黑龙江省大庆市2021年中考数学二模试卷(学生版)

黑龙江省大庆市2021年中考数学二模试卷

一、单选题

1.（2020•烟台）实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（）

-----g-------------1-------------------!—L------------1—__>

-3-2-10123

A.aB.bC.cD.无法确定

2.（2021・大庆模拟）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的"海斗一号"万米海试成功，下潜深度超

10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录，将数据10900用科学记数法表示为（）

A.1.09X103B.1.09X104C.10.9X103D.0.109X105

3.（2021•大庆模拟）若（h+3）2+（a-2）2=0,则ba的值为（）

A.8B.-9C.9D.1

4.（2021・大庆模拟）在函数y=看中，自变量x的取值范围是（）

A.%>3B.x>—3C.%。3D.x>—3且％H0

5.（2020・长安模拟）如图，在同一直角坐标系中，函数y=kx与y=力0）的图象大致是（）.

①②③④

A.①②B.①③C.②④D.③④

6.（2021•大庆模拟）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的对面上的字是（）

故回情|

一司英|雄

A.战B.疫C.情D.颂

7.（2020•连云港）"红色小讲解员"演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分.评定该选手成绩时,

从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，

这两组数据一定不变的是（）.

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

8.（2021•大庆模拟）一个圆锥的底面直径是圆柱底面直径的3倍，如果它们的高相等，那么圆锥体积是圆

柱体积的（）

A.3倍B.1C.9倍D.-

9

9.（2021•大庆模拟）已知RtAABC,AC=3,BC=4,贝URtAABC的面积为（）

A.6或迫B.6或2V7C.12或3由D.12或4V7

10.（2021•大庆模拟）如图，四边形ABCD中，BC//AD,=ZD=60°,AD=2BC=4,动点P从

点4以每秒1个单位长度的速度向点D运动，动点Q也同时从点4沿4-B~C―。的路线以每

秒2个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点。时，点P也随之停止运动，设点P运动的时间

为t（单位：秒），ADPQ的面积为S,当S=F时，t的值为（）

A.2+百或2-百B.3或2—6C.3或BD.2-百或匕巨

22

二、填空题

11.（2021•大庆模拟）点P（2,3）关于x轴对称的点P'的坐标是.

12.（2020•哈尔滨）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是.

13.（2021•大庆模拟）三角形的三边长分别是3cm,5cm,6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是

14.（2021•大庆模拟）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都

在另一三角板的斜边上，则/I的度数为.

15.（2021•大庆模拟）从-2,-1,2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概

率等于.

16.（2018七上•虹口期中）如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括

两个顶点）都摆有n（n>3）盆花，每个图案中花盆总数为S,按照图中的规律可以推断S与n（n>3）

的关系是.

〃=4S=12〃=5,S=20

17.（2021・大庆模拟）对于一元二次方程QA2+人工+c=0（QW0）,有下列说法：①若a+b+c=0,

则b2-4ac>0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax24-6%4-c=0必有两个不相

等的实根；③若c是方程Q%2+以+。=O的一个根，则一定有QC+b+1=0成立；④若%o是一

22

元二次方程Q%2+b%+c=o的根，则b-4ac=（2ax0+b）.其中说法正确的有（填序号）

18.（2021•大庆模拟）如图，已知等腰三角形。48,。4=OB=6,OC14B于点C/D为OB边中线,

AD,OC相交于点P.在/AOB从90°减小到30°的过程中，点P经过的路径长为.

三、解答题

19.（2021•大庆模拟）计算：（一1）2。2。+（A）-1-弼.

20.（2021•大庆模拟）先化简，再求值：（X-1）2-X（X-4）+O-2）（X+2）,其中x=1.

21.（2020九下•西安月考）解分式方程：2-1=".

X—33—x

22.（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km,从观测

站A测得船C在北偏东45。的方向，从观测站B测得船C在北偏西30。的方向.求船C离观测站A的距离.

23.（2021•大庆模拟）3月14日是国际数学日，"数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数

学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成

绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：

信息-：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端

根据信息解答下列问题：

(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全)；

(2)第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；

(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人.

24.(2017•白银)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长.

25.(2021・大庆模拟)放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本,

这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元,

小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.

(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小

贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.

(3)当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品.

26.(2020・泰安)如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=7的图象交于点4(3"),

(1)求反比例函数的表达式：

(2)若一次函数图象与y轴交于点C,点。为点C关于原点。的对称点，求44C。的面积.

27.(2021•大庆模拟)如图，在RtAABC中，zfC=90",AD平分ZBAC交BC于点D,0为AB上

一点，经过点4D的。0分别交AB.AC于点E.F,连接DF.

A

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)求证：AD2=AB-AF；

(3)若BE=2,sinB=|,求AD的长.

28.(2021•大庆模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a20)的图象经过4(l,0),B(3,0),C(0,6)三点,直

(1)求抛物线的解析式;

（2）点E在线段AD上，且满足S=，点F在x轴下方的抛物线上，设点尸的横坐标

ABDE2SAABE

为t,当t为何值时，AFBE的面积最大？并求出最大值；

（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A.D,P.Q为顶点的四边形为平行四边形，求

出点P的坐标.

答案解析部分

一、单选题

1.A

【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，绝对值及有理数的绝对值，有理数大小比较

解：观察有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置可知，

这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a.

故A.

【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案.

2.B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

解：10900=1.09xl04

故B.

【分析】用科学记数法表示出来即可。

3.C

【考点】代数式求值，非负数之和为0

解：：(b+3)2+("2)2=0

b+3=0,a—2=0

b――3,a=2

：.〃=(-3)2=9

故答案为:C

【分析】先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出〃的值。

4.A

【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件

依题意可得产一?

%—3H0

解得x>3

故A.

【分析】根据分式的性质及二次根式有意义的条件即可求解。

5.C

【考点】反比例函数的图象，一次函数图象、性质与系数的关系

解：当k>0时，

函数y=kx的图象位于一、三象限，y=：(kH0)的图象位于一、三象限，②符合；

当kVO时，函数y=kx的图象位于二、四象限，y=：(k^o)的图象位于二、四象限，④符合；

故C

【分析】分k>0和k<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.

6.B

【考点】几何体的展开图

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

"战"与"情"是相对面，

"疫"与"英"是相对面，

"颂"与"雄"是相对面.

故B.

【分析】根据正方体的表面展开图的特点作答。

7.A

【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数

根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，

7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变.

故:A

【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案.

8.A

【考点】圆柱的体积，圆锥的体积

解：设一个圆锥的底面直径为6a,则圆柱底面直径为2a,高为h,

圆锥的体积为|Sh=^XnX(y)2=37m2

圆柱的体积为S'h=nX(y)2=na2-

.•.圆锥体积是圆柱体积的3倍

故A.

【分析】设一个圆锥的底面直径为6a,则圆柱底面直径为2a,高为h,根据圆锥、圆柱的体积公式即可

得解。

9.A

【考点】三角形的面积，勾股定理

解：当BC为直角边时，RtZAABC的面积为T'3X4=6,

当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为V42-32=V7，

RtAABC的面积为-X3XV7=—,

22

故A.

【分析】当BC为直角边时，当BC为斜边时，分类讨论即可得到RtCABC的面积。

10.D

【考点】四边形的综合，四边形-动点问题

解：过点C作CELAD于E、点B作BFJ_AD于F,

BC//AD,

.♦.得到矩形AEFB及直角AABF,ADCE.

ZA=ZCDA=60°，

.".△ABF^ADCE,

DE=AF=^(AD-BC),AB=CD；

"?AD=2BC=4，

.".DE=AF=1,

AB=CD=1+cos60°=2

①如图①，当点Q在SB边上运动时，1,作QE1力。于点E.

S=1DP-<2£,=1（4-t）-V3t=-yt2+2V3t.

当S=亨时，解得t=2+遮（舍）或t=2-遮；

②如图②，当点Q在BC边上运动时，1<tW2,作BF140于点F.

S=-BF=|（4-t）-V3=-yt+2V3.

当S=包时，解得t=3（舍）；

2

③如图③，当点Q在CO边上运动时，2<tW3,作QH14。于点，.

S=；OP.QH=；(4-t)•V3(3-t)=yt2-^t+6V3.

当S4时，解得”竽（舍）或土=竽.

故D.

【分析】分点Q在AB边上运动，点Q在BC边上运动，点Q在CD边上运动，三种情况分类讨论

即可。

二、填空题

11.(2,-3)

【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征

P(2,3)关于x轴对称的点的特征是：横坐标不变，纵坐标为相反数.

•••P,(2,-3)

故(2,-3)

【分析】根据关于x轴对称点的特征即可准确确定答案。

12.n(m+3)2

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

原式=n(m2+6m+9)=n(m+3)2,

故n(m+3)2.

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.

13.7

【考点】三角形的中位线定理

由题意得，连结三边中点所围成的三角形的周长是TX(3+5+6)=7cm,

故7.

【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别求得连接各边中点所围成的三角形的三边，从而

求得周长。

14.45°

【考点】平行线的性质

如图,由题可得:AB//CD,ZB=45°,

.•.N1=NB=45°(两直线平行，内错角相等)

故45°.

【分析】根据平行线的性质即可得到结论。

【考点】列表法与树状图法

画树状图如下：

开始

-2-12

/\/\/\

-12-22-2-1

共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有(一2,-1)和(一1,一2)这2种结果，

.•.该点在第三象限的概率等于：,

63

故3,

【分析】画树状图得出所有等可能经过，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解即可。

16.S=n2-n

【考点】正多边形的性质

解：根据题意可得当为三角形时，S=2X3；

当为四边形时，5=3X4；

当为五边形时，5=4X5；

所以可得当为n边形时，S=(n—1)•n=n2-n

故S=n2-n

【分析】根据正多边形的边数和没多一条边在边上增加的点数构造公式进行计算，得到公式

17.①②④

【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用

解：(1)若a+b+c=0,则久=1是方程ax2+bx+c=O的解

由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：A=fa2-4ac>0,故①符合题意；

(2)•••方程ax2+c=0,有两个不相等的实根，

A=h2-4ac=0-4ac>0

-4ac>0

又..•方程a/+bx+c=0的判别式A=Z>2—4ac>0

方程ax2+bx+c=o必有两个不相等的实根，故②符合题意

(3)c是方程a/+bx+c=0的一个根

ac2+be+c=0

c(ac+b+1)=0

若c=0等式成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不符合题意

(4)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=o的根

则根据求根公式得：

_-b+y/b2-4ac或_-fe-Vb2-4ac

&=—-贺&=―-

22

2ax0+b=yJb-4ac或2ax0+b=-Vh-4ac

22

b-4ac=(2ax0+b),故④符合题意.

故①②④

【分析】根据方程的解含义，i元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的球根

公式等对各项分别讨论，可得答案。

18-T

【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的综合

过点A作AE〃OB,且AE=OB,连接BE、CE

；AE〃OB,AE=OB,

•.四边形AOBE是平行四边形

OA=OB

•.四边形AOBE是菱形

\AB1OE,

•.0、P、C、E四点共线，

；AE//0B

ZEAP=ZPDO,ZAEP=ZDOP

AAPE^ADPO

.AP_AE

''DP~~0D

；D点是OB中点

\0D=-0B=-AE

22

.APAE

DP0D

,.DP=-AD

3

•'D为定点，P随A运动而运动，ZAOB从90°减小到30°的过程

••点P经过的路程为点A运动路程的!

.*0A=6

•.点A运动路程为空*=2兀

180

.♦.点P经过的路径长为Y

故£

【分析】过点A作AE〃OB,且AE=OB,连接BE、CE,得出四边形AOBE是菱形，0、P、C、E四点共线，

求证出△APEs/^DP。，由D为定点，P随A运动而运动，ZA0B从90°减小到30°的过程得到点P

经过的路程为点A运动路程的9，由OA=6,得到点A运动路程，即可得出点P经过的路径长。

三、解答题

19.解：原式=1+3-2

=2.

【考点】实数的运算

【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负整数指数基法则计算，第三项利用立方根定义计

算即可得到结果。

20.解：(x-1)2-x(x-4)+(x-2)(x+2)

=X2-2X+1-X2+4X+X2-4

=x2+2x-3,

当X=1时，原式=12+2x1-3=0.

【考点】利用整式的混合运算化简求值

【分析】先利用合并同类项，再化简，把x=l代入求值即可。

21.解：将原方程转化为

31

-----------1=------------

x—3x—3

方程两边同时乘以(x-3)得

3-(x-3)=-1

3-x+3=-l

解之：x=7

经检验x=7是原方程的解，

原方程的解为x=7.

【考点】解分式方程

【分析】先将原方程进行转化，再在方程两边同时乘以最简公分母(x-3),(左边的1不能漏乘)，将分

式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可。

22.解：如图，过点C作CDLAB于点D,

东

则NCAD=/ACD=45。，

；.AD=CD,

设AD=x,则AC=V2x,

BD=AB-AD=2-x,

：NCBD=60°,

在RtABCD中，

*/tanCBD=--,

BD

=V3,

2-x

解得x=3—V3,

经检验，x=3-6是原方程的根，

；.AC=V2x=V2(3-V3)=(3V2-V6)km.

答：船C离观测站A的距离为(3V2-V6)km.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【分析】如图，过点C作CDLAB于点D,从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角

形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.

23.⑴解:第二组人数为：50-4-12-20-4=10(人)

补全统计图如下：

收数(人数)

2O

IK

I6

I4

I2

I8O

6

4

2

5060708090100成绩(分)

(2)76；78

(3)720

【考点】频数(率)分布直方图，分析数据的集中趋势

(2)第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分;

50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均

数为：手=78(分),故中位数为78(分)；

故76；78；

(3)1500x誓=720(人)，

故720.

【分析】(1)计算出第二蛆60〜70的人数，即可补全频数分布直方图；

(2)根据中位数、众数的意义，分别求出第三组的众数，样本中位数；

(3)样本估计总体，样本中80分以上的占努,因此估计总体1500人的鬻是80分以上的人数。

24.(1)证明：•..四边形ABCD是矩形，。是BD的中点，

.".ZA=90",AD=BC=4,AB〃DC,OB=OD,

.*.ZOBE=ZODF,

/OBE=ZODF

在△BOE和△DOF中，｛OB=OD,

/BOE=NDOF

.♦.△BOE也△DOF(ASA),

EO=FO,

...四边形BEDF是平行四边形

(2)解：当四边形BEDF是菱形时，BE_LEF,

设BE=x,则DE=x,AE=6-x,

在RtZ\ADE中，DE2=AD2+AE2,

x2=42+(6-x)2,

解得：X=y,

,/BD=y/AD2+AB2=2V13,

；.0B=|BD=V13,

BD±EF,

；.E0=y/BE2-OB2=—,

3

AEF=2E0=—

3

【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质

【分析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，判定ABOE丝△DOF(ASA),得出四边形BEDF的对角线互

相平分，进而得出结论；(2)在RtaADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,

得出0B,再由勾股定理求出E0,即可得出EF的长.

25.(1)解：设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，

则因算黑)，解喉3

故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元.

(2)解：设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，

有｛露算黑，解得二；

故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元.

(3)解：两人共有金额19+26+2=47元，

若两人共购买10支笔芯(一盒)，3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，

故两人买到各自的文具需要花费10x2.5+3x5=40(元)，剩余47-40=7(元)，可购买两件单价为3元的小

工艺品；

故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品.

【考点】二元一次方程组的实际应用-销售问题

【分析】(1)设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，列出方程组，解之即可；

(2)若两人共购买10支笔芯(一盒)，3本笔记本，由题目己知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，故

两人买到各自的文具需要花费的钱，即可得到答案。

26.(1)解：•.•点4(3,a)，点8(14-2a,2)在反比例函数y=的图象上,

：.3Xa=(14-2a)X2.

解得a=4.

***m=3X4=12.

...反比例函数的表达式是y=工.

X

(2)解：a=4,

...点A,点B的坐标分别是(3,4),(6,2).

♦.,点A,点B在一次函数y=kx+b的图象上，

・(4=3k+瓦

•.与=6/c+b.

解得｛"一『

Z?=6.

・••一次函数的表达式是y=—|%+6.

当x=0时，y=6.

・••点C的坐标是（0,6）.

:.OC=6.

•・•点D是点C关于原点O的对称点,

・•・CD=2OC.

作AEly轴于点E,

I.AE=3.

1

AACD~5。。,AE

=CO-AE

=6X3

=18

y

o

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点

问题，三角形的面积

【分析】(1)根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于。的方程，求出a,即可求出反比例函

数解析式；(2)根据点A、B都在一次函数y=kx+b的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进

而求出点C坐标，求出CD长，即可求出AACD的面积.

27.(1)证明：如图，连接。0,

则。4=。0.

ZODA=ZOAD.

"AD是ZBAC的平分线，

ZOAD=ZCAD.

ZODA=NCAD.

OD//AC.

/ODB=NC=90°.

BC是O。的切线.

(2)证明：如图，连接EF.

A

-AE是。。的直径，

・•・ZAFE=90°=NACB.

・•・EF//BC,

・•・ZAEF=NB.

又ZAEF=ZADF,

・•・ZB=ZADF.

vZOAD=ZCAD，

:./DABFAD.

.竺_竺

'''AB~AD•

即AD2=ABAF.

（3）解：♦♦・ZBDO=90°=2,OD=OE,

.ODOD3

sinBn=—=--------=-.

BOBE+OE5

OD=3.

・••AE=6,AB=8.

又sinB=sin^AEF=|,

.L18

:.AF=—.

由（2）知AD2=AB•AF，

AD2=8X—=—.

55

.•・40=学.

【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质

【分析】(1)连接。0,证/。40=44。，则PD〃AC,得到/0DB=Nt=90°,即可解

决问题；

(2)连接EF,先证出EF〃BC,得出NREF=，再由圆周角定理得出NNEF=4DF，则=

上4DF再证出.得出AB:AD=AD:AF,即可得到结论；

(3)先由锐角三角形对应得出5^8=*=^^=^，设圆。的半径为r,解得r=10,则AE=20,

BOBE+OE13

AB=36,再由三角函数定义求出AF的值，即可解决问题。

28.(1)解::抛物线y=ax2+bx+c(a*0)的图象经过点4(1,0)凤3,0),

设抛