湖北省2022年高考数学考试真题与答案解析

湖北省2022年高考•数学•考试真题与答案解析

一、选择题

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合〃="1五<4},N={x|3xNl},则()

A.{x|0<x<2}B.'x^<x<2>C.{x|3<x<16|D,<x1<x<16>

答案：D

解析：Af={x|04x<16},N={x|xN；},故AfnN=<x§4x<16〉,

2.若i(l-z)=l,则z+4=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案：D

解析：由题设有l-z=；=/=-i,故z=l+i,故2+彳=(1+0+(1)=2,

3.在“8C中，点。在边力8上，BD=2DA.记声=玩，丽=»,则赤=()

A.3成一2万B.一2玩+3万C,3玩+2万D.2玩+3万

答案：B

解析：因为点。在边4?上，BD=2DA,所以丽=2次，即丽-荏=2(0一丽)，

^]^CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库

水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MO.Okn?;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积

为180.0km?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上

升到157.5m时，增加的水量约为(4=2.65)。

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

答案：c

解析：依题意可知棱台的高为朋N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积

V

棱台上底面积s=140.0km2=140xl06m2,下底面积S'=ISO.Okn?=180xl06m2,

r=i/z(5+5,+V5^7)=jx9x(140xl06+180xl06+\/140xl80xl012)

=3X(320+60V7)X106«(96+18x2,65)xl07=1.437xl09®1.4xl09(m3).

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

11-12

A.-B.-C.D.-

答案：D

解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：仅，4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，

——21-72

故所求概率P==

z1、2乃

6.记函数/（x）=sin[0x+aJ+b3>O）的最小正周期为若个〈丁〈兀,且了=/（刈的图象关

于点]£,2）中心对称，贝U（f）=0

_35

A.1B.-C.-D.3

答案：A

271_2万21

解析：由函数的最小正周期T满足口-<T（乃，得三<二7<%，解得2<。<3,又因为函数

33CO

图象关于点g，2对称，所以寻0+/=左肛上eZ,且6=2,所以0=+

V2）24o5

=sin"

故&=g,/(x)+2

(24f

所以/仁卜疝尼万+(1+2=1.

7.设a=O.le"」,b=<，c=-ln0.9,贝1J()

9

A.a<b<cB,c<b<aC.c<a<bD,a<c<b

答案：c

1Y

解析：设/(x)=ln(l+x)-x(x〉-l),因为/'(x)=7——1=---,当时，/'(x)>°,

l+x14-X

当xe(0,+8)时f'(x)<0；所以函数/(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)单调递减，在(T,0)上单调递

增。

所以/(1)</(0)=0,所以ln^-1<o,故|>ln^=-ln0,9,即h>c,所以

77yyy

191Q--I-1

/(-而)</(°)=°,所以m历+历<0,故历<屋°,所以正故"6,

1(12—]]e*+]

设g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<l),则g，(x)=(x+l)e'+——=----------,

x-lx-l

令/?(x)=ex(x2-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-1),

当0<X<Ji-1时，〃(X)<0,函数人(%)=秒(》2_1)+1单调递减，

当时，/(x)>0,函数〃(》)=d3—1)+1单调递增，

又以0)=0,所以当0<"夜-1时，/?(x)<0,所以当0<x<&-1时，g'(x)>0,函数

g(x)=xe'+ln(l—x)单调递增，所以g(O1)>g(O)=O,即0.1e°」>一山0.9,所以

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3</<373,则该正四棱锥体积的取值范围是()

答案：C

解析：•••球的体积为36万，所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为/7,

贝1］尸=2片+/,3?=2/+(3-〃门，所以6〃=『，2a2=l2-h2

1e1,2,2"I"1(,4I6}

所以正四棱锥的体积％rz=&SA=wx4axA--x(/--)x-=-/--,

j353oovJoy

if,,3l5}1,3/24—/21

所以/=G4/--=-/---,当34/42新时，r>0,当26</43百时，/<0,

所以当/=2指时，正四棱锥的体积忆取最大值，最大值为半，又/=3时，V=g1=36

8127

时，修=了,所以正四棱锥的体积忆的最小值为彳，所以该正四棱锥体积的取值范围是

'2764'

--,--

43,

二、选择题

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知正方体"CO—44CQ,则()

A.直线8G与所成的角为90°B.直线8G与所成的角为90°

C.直线BC与平面8BQD所成的角为45。D.直线8G与平面力68所成的角为45°

答案：ABD

解析如图，连接8。、BG,因为所以直线8G与8。所成的角即为直线8G与

所成的角。

因为四边形88CC为正方形，则8CL8G,故直线8G与所成的角为90°,A正确；

连接4。，因为44，平面BBgC,u平面BB.C.C,则AXB,1SC,,因为8c1SC,,

44nBe=4,所以8GJ•平面44C,又4Cu平面/0C,所以8Gd.c4,故B正确；

连接4G,设4GC5Q=O,连接8。，因为平面43£A,C0u平面43c4,则

C.OVB.B,因为GO,8Q,44c8乃=用，所以G。，平面58Q。，所以NC/。为直线8G

与平面58QD所成的角，

设正方体棱长为1,则GO=g,BC]=也,sin/G80=器=3,所以，直线8G与平面

58Q。所成的角为30。，故C错误；

因为GC，平面488,所以NC/C为直线8G与平面所成的角，易得/。/。=45"

10.已知函数,/8）=/—x+1,则。

A./⑸有两个极值点B."X）有三个零点

C•点（0,1）是曲线＞=/（x）的对称中心D.直线》=2x是曲线＞=/（x）的切线

答案：AC

解析：由题，/'（X）=3/-1,令/1x）＞0得或x＜-程，令/'（x）＜。得,

所以“X）在（-*,理）上单调递减，在（-8,-*）,（4,m）上单调递增，

所以x=±事是极值点，故A正确；

因/（-当=1+平＞0,/（当=1-乎＞0,/（-2）=—5＜0,

5939

所以，函数/（X）在一叫-乎）上有一个零点，

当x邛时，/（X）”图＞°,即函数/（X）在;冬+00上无零点，

综上所述，函数"X）有一个零点，故B错误；

令力（x）=/_x,该函数的定义域为R,〃（-X）=（—X）3—（-X）=—X3+X=—/Z（X）,

则〃（X）是奇函数，（°，0）是用X）的对称中心，将以X）的图象向上移动一个单位得到/（X）的图象,

所以点（°，1）是曲线y=〃x）的对称中心，故c正确；

令/"（x）=3F—1=2,可得x=±l,又/⑴=/（—1）=1,

当切点为（LD时，切线方程为歹=2%-1,当切点为（-L1）时，切线方程为N=2x+3,

11.已知。为坐标原点，点41，1)在抛物线U/=2勿(p>0)上，过点8(0,-1)的直线交C于

P,Q两点，贝U0

A.C的准线为V=-lB.直线与C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA^

答案：BCD

解析：将点A的代入抛物线方程得1=2。，所以抛物线方程为/=y，故准线方程为丁=-2，

A错误；

1-(-1)[y=2x-l

^=-rV=2,所以直线的方程为y=2x-l,联立2,可得X2-2X+1=0,解

1-0[x=y

得x=l,故B正确；

设过B的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，所以，直线/的斜

率存在,设其方程为夕=米一1,尸(石，凹)，。(%2，必),

y=Ax-1

联立2,得/-丘+1=0,

[x=y

△=42一4>0

2

所以，x{+x2=k,所以女〉2或左<一2,yty2=(x,x2)=1,

X]X2=1

又IOP|=Jx；+y；=J必+,I。。|—Jx；+y；=J必+£>

x

所以I。尸I-IOQ|=Jy%。+1)(1+必)=^kx\kx2=1£l>2=|OA\',故C正确；

因为16Pl=VT7F|xj,

所以13Pl•|3。|=(1+标)1々1=1+左2>5,而|8川2=5,故D正确.

12.已知函数/(X)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/g(2+x)

均为偶函数，贝IJ0

A.〃0)=。B.]=°C./(T)=/(4)D.g(—D=g(2)

答案：BC

f31

解析：因为/,g(2+x)均为偶函数。

所以/(|_2X)=/1|+2X］即=+g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则/(T)=/(4),故C正确;

3

函数/(x),g(x)的图象分别关于直线x=5，x=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数/(X)可导，所以g|jJ=0，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3—x),所以g(x+2)=—g(x+l)=g(x),所以g(一+g(|1=0,

g(—l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误；

若函数〃x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定〃x)

的函数值，故A错误.

三、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1一?)(x+yy的展开式中//的系数为(用数字作答).

答案：-28

解析：因为

所以+的展开式中含的项为武=—28x2^6,

11一力(》+城的展开式中的系数为-28

14.写出与圆/+/=1和(X-3)2+⑶-4)2=16都相切的一条直线的方程________________

35—725—,

答案："一二+］或夕=五》-五或x=-l

解析：圆x2+/=i的圆心为°(0,0),半径为1,圆。-3)2+(歹-4)2=16的圆心。为(3,4),半

径为4,两圆圆心距为乐用=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,

433

如图，当切线为/时，因为自《二5,所以勺=-^，设方程为^二一^工+'">°)

d==1535

。到/的距离「J巨'，解得/=1,所以/的方程为卜=-1》+彳，

当切线为力时，设直线方程为丘+»+。=°,其中k<0,

P7

\\,k=

Vi+F24725

由题意‘伙+4+臼,解得，y=—X--------

252424

P

,Jl+公24

35725

当切线为〃时，易知切线方程为x=-l故答案为：^=丁+^或尸五%一五或x=-

15.若曲线丁=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是_______________.

答案：(一8,-4)U(0,+8)

解析：■.•y=(x+a)e".•.V=(x+l+a)e',设切点为(%,%),则加=(/+。)1。，切线斜率

左=(X。+1+。)e*彻线方程为：歹—(/+a)e*。=(玉)+1+a)e%(x-,

0

・•・切线过原点，..「(Xo+a)e'=(/+1+。户°(-5),整理得：x^+aro-a=O,

・••切线有两条，.・.♦=/+4a>0,解得。<-4或。〉0,」.。的取值范围是(-8,-4)50,+8),

16.已知椭圆C：1r+专■=l(a>b>0),C的上顶点为4两个焦点为K,耳，离心率为3.过

£且垂直于小，的直线与c交于。，E两点，1。&=6,则“DE的周长是

答案：13

解析：...椭圆的离心率为e=：=；,.・.a=2c,.•.b2=/—c2=3c2,.■.椭圆的方程为

22

£+2=1'即3x2+4产-12,2=0,不妨设左焦点为£,右焦点为月，如图所示，

JI

AF2=a,Og=c，a=2c,.•./1月。=§,二△/g为正三角形，•.•过耳且垂直于4月的直

线与C交于。，三两点，OE为线段的垂直平分线，.••直线的斜率为半，斜率倒数为

百，直线。E的方程：x=^3y-c,代入椭圆方程3犬+4/-12,2=0,整理化简得到：

13/-6V3ty-9c2=0,

判别式.=(6任)~+4xl3x%2=6?xl6x02,

必|=J+(@~|/-%|=2X*=2X6X4X^=6,

13

•c=­

'18'

c13

得a=2c=w,

・•・OE为线段/6的垂直平分线，根据对称性，3D%AE=EF?,

二”。£的周长等于△EDE的周长，利用椭圆的定义得到△取出周长为

I。段+|即|+|。同=|DF2\+\EF21+|。用+|E用=|O用+|DF2班卜|E同=2a+2a=4a=13.

四、解答题

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

fS

17.记S,为数列｛。“｝的前〃项和，已知q=Lk，是公差为;的等差数歹IJ.

(1)求｛4｝的通项公式；

111c

(2)证明：—+—+—<2.

%的%

答案：(1)(2)见解析

【小问1详解】

S

.・.£=%=1,.才1,

S]1

又•・・：是公差为a的等差数列，

qJJ

.&="(-1)=3,s=(〃+2居

1•an3'3""3'

(〃+1)凡I

当〃22时，%=I3—\

・〃一<C_(〃+2)。“(〃+1)%

..%=>,f=33'

整理得：(〃T”“=(〃+l”,i,

at.〃+1

即二E

a,a.a„_}an

an=qx=x—x...x—x——

an-2%

lx2xlx...xnw4-1

—x------

23n-277-12

显然对于〃=1也成立,

｛。“｝的通项公式%=

【小问2详解】

122i-1

1〃〃+1

111j__1磊

,----1------F…H----=211_1+・・・2<

%a223nn+1

cosA.sin25

18-记"8C的内角4B,c的对边分别为a,b,c,已知E

1+cos25

「27

(1)若°=7，求6；

2.J2

⑵求『的最小值.

兀

答案：⑴(2)472-5.

【小问1详解】

、cosZsin25_2sin5cos5_sin5

因为1+sin41+cos252cos2Bcos5J即，

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos

7TTT

而0<8<],所以Bq

【小问2详解】

Tt兀

由(1)知，sin5=-cosC>0,所以5<。<兀,0<8<5,

-=

而sin8cosCsinIC—

I2

TTTT

所以c=5+,即有4=5-23.

a2+b2sin2A+sin2B_cos225+1-cos2B

所以

c2sin2Ccos2B

(2cos~B—1)~+1-cos~B

=4COS25+^——522次-5=4及-5.

cos2Bcos25

当且仅当COS2B*时取等号，所以“：”的最小值为4夜_5.

2c~

19.如图，直三棱柱44G的体积为4,A48c的面积为2近.

(1)求力到平面48c的距离；

(2)设。为4c的中点，=平面48cL平面Z8用4,求二面角的正弦

值.

答案：(1)V2；(2)日

【小问1详解】

在直三棱柱NBC-44G中，设点/到平面48c的距离为h,

则匕=——"〃=匕兀=

八JA-AA^BDCL—3A4JB4]CDC,h=3/1|-AABDCC=—35A,JBDCC•A,IA=~3A8DcC-AT1R|DC|C|~3

解得人=亚,

所以点片到平面48c的距离为及；

【小问2详解】

取48的中点£连接45如图，因为所以"ELZ/,

又平面4BC_L平面458/,平面//Cn平面=48,

且/Eu平面所以平面48C,

ABC

在直三棱柱-4B£中，BB.1平面ABC,

由8Cu平面48C,8Cu平面/8C可得/EJ.8C,BBJBC,

又4瓦84u平面且相交，所以8C_L平面/88圈,

所以8C,8484两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=C,所以〃4=/8=2,4B=2亚,所以8C=2,

则/(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点。(1,1,1),

贝IJ丽=(1,1,1),第=(0,2,0),心=(2,0,0),

一m-BD=x+y+z=0

设平面的一个法向量〃?=(x),z),贝［J,-.,

m-BA=2y=0

可取而=(l,o,-1),

-\/n-BD-a+b+c-0

设平面8OC的一个法向量N=S，8c),贝ij一，

m-BC=2a=Q

可取〃=(0」,一1),

m-n_1_1

|/n|-|«|V2x5/225

所以二面角4-。的正弦值为府I

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不

够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，力表示事件"选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选

P(B|A)P(BIA)

到的人患有该疾病”.尸(aM)与尸(月।彳)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为启

(日.R-P(小8)P(■入

(I)证明.P(A\B)P(AIB),

(ii)利用该调查数据，给出P(m8),P(川方)的估计值，并利用(i)的结果给出用的估计

值.

n(ad-bc¥

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案：(1)答案见解析(2)(i)证明见解析；(ii)R=6;

【小问1详解】

叱2n(ad-bc)2200(40x90-60xlO)2»

由曰知K=-----------------------=--------------------—24

和(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100'

又。(腔26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【小问2详解】

p®iq)_p(/8)p(电p(")p0

⑴因为~P(B\A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB),

PgP(邛)P①)

所以一P(B)P(AB)P(耳)P(A月)

即苗火=丝地.回Q

所以P(A\B)P(A|B),

(ii)

由已知P(加5)=总尸⑷9卷,

-60--90

又P(4|8)=卫P(A\B)=—

乂100'100,

所以R=

尸"么P(*B)P{A\B)

r2v2

21.已知点火2，1)在双曲线C：--*=1(。＞1)上，直线/交C于尺。两点，直线为己力。

aa'-1

的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/PZ0=20，求△力。的面积.

答案：(1)-1；⑵*

【小问1详解】

r2V241

因为点心在双曲线U/-为=1伍〉1）上，所以厂门士解得八2,即双曲线

C:T-/=1

易知直线/的斜率存在，设/：»="+加，尸（网,必）,。卜2，%）,

y=kx+m

222

联立二_户1可得，（1-2Z:）X-4mkx-2m-2=Q

所以，否+电=-拦,2=桨子，△=16〃4+4（2/+2）（2左2-1）>0=/_]+2->0

Z/C—1Z/C—1

所以由仅「+演户=°可得，三1+大二°，

即（$一2）（京2+加一1）+（%2-2）（京14-/H-1）=0,

即2kxix2+（加一1一2人）（再+/）-4（加-1）=0,

2

…2m+214mk、人/八

所以2片X2_Iz卜赤二卜4（加―1）=0,

ZK—1y乙K-1J

化简得，8—+4左一4+4加（〃+1）=0,即（％+1）（2%—1+加）=0,

所以％=-1或加=1一2人，

当〃7=1-2%时，直线/:丁=6+根=%（》-2）+1过点/（2,1）,与题意不符，舍去,

故左=一1.

【小问2详解】

不妨设直线P4P8的倾斜角为a,77（a</7）,因为3「+魇「=°,所以。+尸=兀,

因为tanNP/0=20,所以tan（7?-a）=20,即tan2a=-2近，

x/2tan2a-tan<2-V2=0,解得tana=正，

于是，直线。/：夕=后（*-2）+1,直线。8:y=（x-2）+l,

y=g（x-2）+1

可得，，及）及

联立x2,_+20_2x+10—4=0,

-----y2=12、

2

因为方程有一个根为2,

10-4V2

所以Xp

3

10+4及..--4叵-5

同理可得,X/―---；---

。3

所以PO：x+y-；=0,|00|=g,

I2+1--Ir-

点A到直线PQ的距离d=I3|=2V2,

V23

故△时的面积为:、*平=华.

22.已知函数/(x)="一办和g(x)="-Inx有相同的最小值.

(1)求a-

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左

到右的三个交点的横坐标成等差数列.

答案：(1)«=1(2)见解析

【小问1详解】

/(x)=e'-ax的定义域为R,而f\x)=ex-a,

若.40,则/'(x)>0,此时/(X)无最小值，故。>0.

g(x)=奴一Inx的定义域为(0,+8),而g(%)=。-'=.

XX

当x<lna时，/'(x)<0,故/(X)在(一叫Ina)上为减函数，

当x>lna时，/'(x)〉°,故/(X)在(Ina,+8)上为增函数，

故/(x)min=/(lna)=a-alna.

当0<x<'时，g'(x)<0,故g(x)在(0-］上为减函数，

aVa)

当X，时,g'O°,故g(x)在化+5上为增函数，

a\aJ

故g(X)min=g(1)=l-ln[.

因为/'(x)=ex-ax和g(x)=ax-InX有相同的最小值，

1a—1

故lTn1=a-alna,整理得到j^=lna,其中a>0,

/、Q—1