辽宁省沈阳市大南第二高级中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市大南第二高级中学2023年高三数学理下

学期期末试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知加6-8$0>1,则角6所在象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

参考答案：

B

2.设4是服从二项分布的随机变量，又E")=15,

45

D(^)=—

4,则界与P的值为()

3I3I

A.60,4B.60,4C.50,4D.50,4

参考答案：

B

3.设切，〃是两条不同的直线，。，口是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

(A)若且a-〃，则阳n(B)若m-a,"一"且mn,

则“一〃

(C)若“一夕,偷〃“且"一夕,则(D)若夕且加〃%则

allfl

参考答案：

【答案解析】B解析：A.直线格，力成角大小不确定；B.把洗，力分别看成平面°，产的

法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.

【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.

4.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需

该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4

位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为

()

21216

A.5B.25C.不

4

D.5

参考答案：

C

—+(1-：)3

5.复数1+1的虚部是()

5.53

—I

A.2B.2C.21D

3

.~2

参考答案：

B

略

6,设平面向量0=(L2),E=(-2J),若a/欣则|2。-必等于

(A)4(B)5(C)3也(D)4出

参考答案:

D

略

7.已知对任意实数X,有/（一劝=-/（*景-'）=«（©,且X＞0时,

外方或力＞。,则x＜0时（）

A.外力＞。或*）＞。B.外力＞。或©＜0

C.八功＜。或目＞0D八目＜0,或目＜0

参考答案:

B

8.定义在R上的偶函数/（X）满足：对丫电与4°，3）且2*马,

都有（X1-*,）［/区）-/（刍））＜0,则（）

A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)

c./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)

参考答案：

A

9.函数/（力2'+2T的图象关于_________________对

称.（）

A.坐标原点B.直线C.X轴D.

y轴

D

略

io.若函数/Q）的导函数在区间S*）上的图像关于直线x~亍对称，则函数尸=/（外

在区间S,W上的图象可能是

参考答案:

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.从1，2区4这4个整数中任意取3个不同的数作为二次函数J(x)=ax2+6x+c的系数,

皿Z

则使得2“(Z为整数集)的概率为.

参考答案：

1

2

略

2兀

12.在aABC中，AC=7,ZB=3,Z\ABC的面积S=4，则边AB的长为.

参考答案:

3或5

【考点】三角形中的几何计算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形.

2-

【分析】由，ZB=~,以及已知三角形的面积，利用三角形的面积公式求出AB?BC=15,

再利用余弦定理即可求出AB2+BC2=34,联立解出AB即可.

2-

【解答】解：:SA*4,ZB=3,

11立

Z.2AB?BC?sinB=4,即如?BC?"^'=4,

.,.AB?BC=15,①

AB?+BC2-AC?IAB?+BC2-49

由余弦定理知cosB=-2-AB-BC—,即_2=30,

/.AB2+BC2=34.②

联立①②，解得：AB=3或AB=5.

故答案为：3或5.

【点评】本题考查三角形中边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的

合理运用.

,16,八

y=x-4+----（X>-1）

13.已知函数.x+1，当x=a时，y取得

最小值b,贝1心+5=。

参考答案：

6

略

占

=Ma>>0)的左、右焦点分别为44，顶点WQb）到外的距离为

_3

4,直线*2”上存在点尸，使得缰，有为底角是30°的等腰三角形，则此椭圆方程

为.

参考答案：

-T-=1

167

15.连掷两.次骰子得到的点数分别为m和也若记向量*=0"3）与向量&=a-2）的夹角

为。，

则§为锐角的概率是.

参考答案：

1

6

试题分析：连掷两.次骰子得到的点数分别为•和同，共有6x6=36,其中满足向量

M—2n>0

一一4Z4

a=0"㈤与向量占=a-2).的夹角为锐角，即［”彳一2m,即缶㈤可能为

P„--.6=_1

GAJdXyiMiMt2M够)共6个基本事件，所以♦为锐角的概率是一祈一£故

1

填看.

考点：1.古典概型；2.平面向量的夹角.

JT

16.已知f(n)=10sin(nx)dx,若对于？GR,f(1)+f(2)+…+f(n)<|x+3!+1x

-1卜恒成立，则正整数n的最大值为一.

参考答案:

3

考点：函数恒成立问题；定积分.

专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用.

分析：先根据定积分计算出f(n),再根据绝对值的几何意义求出|x+3|+|x-的最小

值为4,继而得到n的最大值.

rrJT

1712

解答：解：f(n)=1fsin(nx)dx="ncosnx'0=-n(cosit-cosO)=n,

根据绝对值的几何意义，得到鼠+3|+|x-1]14,

•..对于？WR,f(1)+f(2)+…+f(n)V|x+3|+|x-1恒成立,

22222222

1+2+3+4+―+n=3+3+4++--+r)<4,

...正整数n的最大值为3,

故答案为：3.

点评：本题考查了定积分的计算以及绝对值的几何意义，以及函数恒成立的问题，属于

中档题.

17.在直角三角形480中，ZC=90°,47=4,则力54C=

参考答案：

16

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(1)设函数f(x)=|x-2|+|x+a,若关于x的不等式f(x)23在R上恒成立，求

实数a的取值范围；

空J

(2)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=l,求xyz的最小值.

参考答案：

【考点】绝对值三角不等式；基本不等式.

【分析】(1)关于X的不等式f(x)23在R上恒成立，等价于f(x)即可求实

数a的取值范围；

~+^~+~~=(x+2y+3z)

(2)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=l,xyzxyz,利用柯西不

1

等式，即可求xyz的最小值.

【解答】解：(1)f(x)=|x-2|+|x+a|>|x-2-x-a|=|a+2

,原命题等价于f(x)苗23,|a+2］》3,-5^a>l.

(2)由于x,y,z>0,所以

-(x+2y+3z)(—+-+-)

xyz

+V3zJ|-)2=(V3+2-h/3)2=16+873

2y_3z

J.2工

当且仅当与77,即x：y：z=3：V5：1时，等号成立.

xyz的最小值为16+8泥.

1

19.设函数f(x)=lnx-yax2-bx.

(1)当a=b=2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a=0,b=-l时，方程f(x)=mx在区间［e,+°°)内有两个不同的实数解，求实

数m的取值范围.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】(1)求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；

1nx1nx

(2)问题转化为只需m=l+x有两个实数解，令g(x)=1+x,(x>0),求出g

(x)的最值，从而求出m的范围即可.

11_1

【解答】解：(1)当a=b=2时，f(x)=lnx-Wx?-2x(x>0),

工工工(x+2)(x-1)

f'(x)=x-2x-2=2x,

易知f(x)在(0,1］上递增，在［1,+8)上递减，

_3

故f(x)的最大值为f(1)=-4.

(2)当a=0,b=-l时，f(x)=lnx+x,

由f(x)=mx,得lnx+x=mx,

1nx

又x>0,于是m=l+x,

要使方程f(x)=mx在区间［W,+8)内有两个不同的实数解，

Inx1

只需m=l+x区间［e,+8)内有两个不同的实数解，

-------2

令g(x)=1+x,(x>0),于是g'(x)=x,

由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e,

于是g(x)在区间［W,e］上是增函数，在区间［e,+8)上是减函数,

11

g(e)=1-e,g(e)=l+e,

1

故1-eWmVl+e.

__1___

20.已知向量3F(cosx,-1),b=(V3sinx,-2),函数f(x)=(a+b)•a-2.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)在aABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数.••的图象经过点

b、a、c成等差数列，且AB?AC=9,求a的值.

参考答案:

【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理.

【分析】(1)利用向量的数量积化简函数的解析式，利用函数的周期以及正弦函数的单

调区间求解即可.

(2)求出A,利用等差数列以及向量的数量积求出be,通过三角形的面积以及余弦定理

求解a即可.

【解答】解：f(x)=(a+b)'a-2

„1…我

I12.1介7_cos2x+-^-

=lal+a・b-2=22

--兀

(kEZ)得:

(1)最小正周期：2-由

k兀兀+^~(k€Z)

所以f(x)的单调递增区间为：&兀〒，及冗+7］缶€2)；

⑵由f(A)=sin(2A吟)总可得：2A吟干2k冗或哈+2k冗(k€Z)所以

又因为b,a,c成等差数列，所以2a=b+c,

———be

而，AB?AC=bccosA=2=9,bc=18,

2/222

1(b+c)2-a4a-a

cosA-1-1

22bc1-3612

21.已知等差数列｛a.｝的公差不为零，且as=5,a2.a5成等比数列

(I)求数列｛aj的通项公式：

(II)若数列圆｝满足E+2b?+4b：,+…+2”飞产a“求数列｛bj的通项公式.

参考答案:

(I)设等差数列的公差为d

(_2

3135-a2

由题意可得，a3=5

(aj+4d)=(a1+d)2

.a,+2d=5

••k1

a=i

解可得，[d=2

_n(n-1)d

...Snnal+2=n+n(n-1)=n2--------------6分

(II)•；bi+2bz+4b3+…+2n，'bn=an,

,nl

..bl+2b2+4b3+-+2-b„=a„,

n

b]+2b2+4b：s+・,'+2bn+i=aU4i,

两式相减可得，2'h=2

1-n

.-.bn+1=2

n=l时，bi=ai=l

'1,n=l

V'A,n>2

12n

6分

22.已知R4，期是抛物线C尸=