平面解析几何（解答题）-《2022届山东高考模拟数学试卷分项解析2》【解析版】

《2022届山东高考模拟数学试卷分项解析》

专题14平面解析几何（解答题）

45.（2022.广东茂名•模拟预测）如图，点M是圆A：（x++V=16上的动点，点8圈,0）,

线段MB的垂直平分线交半径4用于点P.

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）点N为轨迹E与）’轴负半轴的交点，不过点N且不垂直于坐标轴的直线/交椭圆E于S,

T两点，直线NS,即分别与x轴交于C,D两点.若C,。的横坐标之积是2,向：直线

/是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.

【答案】⑴=+/=1;

4

⑵直线/过定点（0,3）.

【解析】

【分析】

（1）利用定义法求点P的轨迹E的方程；

（2）直线ST的方程为了=履+砥加*-1）,联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再根据

%出=2得帆=3,即得解.

（1）

解:由题得|AP|+|PM|=|AM|=4,.」PA|+|PB|=4>2>/J=|AB|,

所以点尸的轨迹是以48为焦点，长轴为4的椭圆.

所以2a=4,c=5/3,

所以椭圆的方程为£+y?=l.

4

2

所以点尸的轨迹E的方程为土+丁=1.

4

(2)

解：由题得点N(O,-1),设直线57的方程为y=kx+m(mH-1),

联立直线和椭圆的方程为："[得(1+4k°)x2+8版x+4布-4=0,

[x+4/=4

所以△>0,4攵2一疗+1>o.

设S(M,必),T(%2,y2)，所以％+x1--的生,％々=

1+4/41"+4—K/.

所以直线SN方程为y+i=5(x-。)，

不

令y=o得同理/=上7.

M+1必+1

因为左々=2,.\—^―=2,:,xtx2=2(y,+y2+y,y2+1),

M+l必+1

所以MW=2[g+帆+5+m+(3+m)(kx24-/n)+l],

22

所以=21k(xl4-x2)(m+1)4-kXjX2+(/n+l)],

所以4"'一?=2代x(--+1)+Mx4m-?+(m+l)2],

1+4公l+4k2l+4k2

因为相片一1,所以机+lwO,

所以4(机-1)=—IGkZ/n+gZ?。??—1)+2(1+422)(，"+1),

所以〃7=3,所以直线ST的方程为丫=丘+3,

所以直线ST过定点(0,3).

46.(2022.山东济宁•二模)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为凡点M(4,附在抛物

线E上，且尸的面积为:p?(O为坐标原点).

(1)求抛物线后的方程：

⑵过焦点尸的直线/与抛物线E交于4、8两点，过A、B分别作垂直于/的直线4C、8。，分

别交抛物线于C、。两点，求|AC|+|阳的最小值.

【答案】⑴V=4x

(2)12下

【解析】

【分析】

(1)根据面积及抛物线上的点可求解；

(2)利用直线与抛物线的位置关系分别求得依。|=马空•(缶+2)、

忸口=当±1.（电+2）,再通过导数求最值即可.

(1)

nr=8p,

由题意可得1p解得p=2.

—x—帆=#,

122

故抛物线E的方程为丁=4x.

（2）

由题意直线/的斜率一定存在且不为0,设直线/的方程为％=0+1,#0,

设4（西,%）,8（孙％），。（不，必），

由什/：+1,消去光得……=0.

[y=4见

4

所以,+以=今，y1y2=-.

由4c垂直于/,直线AC的方程为y—M=T（x—占）

由消去W+4if=0.

4

-%=

r

27^+1,

=-p—，（朗+2）・

同理可得忸回=当巨.（小+2），

所以|4。+忸。=毕.口(必+%)+4]=毕T+])=8^L

令〃司=空£,x>0,则/（x）=（x+l）丁-2）,

%>0

所以当x«0,2）时,f'（x）<0,f（x）单调递减；当X«2,M）时，r（x）>0,〃x）单调递

增.

所以当下2时，/(尤)取得最小值，即当r=土应时•，|AC|+忸。最小值为12有.

47.(2022•山东淄博•模拟预测)己知抛物线。"2=2外5>0)的焦点为尸，点M(2,m)在抛

物线C上，且阂=2.

(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；

(2)不过点”的直线/与抛物线C相交于A,8两点，若直线MA,A"的斜率之积为-2,试

判断直线/能否与圆(x-2『+(y-m)2=80相切？若能，求此时直线/的方程；若不能，请

说明理由.

【答案】⑴炉=4>；

(2)能与圆相切；y=；x+10.

【解析】

【分析】

(1)根据点在抛物线上和抛物线的定义列出关于，小P的方程组，解之即可；

⑵设点A,,胃中2，子)和直线A8方程y=根据两点坐标表示直线斜率和韦达定

理求得8=24+9,可知直线A3恒过定点且该定点在圆上M上，根据点M、N坐标求出女

即可.

(1)

由题意得，

因为点M(2,㈤在抛物线上,所以2?=2刖,

山抛物线的定义，得加+4=2,

2

m+—=2[m=\

则2,解得,

22=2pmI?=2

所以抛物线C的标准方程为x2=4y；

(2)

由⑴得M(2,l),设点«不打8(々,亍)，

,X4-27乂+2.,x.+2x+2.

则nil%«=-^―，&«=力—，所rCKI以=F-Xj9—=-2,

得当马+2(占+々)+36=0:设直线A8方程为y=H+%,

有花"+、人4-4』,

所以内+马=4&,x,x2=-4h,所以*+8%+36=0,

得A=2%+9,所以直线AB方程为了=区+2%+9,

即直线A8恒过抛物线内部的定点N（-2,9）,

又圆M：（x-2-+（y-=80正好经过点N（-2,9）,

当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切,

此时％=-4=；,所以直线AB方.程为y=:x+10.

48.（2022・山东济南・二模）已知椭圆C的焦点坐标为耳（-1,0）和玛（1,0）,且椭圆经过点

⑴求椭圆C的方程：

⑵若T。』），椭圆C上四点M,N,P,Q满足祈=3直，标=3方，求直线MN的斜率.

22

【答案】⑴工+汇=1

43

【解析】

【分析】

（1）根据题意得到-1，再将点（ig）代入椭圆方程求解;

X2=

（2）设“a，y），。（9，为），N（&,%），尸（程必），7（1,1），由祈M3G得到，

%=

根据都在椭圆匕得到;（2-玉）+；（2-凶）=1,同理得

l（2-x3）+1（2-y3）=l,两式相减求解.

（1）

解：由题意可知，c=l,

设椭圆方程为《+/二=1,将点向）代入椭圆方程，

得（/_4乂4/_1）=0,

解得/=：（舍），足=4，

所以椭圆方程为三+汇=1.

43

（2）

设M（4,y）,。伉,必），N（玉,为），尸（%乂），7。，1），

]—%=3（々-1）

因为祈=3和，所以If=34-1）

又劝（与,）［）,。（々，丫2）都在椭圆上，

所以左卜，L启门,

工+五1……①

即［43,

；（4-xJ+g（4-X）~=9...②

②-①得;（4-2x）4+g（4-2y>4=8,

即.（2-*|）+］（2-乂）=1③，

又祈=3/，同理得;（2-毛）+!（2-%）=1……④

④-③得-%）+§（乂一%）=。，

所以心=上也=f=4

再fJ.4

3

22

49.（2022•山东日照•模拟预测）已知圆加：，+a=1（4〉0力〉0）的焦点为网2,0）,长轴长

与短轴长的比值为应.

⑴求M的方程；

⑵过点尸的直线/与M交于A,8两点，8C，x轴于点C,4。，》轴于点£>,直线B。交直

线x=4于点E,求证：点C,A,E三点共线.

22

【答案】（1）二+—=1

84

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可得:=/,c=2,再结合/=从+。2,可求出/，从，从而可求出用的方程;

b

（2）由题意可知,直线/斜率存在,设A（XQJ,85,%），设直线/的方程为y=%（x-2）,

代入椭圆方程中，消去y,整理后利用根与系数的关系，由ADLx轴，得。（玉,0）,从而

可表示出直线8。方程,则可求出点E的坐标，由2c_Lx轴，得C（W，O），从而可表示心C，%EC，

然后计算化简得怎c-怎。=0，进而可证得结论

（1）

由题设?=&，所以〃=2〃，

b

又因为c=2,a2=b2+c2f所以2b2=。+4,

解得从=4,6f2=8»

22

所以桶圆M的方程为二+二=1;

84

（2）

由题意可知，直线/斜率存在，设直线/的方程为y=%（x-2）,

由'得0+2&2）f-8心+侬2_8）=0,

设A（x＞，x）,8优,%），则苔+三=?^?1,中2=^^，

1+/K14-2.K

因为轴，所以£＞（芭,0）,

直线B力方程为丫=一息一（》一王），所以自4,必（4一再）],

X2--X\IX2~X\J

因为3C_Lx轴，所以。（％,0），

因为您「上，『（%（：;：）

（X2-X1）（4-X2）

所以“Fl各怎一号

二%（4_%）+。（4一/）二）（/_2）（4-内）+）（工1.2）（4―尤2）

（X2-X,）（4-X2）（X2-X,）（4-X2）

=7-----2——；-[6（%,+^）-2^,%2-16]―-----生-------24公8.2-8_8

L[1+2公\+2k2_

（X2-XI）（4-X2）（X2-^）（4-X2）

16%3〃一/+1-1-2/_

l+2k2一0'

（X2-X,）（4-X2）

所以C,A,E三点共线.

50.（2022•山东・德州市教育科学研究院二模）已知AABC的两个顶点A,8的坐标分别为

（-73,0）,（73,0）,圆E是A4?C的内切圆，在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,

\CP\=2-^,动点C的轨迹为曲线G.

⑴求曲线G的方程；

(2)设直线/与曲线G交于例、N两点,点。在曲线G上，。是坐标原点的+丽=诟，

判断四边形OMCW的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

2

【答案M吟+丁=1("0)

(2)四边形的面积是定值，其定值为6

【解析】

【分析】

(1)由题意得|C4|+|CB|=2|CP|+|AB|=4>|明，根据椭圆的定义,即可得a,c的值,根

据a,b,。的关系，可得方值，即可得答案.

(2)由题意得直线/的斜率存在，设直线/方程是y="+，”，与椭圆联立，根据韦达定理,

可得司马表达式，代入弦长公式，可得|网表达式，再求得。到直线MN的距离〃,

根据题意，求得。点坐标，代入椭圆，可得太的关系，求得以的面积为S的表

达式，整理计算，即可得答案.

(1)

因为圆E为的内切圆，

所以|C4|+「用=|CP|+|CQ|+1网+|QB卜21cH+|的+怛/=+|4?卜4>|,

所以点C的轨迹为以点A和点8为焦点的椭圆，

所以c=6\a-2,则)=1,

2

所以曲线G的方程为土+y2=i(y*o)

(2)

由yxo可知直线/的斜率存在，设直线/方程是y=h+m,

2

由平面图形。MDN是四边形，可知m*0,代入到三+/=1,

4

2

得（1+4攵2）%2+skmx+4m-4=0

4/一4

所以△=18（4Z+1-）>0,x,+x»=—8km

1+4-'、々-]+4公

所以X+%=A-2时,

所以|MN|=七尸

又点。到直线例N的距离d=

—8km2m

由丽+两=丽得程=，%=

1+4女\+4k2

因为点O在曲线C上，所以将。点坐标代入椭圆方程得1+4女2=4,/.

由题意四边形OMQN为平行四边形，

Ml"c.szAAH加口c「、~-T444/-疗+]|/„14|同「4/-M+1

所以OMDN的面积为S=>/1+Kx----------------xJ।=-1—1-----------------，

1+4/Trnt71+4出5

由1+4/=4/，代入得5=6，

故四边形。例。N的面积是定值，其定值为

22

51.（2022.山东潍坊•二模）已知M,N为椭圆0:二+y2=l（a>0）和双曲线的

a~a~

公共顶点，6，。2分别为G和C2的离心率.

（1）若平2=*

（i）求G的渐近线方程；

（ii）过点G（4,0）的直线/交G的右支于A,8两点，直线MA,MB与直线x=l相交于A，

B1两点，记A,B,A，片的坐标分别为（移打），（/，%），（%卜4），求证：

—1+—1=1—1+一.

yy2%为'

（2）从C?上的动点P（x°,y°）（x0x±a）引G的两条切线，经过两个切点的直线与C?的两条渐近

线围成三角形的面积为S,试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理

由.

【答案】（1）（i）尸土白：（ii）证明见解析

（2）是定值，S=a

【解析】

【分析】

（1）（i）根据椭圆和双曲线的离心率公式求得即可求出双曲线的渐近线方程;

（ii）直线A8的方程为x=）+4,H双曲线方程联立，利用韦达定理求得%+%，%%，从

1111

而可求出一+一,再根据直线照,伙的方程可求出月,无，从而可求得一十一,整理即

M%%

可得证：

（2）设两个切点出毛，％），6（%%），直线小的方程为4：»=4（%-毛）+为，与椭圆方程

联立，根据△=()求出勺，同理可求得直线pg的斜率网，求出直线46的方程，然后可求

出直线66与两条渐近线的交点坐标，计算整理即可得出结论.

(1)

解：由题意得q=也三，《2=必壬

aa

所以k华L限

又。＞0,解得/=4,

(i)故双曲线G的渐近线方程为丫=土;x，

(ii)设直线A8的方程为x=)+4,

x="+4,

2

2消元得，(产-4)

则x2y+8<y+12=0,A>0,

匕一旷=1,

—St

…E故；+小党二*

且，。±2,所以,

12

%％=-7,

r-4

又直线M的方程为y=率(1+2),

所以为=3，同理％=言^

所以:\(x,+2x,+2)1

-------+-----=-

%以3I乂%)3

2)|%+6(%+为)=2.।2(%+丫2)=2242

—十—-t一一t-一一

3yly23ya3333

My2J

X=1

⑵

解：设两个切点6（毛,％）,6（%，%），由题意知pq,P鸟斜率存在,

直线修的方程为4：＞=4（3一天）+为，

2

X2

联立，a2+"'由△=（）得匕=--孕~，所以4：岑+为y=l,

,/X,ay,a-

y=ki[x-xi）+yi,

同理直线PP2方程为。：学+"），=1，

a~

斗+）5=1，

山4,4过尸点可得“可得直线66的方程为¥+%y=i，

入6入0.1CI'

、a

不妨设，直线片《与双曲线两渐近线y=±1x交于两点"!‘一,」一〕,

a1%+犯0M+ayJ

（2\

p；a,一〃

2

1%一砂0‘%一欲J’

.223

则围成三角形的面积5=彳」----------------------匚=，“一,

2x0+ay0x0-ay0x0+ay0x0-ay0x0-ay0

因「在双曲线Cz上，

则S=g_=a为定值.

a

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的性质，考查了椭圆和双曲线中

的定值问题，及椭圆中三角形的面积问题，计算量很大，对数据分析处理能力要求很高，属

于难题.

52.（2022♦山东泰安•三模）已知椭圆£:二+马=1（QQ0）的离心率6=也，四个顶点

a2b22

组成的菱形面积为8&,。为坐标原点.

⑴求椭圆E的方程；

Q

⑵过。。：/+产=]上任意点「做。。的切线/与椭圆£交于点〃，N,求证丽.丽为定

值.

22

【答案】（1）—+—=1

84

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由条件列方程求出。力，由此可得椭圆标准方程；（2）先计算当直线/的斜率不存在时

丽■•丽的值，再利用设而不求法求出当直线/的斜率存在时丽.丽，结合直线与圆相切

的条件证明两•两为定值.

（1）

山题意得2必=8人，e七吟，a2^b2+c2

可得〃=2应，b=2,

22

所以椭圆的标准方程为工+二=1.

84

（2）

当切线/的斜率不存在时，其方程为》=±2四,

3

当X=2近时，将x=4叵代入椭圆方程=1得y=±亚,

：.PMPN=--

3

当》=一亚0寸，同理可得西•丽=-],

33

当切线/的斜率存在时，设/的方程为产人+5，M（%„>>,）,阳々,力），

因为/与。。相切，所以=半，所以3/=8r+8

y=kx+m

x2/，得（l+2M）f+45x+2加_8=0,

----F—=1

（8---4

.4km2m2—8

•・…"TTiF'

△=（4W）2—4（l+2/）（2*—8）>0,8〃一>+4>0,

m>>/2或相<-近

：.丽•丽=（西-丽）（丽-碉=（而『-丽•丽-丽•西+两西

8-----------

=（丽）2-（而）2-（而y+西.丽=——+OMON

3

OMON=%毛+乂％=x\x2+（^1+"2）（心+根）

=（1+女）玉电+奶+W）+m2

川-弘

,（4km232-8

+km\----------------r+m

=2）株I1+2公\+2k2

________Q

.,.PMPN=——

3

0

综上，丽.而为定值-钎

【点睛】

求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

53.(2022•山东临沂•模拟预测)如图，已知椭圆工+卷=1(。＞式＞0)的离心率为正，以该

椭圆上的点和椭圆的左、右焦点与心为顶点的三角形的周长为4(人+1).一等轴双曲线的顶

点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线尸耳和「尸2与椭圆的交点分

别为A、B和C、D.

(I)求椭圆和双曲线的标准方程；

(II)设直线尸耳、P网的斜率分别为勺、k2,证明勺匕=1；

(III)是否存在常数2,使得|明+|8|=H43，。力恒成立？若存在，求4的值；若不存在,

请说明理由.

22

【答案】([)椭圆的标准方程为二+==1;双曲线的标准方程为

84

y-^=l(II)&「心=皆7=1.(Hl)存在常数几=还使得|知十|8|=川明・|内恒

成立，

【解析】

【详解】

试题分析：(1)设椭圆的半焦距为C,由题意知：£=史，

a2

2a+2c=4(0+1),所以a=20,c=2.

又a2=b?+c2,因此b=2.故椭圆的标准方程为二+片=1.

84

由题意设等轴双曲线的标准方程为三一E=l(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦

mm

22

点，所以m=2,因此双曲线的标准方程为二一匕=1.

44

(2)设A(xi,yi),B(X2,y2)>P(xo>yo).则ki="°八，卜2=、

-♦

x0+2x02

因为点P在双曲线x2—y2=4上，所以X—y=4.

2

因此ki-k2=)。cc=——=1，即k「k2=1.

5+2丽-2两2-4

2

(3)由于PF1的方程为y=ki(x+2),将其代入椭圆方程得(2k；+l)x-8k^x+8k；-8=0,

Ot-2Ol-2_o

显然2k；+l/0,显然△>().由韦达定理得X|+X2=-^，一，X|X2=g.

12婷+12^2+l

同理可得|CD|=472与+1.

2婷+1

111,2兄+12占2+1

贝！J:---\:---:=--产（--5---+---5----

\AB\\CD\4&互+1=+i

又krk2=l,

故|AB|+|CD|=ZWZ|AB||CD|.

8

因此存在X=逑，使|AB|+|CD|=A|ABHCD|恒成立.

8

考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系

点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数

的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其

进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式

54.(2022.山东滨州•二模)已知抛物线C:/=2py(p>0)在点M(1,%)处的切线斜率为\.

(1)求抛物线。的方程；

(2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线/：y=2x+m对称，求实数机的取值范围.

【答案】⑴x?=4y；

9

(2);n>-.

【解析】

【分析】

(1)根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C的方程联立，借助判别式计算作答.

(2)设出抛物线C上关于/对称的两点A,B的坐标，并设出直线AB的方程，再与抛物线

C的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.

(1)

点则切线方程为：y-；=：(x-D,由『广二『"XT)消去y并整理得：

2P2p2[x=2py

x2-px+p-\=0,依题意，A=p2-4(p-l)=0,解得p=2,

所以抛物线C的方程是f=4y.

(2)

设抛物线C上关于/对称的两点为人(%芳),8(々,必)，则设直线AB方程为：y=~x+t,

1

y=——x"Vt|

由『2消去y并整理得：丁+2工_今=0,则有A'=4+⑹>0,解得”-了，

d=4y4

X,+X2=-2,yl+y2=-i(x,+x2)+2t=2f+l,显然线段A3的中点(-lJ+g)在直线/上，

于是得,+(=-2+机，即有"机而"一!，因此，解得m>3，

224244

所以实数/〃的取值范围是小>：9.

4

【点睛】

结论点睛：抛物线f=2py(pw0)在点(看,各处的切线斜率％=微；

2

抛物线V=2Px(p*0)在点(普,%)(为丰0)处的切线斜率k=B.

2P%

55.(2022.山东日照•二模)已知抛物线匕：》2=2"(〃>0)过点V(4,4),。为坐标原点.

(1)求抛物线购的方程；

(2)直线/经过抛物线C1的焦点，且与抛物线C1相交于A,B两点，若弦A8的长等于6,求AOAB

的面积；

(3)抛物线C|上是否存在异于O,M的点N,使得经过O,M,N三点的圆C和抛物线G在

点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴/=”

⑵G

(3)存在，坐标为(一2,1)

【解析】

【分析】

(1)点〃坐标代入抛物线方程可得答案；

(2)设直.线/的方程/:y="+l,与抛物线方程联立，韦达定理代入=々|,

得到4优2+1)=6解得兀，求出原点。到直线，距离/，可得的面积；

't2A

(3)假设抛物线C|上存在点Nt,-,设经过O,M,N三点的圆的方程为

<4，

22

x+y+DX+Ey+F=(),代入三点坐标可得尸+4(E+4)f—16(E+8)=0①，求出抛物线C1在

点处的切线的斜率，直线NC的斜率，根据乘积为T可得/+2(E+4)/—4(E+8)=0

②，由①②消去E可得答案.

(1)

抛物线£:x2=2〃y(p>0)过点/(4,4),

P=2,抛物线G方程x?=4y.

(2)

设直线/的斜率为4,则/：丫=丘+1,

fy=kx+\

由。),=/，得f-46—4=0,

•.•直线/与抛物线G有两个交点4,B,所以A=16左2+16>0①,

.,.设A（%，x）,35，％）则可得玉+受=4%,x,x2=-4,

于是|AB|=>/1+41再一司=’（1+&2）［（王+々）2-4X,X2J

=J/+1J16&?+16=4（&2+1）=6,

由4①+1）=6②，

由①②解得％=土也，直线/的方程为丫=士4》+1,

原点O到直线/距离d=「1==显,

V4+23

△OA5的面积为S=-^^x6x—=布.

32

⑶

已知O,M的坐标分别为（。，0）,（4,4）,抛物线G方程犬=4），，

假设抛物线C上存在点N（z,?J（rxo且y4）,

使得经过O,M,N三点的圆C和抛物线G在点N处有相同的切线.

设经过。，M,N三点的圆的方程为Y+V+Dx+Ey+F：。，

F=0

则<4D+4E+F=—32,

\6tD+4rE+\6F=-tA-16r

整理得户+4（E+4）f-16（E+8）=0①，

•••函数《=y的导数为y=［,.•.抛物线G在点处的切线的斜率为:，

42<4J2

,经过O,M,N三点的圆C在点N［一1处的切线斜率为1，

I4J2

f_+E

.；”0,...直线NC的斜率存在二•圆心的坐标为

14--

2

即户+2（E+4）f-4（E+8）=0②，

Vr*0,由①②消去E,得一一6产+32=0,

即«-4）2（f+2）=0.：r4,：.t=-2,

故满足题设的点N存在，其坐标为（-2,1）.

56.（2022•山东临沂•二模）己知抛物线”：丫2=2〃武2>0）的焦点为「，抛物线”上的一点

2

M的横坐标为5,。为坐标原点，cosZOFM=--.

（1）求抛物线”的方程；

（2）若一直线经过抛物线H的焦点F,与抛物线H交于A,B两点，点C为直线x=-l上的动

点.

①求证：ZACB<-.

②是否存在这样的点C,使得AABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明

理由，

【答案】（1）抛物线，的方程为>2=4x；

（2）证明见解析；存在点C（-l,±8也），使得A4BC为正三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由条件列方程求参数。，由此可得抛物线4的方程；（2）设直线A8:x=/ny+l,

Aa，x）,8（w，%）,C（-l,〃），联立方程得关于y的表达式，结合韦达定理和向量瓦•丽的

表示方法，即可求证；可假设存在点C,设AB的中点为N,由立线和CN垂直关系求

出点N,由韦达定理和弦长公式求得弦IW,结合|CN|邛|A8|即可求解具体的加的值,

进而求解点C；

（1）

因为抛物线”的方程为y2=2px,M抛物线”上且的横坐标为5,

所以M的纵坐标为土JlOp,

当点M的坐标为（5,71而）时，过点M作MN_LOF,垂足为N,

因为cosNO尸M=-£所以COSNM6V=],所以tanNMFN=@

+八八MN/Op/Op75

vtan4MFN=——=x---由------=—

乂FN5_P_，所以5—22，

所以p+4A-10=0,所以（而一忘）（4+5忘）=0,又。>0

所以P=2,

同理当点M的坐标为（5,—J昉）时:P=2

所以抛物线H的方程为V=4x；

①设直线A8:x=，*,y+1,4（%,y）,8（町%），°（一1，〃），

[x=my+\.

由〈24，得/一4帆>一4=（），

[y=4x

则y+%=4刈，y跖=T，x\+%2=4疗+2,石%2=L

_〃）,

CA=（X+l,yCB=（x2+l,y2-n）

G4CB=X1X2+X+/+1+乂必一〃（凹+%）+〃？=（2〃?一〃）2>0,

______jr

所以cos55,国20,所以NAC8V5

②假设存在这样的点C,设AB的中点为N,由①知N（2加+1,2机）：

■：CN1AB,:.=-m,则〃=2〉+4m,则C（-l,2m3+4m）,

贝U|CN|=J（2疗+2y+（2加+2/n）2=2（/n2+l）府IT,而

IAB|=Jl+"Jy—%|=4（利-+1）,由|CN|=\AB|^,m=±\/2，所以存在点C（—1,±8^?）.

【点睛】

本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，由特殊

三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题

57.（2022•山东荷泽•二模）已知抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点为F,O为坐标原点，抛

物线E上不同的两点M,N只能同时满足下列三个条件中的两个：

①「M|+|RV|=|MV|；②|OM=|ON|=|〃N|=8。；③直线MN的方程为X=6p.

（1）问M,N两点只能满足哪两个条件（只写出序号，无需说明理由）？并求出抛物线E的

标准方程；

（2）如图，过尸的直线与抛物线E交于A,B两点，过A点的直线/与抛物线E的另一交点为

C,与x轴的交点为。，且|必|=|砌，求三角形ABC面积的最小值.

【答案】⑴②③，r=4%；

⑵16.

【解析】

【分析】

(1)分析3个条件，选择②③，再由③求出点M,N的坐标，结合②求出p值作答.

(2)设出直线AB的方程，与抛物线E的方程联立，由点A的横坐标表示点。，求出直线

AC方程，进而求得点C的坐标，建立三角形面积的函数关系，求其最小值作答.

(I)

抛物线E：V=2px的焦点由①知，点尸在线段MN上，由②知，AOMN为正三角

形，由③知，直线过点(6p,0),

显然①③矛盾，若是①②，令闻心/)，N&,.%)，则IMNi+^+P，由10Ml=|ON|得:

f；+s；=g+s；,

即片+2*=片+2M=储-2)(4+4+2p)=0,有，i=，2，又IOMRMNI,

于是有f：+2*=(4+p)2,整理得3彳+2回+/?=0,此等式不成立，即①@矛盾，依题意,

同时满足的条件为②③，

因直线MN的方程为x=6p,则不妨令"(6p,2>/Jp),则N(6p,-26p),即有|〃N|=46p，

而|MN|=86，则有P=2,此时10Ml=|0N|=86,即|。叫=|CW|=四7|=8。成立,

所以y2=4x.

(2)

[x=zny+1

显然直线AB不垂宜于)，轴，设A5:x="y+1,山2:消去x并整理得：

=4x

y2-4my-4=0,

设A(x“yJ,BQ"?),由抛物线的对称性，不妨令A点在x轴上方，即X>。，

7^2=-41=(»♦")=1，m=|/1B|=XI+X2+2=X1+—+2,

16%x\

由附=阀得：0(A,+2,0),则直线AO:y=-/(x-%-2),

由卜=一弓'(x-—2)整理;丁+工丫一”2=0,则有点c的纵坐标为-»-%,

"以4%%

于是得点C(4+玉+<•，一%,又y/1+m2=J1+(土与=匕土，

点C到A8距离

14+^+—+w(—+^)-1|/8上、「文（2+x+口,

XX__X..4x.—1

|4+玉+—+——（丁+芳）一||1+x,1%

Jl+1??]+EXX

山…扣如=扣+；+2）.黑（2+旧户黑（2+再+9

当且仅当6=：,即为=1时取"=”,

所以三角形A3C面积的最小值是16.

【点睛】

思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横（纵）截距、

图形上动点的横（纵）坐标为变量，建立函数关系求解作答.

58.（2022.山东枣庄•三模）已知双曲线C:：-3=l（a>08>0）的实轴长为2.点（4,-1）是

a~b

抛物线E:/=2py的准线与C的一个交点.

（1）求双曲线C和抛物线E的方程；

（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A,B.求△PAB面积的取值范围.

【答案】⑴C:Y_6y2=l,£:x2=4y

可奈+8）

【解析】

【分析】

（1）代入点（6,-1）结合双曲线。：捺-，=1（。>0/>0）的实轴长为2可得双曲线方程，根据

抛物线的准线方程可得抛物线方程；

（2）设直线AB方程为丫="+"，4（.乂）,3（电,%），根据导数的几何意义求得切线ARBP

的方程，联立可得户的坐标，再代入双曲线方程，结合面积表达式求解范围即可

（1）

由题，“=1,又点访-1）在双曲线上，故