糖6 人教版八年级下册第十七章勾股定理单元作业设计-2022.5.12

人教版八年级下册数学单元作业设计勾股定理教学信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学八年级第二学期人教版第十七章勾股定理单元教学内容：勾股定理是教科书八年级下册第十七章的内容。勾股定理及勾股定理的逆定理是几何中几个重要定理，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，及三角形三边一定数学关系可以证明此三角形是直角三角形。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理及其逆定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。单元教学目标与作业目标:一、教学目标知识目标：掌握勾股定理及其逆定理；用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题能力目标：树立数形结合的思想，分类讨论思想情感目标：了解勾股定理的历史，激发爱国主义思想，鼓励学生好好学习。体验教学之美，探究之趣。二、作业目标通过基础，拓展和实践创新题目掌握勾股定理及其逆定理；用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，树立数形结合的思想，分类讨论思想，并熟练运用。单元作业设计思路：初中数学学科的作业设计所要遵循的基本原则为：一要立足教材，课时作业设计充分体现单元课程内容的整体性。二要关联目标，建立起作业目标和学习目标的关联，以目标明确的作业设计保证达成单元学习目标。三要区分类型，既要体现作业形式的丰富多样，又要体现认知水平的递进发展，设计螺旋上升式单元作业。四要关注时长和难度，作业完成的时长往往取决于作业总量、作业本身的难易程度和学生自身的学习能力和水平。（二）课时信息序号教学内容课时1勾股定理-直角三角形边长数量关系及勾股定理的证明第1课时2勾股定理的应用第2课时3勾股定理的应用-在数轴上表示无理数第3课时4勾股定理的逆定理、互逆定理及逆命题第4课时5勾股定理逆定理的应用第5课时6复习总结第6课时单元作业内容第一课时作业作业类型分配时长作业内容参考答案设计意图题目来源基础类作业(10分钟)1.赵爽是如何证明勾股定理的?他用了什么方法?参考答案：割补法证明：大正方形可以看成边长为c的正方形，也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为(a-b)，S大正方形=1/2*ab*4+(a-b)2，同时也有S=c2，所以1/2*ab*4+(a-b)²=c2,整理得a²+b²=c²。设计意图：了解赵爽弦图证明勾股定理，了解割补法。题目来源：改编解答题在直角三角形ABC中，在直角三角形ABC中,∠C是直角，解答以下问题：（1）已知:b=6，c=10，求a；（2）已知:a=3，c=5，求b；（3）已知:a=9,c=15,求b；参考答案：解：画图(1)c²-b²=a²=10²-6²=8²；a=8;(2)c²-a²=b²=5²-3²=4²；b=4;(3)c²-a²=b²=15²-9²=12²；b=12;设计意图：考察直角三角形的边长性质和关系题目来源：改编拓展提升类作业（8分钟）1.在Rt△ABC中，∠C=90°。（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.参考答案：画图：解：设a为x；b为2x;(2x)²+x²=5²;则x=1；a=1解：30°所对的直角边是斜边的一半设a为x；c为2x;(2x)²-x²=15²;则x=5；a=5;c=10;设计意图：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.题目来源：改编实践活动类（三选一完成，时间不限）同学们组成小组，找一找，画一画，算一算。生活中哪里可以发现和用到我们所学的勾股定理呢？参考答案：现在你要为自家的长方形栅栏的相对角的定点加固板子，我们需要多长的木板才能满足固定需求呢？长2m,宽1.5m;=2.5m设计意图:让学生将勾股定理与生活实际相关联，有一双发现的眼将数学运用于生活。题目来源：改编2.课后练习，以小组为单位，亲自动手拼图，推演勾股定理的结论，然后在班上分享你推演的过程参考答案：略（逻辑通顺，能证实在直角三角形下，边长形成勾股数的关系即可满足做题需求，获得等级A。）设计意图：让学生自己动手证明勾股定理的相关结论，加深印象，做到之所以然。题目来源：改编3.搜集小能手，查找相关资料，了解勾股定理的历史文化，然后和大家分享学习。参考答案：略（分享谁发现发明勾股定理，勾股定理的基本故事，即可获得等级A。）设计意图：充分发挥自主学习的能力，搜集相关信息的能力，了解勾股定理的历史。题目来源：改编第二课时作业作业类型分配时长作业内容参考答案设计意图题目来源基础类作业（9分钟）填空题已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD长为_________.参考答案：CD=5画图：勾股定理：直角三角形ABC中，AB=5SABC=1/2*3*4=1/2*5*CD等面积法CD=5/12设计意图:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用。题目来源：改编2.如图，墙A处需要维修，A处距离墙脚C处8米，墙下是一条宽BC为6米的小河，现要架一架梯子维修A处的墙体，现有一架12米长的梯子，问这架梯子能否到达墙的A处?参考答案：解：由题意可知:AC=8，BC=6,所以AB==10;因为12>10，所以能到达A设计意图：数形结合，勾股定理简单的实际问题。题目来源：改编3.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处?参考答案：解:设AE=xkm，则BE=(25-x)km根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE²=BC2+BE2即:152+x2=102+(25-x)2∴x=10答:E站应建在离A站10km处。设计意图：勾股定理的实际应用，将其未知数方程相结合题目来源：改编拓展提升类作业（10分钟）如图,分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正三角形,其面积分别为S1、S2、S3请你确定S1、S2、S3之间的关系并说明理由。参考答案：解:S1=S2+S3,设BC=a,AC=6,AB=c,易知S1=c2,S2=a2,S3=b2,∴S2+S3=(a2+b2)=c2=S1,故S1=S2+S3,设计意图:由三角形的边长关系延伸证明面积关系。题目来源：改编2.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径.参考答案：解:如图,将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A'，连接A'B.则A'B即为最短路径长，A'D为底面周长的一半，所以A'D=5cm,由题意知,BD=12-3+A'E=12-3+AE=12-3+3=12(cm).故A'B===13(cm)，即最短路径长是13cm.设计意图：数形结合，立体转化平面，勾股定理勾股术的应用题目来源：改编实践活动类（时间不限）二选一同学们课下根据自己关于勾股定理的知识为主题，进行手抄报的制作，到时候比一比，看谁学的更好，做的更美观。参考答案：略（开放性答案，基本运用勾股定理的所学知识即可）设计意图：跨学课综合应用，将数学与美术艺术相结合，激发学生的创作兴趣题目来源：原创2.如图1，学校需要测量旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案，并与同学交流.参考答案：略（开放性答案，运用勾股定理的所学知识即可）设计意图：解决勾股定理的实际生活问题，与同学套路，有利于培养团队协作。题目来源：原创第三课时作业作业类型分配时长作业内容参考答案设计意图题目来源基础类作业（10分钟）利用勾股定理，在数轴上作出的点。参考答案：以原点为顶点,向原点的右边作一个长为3个单位、宽为1个单位的长方形,则这个长方形的对角线就是,再以原点为圆心,为半径画一条弧,这条弧与数轴的正半轴的交点所对应的数就是设计意图：能够利用勾股定理作出长度为无理数的线段，数形结合。题目来源：改编2.选择题如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：CAB=;AC=5;BC=设计意图：能够利用勾股定理求出各个边长，数形结合。题目来源：改编3.已知:如图,等边△ABC的边长是2。(1)求高AD的长；(2)求S△ABC。参考答案：做三角形的高AD，由等边三角形的性质；BD=1；∠B=600，勾股定理AD=面积为：2*1/2*=设计意图：非直角三角形图形下，转换考察直角三角形的性质,及三角形的面积考察，勾股定理的运用-无理数。题目来源：改编拓展提升类作业（10分钟）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，ED=2cm，求AC的长。参考答案：解：∵DE垂直平分AB∴AE=BE，∠BED=90°∵∠B=30°，BD=4cm∴BE===2∴AB=AE+BE=2+2=4又∵∠C=90°，∠B=30°∴AC=2设计意图：数形结合，考察直角三角形中，30度的锐角所对的边等于斜边的一半，勾股定理的综合运用题目来源：改编2.如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬8格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西爬3格，再折向北爬6格，这时发现B处有食物，于是便又向东爬1格到B处找到食物，如果图中每一个方格都是边长为1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程是多少?如果蚂蚁从A处沿直线AB到达B处，则可少爬多远的路程?参考答案：解:此时蚂蚁爬行的路程是:8+2+3+6+1=20(cm).若蚂蚁从A处沿直线AB到达B处;设由A向东6格处的点为C(如图所示)，易知△ABC为直角三角形，则=10(cm)，20-10=10(cm).则可少爬10cm.设计意图：数形结合，与表格相结合，勾股定理的综合运用题目来源：改编第四课时作业作业类型分配时长作业内容参考答案设计意图题目来源基础巩固类作业（12分钟）1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5参考答案：D设计意图：结合图形，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形题目来源：改编说出下面命题的逆命题，这些命题的逆命题是否成立？（1）两条直线平行，内错角相等。（2）全等三角形的对应角相等。参考答案：内错角相等，两条直线平行。成立对应角相等的两个三角形是全等三角形。不成立设计意图：考察勾股定理与逆定理，然后考察逆命题是否成立。题目来源：改编判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形；a=7,b=24,c=25a=,b=3,c=2参考答案：（1）解：∵a2+b2=72+242=625=252=c2，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．解：∵a2=b2+c2=13=9+4;∵3<<4∴a+b>c,a+c>b,b+c>a满足直角三角形条件，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．设计意图：考察勾股顶逆定理，三角形边长的数量关系对应的直角三角形题目来源：改编4.若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。参考答案：解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c；∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0；即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0∴则a=3，b=4，c=5；∴32+42=52，∴△ABC是直角三角形.设计意图：结合配平方，方程，综合考察边长数量关系，然后考察勾股定理逆定理题目来源：改编拓展提升类作业（5分钟）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S.参考答案：解：如图，连接AC，根据勾股定理，由直角△ACD可以求得斜边AC=15m，根据AC，BC，AB的长，求它们的平方，根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差S=S三角形ABC-S三角形ACD=1/2*AC*BC-1/2*CD*AD=1/2*15*36-1/2*9*12=270-54=216m2设计意图：结合图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,然后求面积题目来源：改编第五课时作业作业类型分配时长作业内容参考答案设计意图题目来源基础巩固类作业（8分钟）1.下列说法正确的有()①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形;②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形;④有一个角是直角的三角形是直角三角形。参考答案：①②③④设计意图：直角三角形的性质和勾股定理逆定理结合考察题目来源：改编2.单项选择下列命题的逆命题不正确的是()全等三角形的对应边相等B.相等的角是对顶角C.如果a=b,那么a2=b2D.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（2）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A、如果∠C-∠B=∠A、则△ABC是直角三角形，B、如果c2=b2-a2。则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。C、如果（c+a）（c-a）=b2，则△ABC是直角三角形，D、如果∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形参考答案：C;B设计意图：勾股定理的逆定理和逆命题使用题目来源：改编拓展提升类作业（12分钟）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=5，求四边形ABCD的面积。参考答案：∵AB2+BC2=82+62=102=AC2;∴△ABC是直角三角形；同理∵AD2+DC2=（5）2+（5）2=102=AC2;∴△ADC是直角三角形；∴S四边形ABCD=8*6*1/2+（5）2*1/2=24+25=49;设计意图：勾股定理的逆定理的综合运用题目来源：改编2.如图。某城市接到台风警报、在该市正南方向260km的B处有一台风中心。沿BC方向以15km/h的速度移动。城市A到BC的距离AD=100km,回答以下问题（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点。（2）在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响。假如在点D的工作人员早上6：00接到台风警报。台风开始影响到台风完毕影响要做预防工作，如此他们要在什么时间段内做预防工作。参考答案：解：（1）在Rt△ABD，中根据勾股定理，得BD===240km∴台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点、（2）∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响。∴BE=BD，DE=240-30=210km；BC=BD+CD=240+30=270km；∵台风速度为15km/h∴210÷15=14时。270÷15=18∵早上6、00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时。∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作。设计意图：数形结合，结合圆的相关知识，勾股定理的综合运用，与生活实际应用相结合，运用所学数学理论题目来源：改编第六课时作业作业类型分配时长作业内容参考答案设计意图题目来源复习巩固类作业（16分钟）1.选择题（1）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米（2）在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）A．108cm2B．90cm2C．180cm2D．54cm2参考答案：A；A设计意图：勾股定理和勾股逆定理的运用题目来源：改编填空题（1）直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．（2）在三角形ABC中，a,b,c分别为三边，给出下列各组条件；①∠A:∠B：∠C=3:4:5；②a:b:c=3:4:5;③∠A=1/2∠B=1/3∠C;其中，能判定三角形ABC是直角三角形的有____个参考答案：（1）3、4、5；（2）2设计意图：勾股定理和勾股逆定理的综合运用题目来源：改编如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点c与点E重合，折痕为AD，则CD等于（）参考答案：3解：∠C=900AB2=AC2+BC2=62+82=102;AC=AE=6;∠BED=900,设CD为x，勾股定理x2+42=(8-x)2,x=3=CD设计意图：勾股定理和勾股逆定理的综合运用，折叠问题题目来源：改编如图所示，一辆卡车装满货物后，高4m,宽2.8m,这辆卡车能通过横截面如图（上方为半圆）的隧道吗？参考答案：解：如图，作弦EF//AD,不妨设EF=2.8,OH⊥EF于H,连接OF，由OH⊥EF，