第一章 物体的受力分析和静力平衡方程

第一篇工程力学根底本篇主要讨论两个问题：1)构件的受力分析〔静力学〕静力平衡的根本规律；求解结构上的未知力。2)构件的承载能力分析〔材料力学〕强度、刚度、稳定性，即杆件受力后的根本变形〔拉、压、弯、扭〕。编辑ppt第一章物体的受力分析和静力平衡方程静力学主要研究：(1)力系的简化；(2)刚体的平衡条件。根据实际问题抽象建立力学模型应用数学方法描述客观规律应用数学工具得到解决问题的方法研究方法编辑ppt第一节静力学根本概念

一、力的概念及作用形式

力的三要素：大小、方向、作用点

力的单位：N(牛顿)，kN(千牛)1、力:是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化〔外效应〕，或使物体发生变形〔内效应〕。(一)概念

力的表示方法：常用黑体字母表示编辑ppt(二)力的表现形式(1)集中力:集中作用在很小面积上的力〔近似看成作用在某一点上〕。(2)分布(载荷)：连续分布在一定面积或体积上的力；单位长度上的均布载荷，称载荷集度〔q〕。Fq(x)q集中力分布力均布力均布载荷编辑ppt二、刚体的概念在任何情况下都不发生变形的物体。〔理想化的力学模型〕理想化分子的集合看成刚体看成连续体理想化理想化看成质点编辑ppt载人飞船的对接研究轨道问题时——质点

研究对接问题时——刚体编辑pptF'FF=F'(1)二力平衡原理作用于刚体上的两个力平衡的必要充分条件是----等值、反向、共线。A

三、平衡的概念编辑ppt推论：二力杆上作用的两个外力，其力作用线必与二力作用点的连线重合，与二力杆的实际几何形状无关。重要名词:二力杆(二力体，二力构件):

仅在两点受力而处于平衡的物体或构件。用途：两力的作用点，确定其作用线。编辑ppt二力杆实例：编辑ppt编辑ppt(2)力的平行四边公理

作用于同一点的两个力可以合成为一个合力，合力的大小和方向是以这两个力为邻边的平行四边形的对角线矢量，其作用点不变。也即：合力等于两分力的矢量和。合力的正交分解编辑ppt推论：三力平衡汇交定理：如果一物体受三个力作用而处于平衡时，假设其中两个力的作用线相交于一点，那么第三个力的作用线必交于同一点。编辑ppt(3)加减平衡力系原理在作用于刚体的任何一个力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。编辑ppt推论:

力的可传性原理:作用于刚体上的力，可以沿其作用线滑移，而不改变对刚体的作用效果。F1=F2=FAFF1F2BBAF2编辑ppt四、作用与反作用力定律任何两物体间的相互作用力总是成对出现，并且等值、反向、共线，

分别同时作用在两个物体上。应用：研究由几个物体构成的系统的受力时常用。

注意：作用力和反作用力同平衡力的区别。编辑ppt(一)根本概念约束：对于某一物体的活动起限制作用的其它物体；约束反力：约束对被约束物体的作用力〔限制物体运动的力〕；其方向总是与约束所阻止的物体运动趋势方向相反。主动力：引起物体运动和运动趋势的力〔载荷〕；被动力：由主动力的作用而引起的力。第二节约束及约束反力编辑ppt〔二〕常见的约束类型及其反力1.柔性约束特点：柔性体约束只能承受拉力，不能受压。约束反力的作用线沿着被拉直的柔性物体中心线且背离物体运动方向。约束反力是作用在接触点，限制物体沿柔性体伸长的方向运动，是离点而去的力。由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束PPTS1S'1S'2S2编辑pptTW柔性约束实例：编辑ppt编辑ppt编辑ppt

约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体，是向点而来的力。2.光滑面约束(光滑指摩擦不计)PNNPNANB特点：只受压，不受拉，沿接触点处的公法线而指向物体，一般用N表示，又叫法向反力。编辑ppt光滑面约束实例：编辑ppt光滑面约束实例：编辑ppt3.圆柱铰链约束A圆柱铰链圆柱铰链约束：约束反力通过销钉中心，沿接触点公法线方向。通常用两个正交分量Fx和Fy来表示。AFxFy铰支座：用圆柱铰链将一个构件与底座连接。分为固定铰支座和可动铰支座编辑ppt(1)固定铰链约束(固定铰支座)

被连接件A只能绕销轴转动，而不能沿销轴半径方向移动。铰支座：用圆柱铰链将一个构件与底座连接。分为固定铰支座和可动铰支座编辑ppt特点：约束反力的指向随杆件，受力情况不同而相应地变化。约束反力的作用线通过铰链中心，但其方向待定，通常用水平和铅垂两个方向的分力表示。编辑ppt固定铰支座的几种表示:编辑ppt编辑ppt固定铰链约束实例：编辑ppt编辑ppt(2)活动铰链约束〔可动铰支座、辊轴支座〕特点：约束反力的指向必定垂直于支承面，并通过铰链中心指向物体。编辑ppt活动铰支座的几种表示:编辑ppt编辑ppt3.固定端约束P9特点：限制物体三个方向运动，产生三个约束反力。既不允许构件作纵向或横向移动，也不允许构件转动。物体的一局部固嵌于另一物体所构成的约束。如：建筑物中的阳台、电线杆、塔设备、跳台〔跳板〕等。编辑pptNAX固定端约束的托架固定端约束实例：编辑ppt编辑ppt1.概念别离体：将所要研究的物体从周围物体中单独别离出来，使之成为自由体。受力图：表示别离体及其受力的图形。2.画受力图的根本步骤〔1〕取别离体：根据问题的要求确定研究对象，将它从周围物体的约束中别离出来，单独画出研究对象的轮廓图形；〔2〕画力：载荷，特意指明的重力等，不特意指明重力的构件都是不考虑重力的；〔3〕画约束反力：确定约束类型，根据约束性质画出约束反力。第三节别离体和受力图编辑ppt例1：分别画出圆及杆AB的受力图。ACB600P解：PN1N2ABYAXASBCN2充分利用BC杆是二力杆的性质

注意：画约束反力时，一定要按照约束的固有性质画图，切不可主观臆断！编辑ppt例2：曲柄冲压机的受力分析编辑ppt

例3：悬臂吊车的受力分析ScSBSB’XAYAQ编辑ppt思考题如下各图所示，各物体处于平衡，试判断各图中所画受力图是否正确？原因何在？编辑ppt编辑ppt编辑ppt确定反力的方向时，可借助于以下各点：*是否与二力构件相连，是,那么由二力构件的别离体图确定二力构件的连接点受力方向，而它的相反方向〔反作用力的方向〕就是所求方向;*研究对象是否是三力构件，是，那么两个受力方向，可利用三力平衡汇交定理确定方向;

*根据主动力系和约束的性质确定反力方向。

即要充分利用二力杆定理、三力汇交定理、作用与反作用定理来确定约束反力。编辑ppt第四节力的投影合力投影定理由力在轴上的投影还可看出： 1〕一力在互相平行且同向的轴上投影相等； 2〕将力平移，此力在同一轴上的投影不变。

一、力的投影概念xx’AB

ab编辑ppt二、力在坐标轴上的投影设力F作用于物体的A点，如下图。定义：从力 F的两端分别向选定的坐标轴x，y作垂线,其垂足间的距离就是力F在该轴上的投影。编辑ppt假设力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，那么力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算：Fx=±FcosαFy=±Fsinα力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：(1)当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。(2)当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。编辑ppt如果力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，那么力F的大小和方向可由下式确定

力F的指向和投影Fx和Fy的正负号判定:如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。〔力的投影是代数量〕。编辑ppt力的投影与分力关系:

将力F沿直角坐标轴方向分解，所得分力Fx、Fy的值与力F在同轴上的投影的绝对值相等。但是，力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点；而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。编辑ppt合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即

其中合力F的大小及方向:

三、合力投影定理编辑ppt一、力矩1.力矩的概念

物理量Fd及其转向来度量力使物体绕转动中心O的效应，这个量称为力F对O点之矩。简称力矩，记为其中：O—称为矩心;d—称为力臂单位：N.m

第五节力矩力偶编辑ppt力矩的正负规定：力矩在平面上逆时针转动为正，顺时针转动为负。编辑ppt2.力矩的性质：(1)当力的作用线通过矩心时，此时力臂的值为零，力矩值为零；(2)力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为此时力、力臂的大小及力矩转向未发生改变；(3)等值、反向、共线的两个力对任一点之矩总是大小相等、方向相反，因此两者的代数和为零；(4)矩心的位置可以任意选定，矩心不同，所求的力矩大小和转向就可能不同。编辑ppt二、力偶与力偶矩(1)力偶概念

作用在同一物体上等值、反向、不共线的一对平行力称为力偶，记作〔F，F′〕。在力学中用力的大小F与力偶臂d的乘积Fd加上正号或负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，该物理量称为力偶矩，并用符号M(F，F′)或M表示，即M(F,F′)=M=±Fd编辑ppt工程实例编辑ppt1〕力偶矩的大小；2〕力偶的转向；3〕力偶作用面。力偶的三要素：力偶作用面在空间的位置及旋转轴的方向；用垂直于作用面的垂线指向来表征。但凡空间相互平行的平面，它们的方位均相同。力偶矩正负规定：假设力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。编辑ppt(2)力偶的性质①力偶无合力，即力偶在任一轴上的投影等于零。②力偶对转动效应与矩心的位置无关。力偶对其作用面内任一点之矩，恒等于力偶矩，是一常数；而力对某点之矩，矩心的位置不同，力矩就不同〔力矩与力偶的本质区别之一〕。③力偶的等效性：在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，那么这两个力偶是等效的。即三要素相同的力偶彼此等效。编辑ppt因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。力偶的等效性推论：

唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值，即保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大小。M=F·d=F

·d

FdF

d

=编辑ppt一、力的平移定理：作用于刚体上某一点A的力可以平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点B的矩.第六节力的平移(F)F’=F”=F,(F’,F”,F)(F’,M)(F’,F”,F)(F’,M)编辑ppt思考：1.附加力偶作用面在哪儿？2.同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成一个力？编辑ppt结论：一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F，其作用点到力作用线的距离为:编辑ppt①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶

二、讨论③力线平移定理是力系简化的理论根底。②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。编辑ppt平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面力偶系：假设干个力偶〔一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶〕组成的力系。力系的分类：平面力系和空间力系：各力的作用线都在同一平面内的力系，否那么为空间力系。平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。第七节平面力系的简化合力矩定理编辑ppt对所有的力系均讨论两个问题：(1)力系的简化〔即力系的合成〕问题；(2)力系的平衡问题。编辑pptFR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’

F1’=F1M1=Mo(F1)(F1,F2,F3,…,Fn)(F1’,F2’,F3’,…,Fn’)(M1,M2,M3,…,Mn)(FR’,Mo)F2’=F2

M2=Mo(F2)F3’=F3

M3=Mo(F3)Fn’=Fn

Mn=Mo(Fn)……力系的主矢Mo=M1+M2+M3+…+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=∑Mo(Fi)向O点简化的主矩=F1+F2+F3+…+Fn=∑Fi一、平面力系的简化编辑ppt结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。即平面任意力系的简化结果

：①合力偶MO；②合力(1)简化方法汇交力系合力一般力系〔任意力系〕汇交力系+力偶系向一点简化〔未知力系〕〔力系〕编辑ppt附加力偶的合力偶矩(2)主矢与主矩主矢：指原平面一般力系各力的矢量和。主矢的解析求法方向：大小：注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。编辑ppt转向+–主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和。主矩MO正、负规定：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与简化中心有关。注意：平面力系简化结论的应用：固定端约束编辑ppt=(1)FR

=0，而MO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。(2)MO=0，而FR

≠0，原力系合成为一个力。作用于点O的力FR就是原力系的合力。(3)FR

≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：MOOFROdMo

AFR”OdMo

AFRFR”FR’=()FmFRMdå==00FR二、平面力系简化结果的讨论编辑ppt综上所述，可见：(4)FR

=0，而MO=0，原力系平衡。⑴平面任意力系假设不平衡，那么当主矢主矩均不为零时，那么该力系可以合成为一个力。⑵平面任意力系假设不平衡，那么当主矢为零而主矩不为零时，那么该力系可以合成为一个力偶。编辑ppt

平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。三、合力矩定理()()å=FmFRmoo()()()yoxooFmFmFm+=()xxoyFFm-=()yyoxFFm=yxOxyAB编辑pptF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°例题:在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN〔如图〕，试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果：①求主矢FR：598.030cos60cos432=++-==¢åooFFFFFRxx编辑ppt

xFR

OABCyo768.030sin60sin421=+-==¢åoFFFFFyRy7940

22.FRyFRxFRx=¢+=¢\()614.0

cos=¢¢=¢FRFRxx、FR()'x652

,

°=¢ÐÞFR()789.0

cos=¢¢=¢FRFRyy、FR()'y5437

,

°=¢ÐÞFRF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°编辑ppt②求主矩：〔2〕求合成结果：合成为一个合力FR，FR的大小、方向与FR’相同。其作用线与O点的垂直距离为：FR

OABC

xyLoFRdF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°()å=FomMo5.030sin3260cos2432=°+-°=FFFm51.0=¢=FRMod编辑ppt第八节平面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是：主失和主矩均为零。注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。2.平衡方程1.平衡条件一般式方程编辑ppt

以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。平衡方程的其他形式：二矩式方程两矩心的连线与投影轴不垂直三矩式方程三矩心不共线编辑ppt(1)平面汇交力系的平衡从而得平面汇交力系的〔解析〕平衡条件为：

当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力FR必须为零，即：上式的含义为：力系中所有各力在任意坐标轴上投影的代数和分别等于零。两个独立方程可解二个末知量。3.平面特殊力系的平衡方程编辑ppt

平面力偶系可合成为一力偶，其合力偶矩等于各分力偶的代数和。〔2〕平面力偶系的合成与平衡M=m1+m2+……=∑m

结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中各力偶的矩之代数和等于零。M=M1+M3+···

+Mn平面力偶系的平衡条件：编辑ppt〔3〕平面平行力系的平衡方程b)多矩式附加条件：

A、B两点的连线不平行Fi轴a)基本形式X0Y=0mo(F)=0xoyABFi编辑ppt

例1：

利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重W=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平钢杆AB和斜钢杆BC支持于点B(图a)。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。30°BWAC30°

a

FBCFDFABWxy30°30°

b

B解：1.取滑轮B(带轴销〕作为研究对象。2.画出受力图〔b)。注意：FD=W编辑ppt3.列平衡方程。联立求解,得反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。FAB=－54.5kN,FBC=74.5kNFBCFDFABWxy30°30°

b

B编辑ppt例2：如下图，重物W=20kN,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，并用固定铰支座A、C与墙连接。如果两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和杆BC所受的力。编辑ppt解：杆AB和BC都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC受压力，画受力图如下：为了防止解联立方程，选直角坐标系如下图，使x、y轴分别与反力NBC、NAB垂直。编辑ppt列平衡方程求解：∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0得NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.32kN

NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设的指向相反，即杆AB受压力作用。∑Fy=0,NBC-Tcos30°-TBDcos60°=0得NBC=Tcos30°+TBDcos60°=27.32kNNBC为正值，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同，即杆BC也受压力作用。编辑ppt运用平衡条件求解未知力的步骤为：(1)合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；(2)选取适当的坐标系建立平衡方程；(3)由平衡方程求解未知力。列方程时注意各力投影的正负号。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。当求出未知力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同；如果是负值，那么表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相反。编辑ppt例3：简支梁AB上作用有两个力偶，如下图。P=P′=2kN，m=20kN·m，a=1m，l=5m，试求支座A、B的反力。编辑ppt解：取梁AB为研究对象。画梁AB的受力图列出平面力偶系的平衡方程∑mB=0,-P×asin30°-m+RA×l=0即-2×1×0.5–20+RA×5=0解得RA=4.2kN故RB=RA=4.2kN编辑ppt例4：梁AB上作用一集中力和一均布荷载〔均匀连续分布的力〕，如图。P=6kN，荷载集度〔受均布荷载作用的范围内，每单位长度上所受的力的大小〕q=2kN/m，梁的自重不计，试求支座A、B的反力。编辑ppt解：取梁AB为研究对象，画其受力图，由∑Fx=0,RAx-Pcos60°=0得RAx=Pcos60°=3kN由∑mA(F)=0,RB×4-Psin60°×3-2×1=0得RB=4.9kN由∑Fy=0,RAy-q×2-Psin60°+RB=0得RAy=4.3kN编辑ppt例5：如图示为一悬臂式起重机，A、C处都是固定铰支座，B处是铰链连接。梁AB自重W1=1kN，提升重力W2=8kN，杆BC的自重不计，试求支座A的反力和杆BC所受的力。编辑ppt解：取梁AB为研究对象，画其受力图。由∑mA(F)=0,-W1×2-W2×3+Nsin30°×4=0得N=W1×2+W2×3/sin30°×4=13kN

由∑mB(F)=0,-RAy×4+W1×2+W2×1=0得RAy=W1×2+W2/4=2.5kN由∑mC(F)=0,RAx×4tan30°-W1×2-W2×3=0得RAx=11.27kN编辑ppt例6：求图示结构的支座反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MA=0：编辑ppt由∑Fy=0：由∑MA=0：由∑FX=0：例7：求图示结构的支座反力。解：取整个结构为研究对象画受力图。编辑ppt例题8：解：以AB及重物作为研究对象；受力分析，画出受力如图；列平衡方程如下图简易吊车，A、C处为固定铰支座，B处为铰链。AB梁重P=4kN，重物重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约束反力。解得：编辑ppt例9:：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m求：A、B的支反力。解①研究AB梁；②受力如图；③取Axy直角坐标；