2.28+彘一

882

=2.28x------=2.28x------16=42

3.14-21.14

45疗2

设扇形的半径为r,则扇形面积为兀1><布=.，等腰直角三角形的

3600

所以，扇形的半径是4厘米。

例6、右图中的圆是以。为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。

分析与解：解此题的基本思路是:

从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分Si的面积，就必须想办法求出8和S3的面积。

$27n102=50忒厘米之）

S3的面积又要用下图的基本思路求：

222

S5=1rx2=r=10=100（厘米?）

要想求出S’的面积，必须求出半径R。因为S$的面积也等于（电，因

此得到：112=100,即R2=200。可惜，现在还是无法求出R。联想扇形的面

积公式S^=兀R?X之，只要得到R2即可使用此公式。由此得到：

QJUH

=冗R，x：^^=200冗x右八=50和（厘米'）

现在就可以求出S3的面积，进而求出阴影部分的面积了。

S3=S「Ss=50nTOO（厘米b,

Sl=S2-S3=50it-（50n-100）=100（厘米？）。

三、习题巩固

1、直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所

示，三角形由位置I绕A点转动，到达位置H,此时B,C点分别到达G点；再绕3点

转动，到达位置川，此时A,C点分别到达及，C2点。求C点经G到C2走过的路径的长。

A2

解：20XJIX日祥+10X71X^=68（厘米）。

loUloU

2、下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米?

解：大圆直径是6厘米，小圆直径是2厘米。阴影部分周长是6五+2nX7=62.8（厘

米）。

3、一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米,

求狗所能到的地方的总面积。

解：如下页右上图所示，可分为半径为4米、圆心角为300°的扇形与两个半径为1米、圆

心角为120。的扇形。面积为

2300,120

71X42X——+7TXI2X——X2

360360

=43.96（米D。

4.左下图中，扇形BAC的面积是半圆ADB面积的々倍，求角CAB的度数。

c.

解：设/CAB为n度，半圆ADB的半径为r。由题意有

KX（2r）X—=兀JX-X-

36023o

解得n=60。

5、右上图是一个400米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是100米，中间是一个

长方形，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。

解：半圆的半径是小米，直径是变米。两个半圆的面积之和为（M）?兀=咄

冗冗冗冗

（米2）,长方形面积为迎X100=迎四（米2）,所求面积比为

7C7T

10000,2000010000、，.

:（+）=1：3。

冗-------冗------冗

6、左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原

来位置时，这个圆环转了几圈？

解：如右图所示，圆环滚过正方形的每条边转g圈，绕过正方形每个顶

点又转:圈，共转（£+（）X4=3（圈）。

7、右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14n厘米z,求图中三角形的面积。

解：圆的面积是4，=16n（厘米2）,空白扇形面积占圆面积的1-

14冗+16冗=!，故扇形的圆心角为360°X:=45°,三角形是腰长4厘米

OO

的等腰直角三角形，面积为4X4+2=8（厘米D。

四、习题练习

1、如下图，在大圆中截取一个面积最大的正方形，然后在正方形中截取一个面积最大的圆。

已知正方形的面积为20cm2,求大圆和小圆的面积各是多少平方厘米？

2、有一个等腰直角三角形ABC,它的直角边AB=ldm,将B点固定，让三角形按顺时针

方向绕B点旋转90。，得到右面的图形，求斜边在旋转过程中扫过的面积（即图中的阴影部

分）。

AC

BA

3、左下图中，阴影部分的面积是5.7cm2,AABC的面积是多少平方厘米？（第八届《小学

生数学报》数学竞赛题）

4、右图中以O为圆心的圆，半径是10cm。以C为圆心，AC为半径画一圆弧，求阴部部分

的面积。（1998年广东省小学数学竞赛题）

5、如图，在直角三角形ABC中，/A=60°,以A为圆心，以AC为半径画弧与AB相交

于D,如果图中阴影部分的面积为6ncnP,那么AB的长是多少厘米？

6、如图，大圆的直径为4cm,求阴影部分的面积。

7、下图中的圆半径0A=9cm,/1=/2=15°,求阴影部分的面积。

8、如图，把OA8等分，以0为圆心画出6个扇形，已知最小的扇形是l