计算机图形学4

计算机图形学

ComputerGrophic/

第四章几何变换

4.1概述

1）几何变换的概念

只改变组成形体的几何元素的几何信息（大小、形状

及相对位置），而不改变拓扑信息（连线关系）的变换。

2）几何变换通常是用矩阵运算方法实现的，就是将

描述模型几何信息的点列坐标矩阵乘以某变换矩阵，

从而获得一组新的点列坐标。

点列坐标矩阵几何变换新点列坐标矩阵

<X1ylzl：^Xlylz]

X2y2z2X2y2z2

abc

^XnynznJxdef^Xnynzn)

Jmn)

数字化描述图形显示处理

模型图形

3.2二维几何变换

3.2.1二维几何变换的数学模型

1.平移变换

Y.mP'(x'y')

从点P［x,y］平移到点P，［x，,y，］n「7

=x+mP(x,y)

y'=y+n---------kX

2旋转变换

I一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。

X=pCOSOC

{y=psinex

xy-pcos(9+a)=pcosacos3-psinasin9=xcos3-ysin3

y'=psin(9+a)=psinacos9+pcosasin。=xsin9+ycos0

3比例J变换

Sx=Sy：均匀缩放。

Sx=Sy>1,放大

Sx=Sy<1,缩小

Sx不等于Sy时，沿坐标轴

方向伸展和压缩

3.2.2二维几何变换的矩阵表示

用一个2X2的矩阵表示一个点的变换：

X、y']=〔xy〕=（ax+cybx

ac'a°

<J

问题：

1）不能表示平移变换

2）坐标原点（0,0）不能进行变换

为了使所有的几何变换都统一用矩阵运算实现，坐标采

用齐次坐标。

齐次坐标就是一个n维矢量的(n+1)维矢量表示。

例如：二维坐标点P(x,y)的齐次坐标为：(h*x,h*y,h)。

[xy]»[hxhyh]x=hx/hy=hy/h

[xyz]—[hxhyhzh]x=hx/hy=hy/hz=hz/h

二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格

化的齐次坐标，即取H=l。因此(x,y)的规格化齐次坐标为

(x,y,l)o

齐次坐标的几何意义：

可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维

向量。

二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格

化的齐次坐标，即取H=l。因此(x,y)的规格化齐次坐标为

(x,y,1)o

齐次坐标的作用:

1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了

用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个

点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。

2,便于表示无穷远点。

例如：(x*H,y*H,H),令H等于0,

1）二维几何变换主要包括平移、旋转、变比、

对称、错切等变换。变换矩阵统一的格式：

abc

T2D=def

[ghi

2）用已给模型的点列坐标矩阵右乘变换矩阵

就可以得到变换后的新点列坐标矩阵。

口a、y工力

XIylabc

X2>21X2y21def

^Xn'yn'lJ(XnynIj

3）变换矩阵中各元素a、b、c、dh、I赋

以不同的值时，可以得到不同的变换。

（1）比例变换

Ts=

（x、y、1）=：

〈Xa'ya'l、Xaya1SxO0、

Xbyb'lXbyb10SyO

Xc、yc'lIXcyc1I001J

Sx:X方向的比例因子，Sx>l放大，Sx<l缩小。

Sy:Y方向的比例因子，Sy>l放大，SyVI缩小。

比例变换的参考点是坐标原点。

（2）旋转变换：

、CcosOsine0

r="sinecosO0

loo1J

x

、cosOsine0

x'y'1=xy1-sinecose0

JI0

x-cosO-ysinOx-sin0+y*cosO1

旋转变换一定是绕坐标原点旋转。逆时针转动，角度值X为正值,

顺时针转动角度值X为负值。

（3）平移变换:

YB'

(100]D'

Tt=o10

tmn1JCD

0X

Cl001

[X、y'1)=[yi〕o101x+my+n1〕

n1,

,、^

a、

ya1

Xb、1O(ayaV

100

Xe、yb'1Xbyb1〕

d010

c、yc'Xcyc11J

yd'bedyd1)n

m是X方向的平移位移，n是Y方向的平移位移。

(4)对称变换：

「100]

关于X轴的对称变换Tx=o-10

[001J

(x、y、「=1xy1]o-10=X-y1

I。°d

-10o]

关于Y轴的对称变换Ty=010

Lo01J

、、pio

x'y'i〕=1xyl〕oio=(・xy1〕

looiJ.

-100：

关于原点的对称变换T0=0-10

Lo01J

Goo、

[x'y'1]=[xy1〕o-io=t-x-yi

001

(5)矩阵变换的级联

Y

A(Xa,Ya)

绕任意点旋转：

CD

-------------------►X

图中矩形ABCD绕顶点A逆时针旋转0角0

T=TtXTrXTf

<

100cos0sin。0100

010sinOcos60010

uxa-xb001、xaxb1J

关于任意直线对称:

T=TtXTrXTxXTrXTC

厂

1o0cosa-sina01110"hcosa-sina0

010sinacosa00-10-sinacosa0

1J

uxe-xelo01J100[I。01J2<xex"eJ

3.3三维几何变换

1）三维模型的几何变换矩阵表示形式:

3X3子矩阵使形体3义1子矩阵使形

产生比例、旋转、对体产生透视变换

称、错切等线性变换

1mn

1X3子矩阵使1XI子矩阵使形

形体产生平移变换体产生总变比变换

Y

2）基本变换

（1）平移变换

1000

10

T3T=00

0010

<TxTyTz1J

C1o0

[X、y、z、1]=(xyz1]0100

0010X+Txy+Tyz+Tz1

<TxTyTzlJ

CXIylzlr100

Xl'yl'zl'l0、

X2'y2'z2'lX2y2z210100

0010

^X8'y8'z8'lJ(X8y8z81J<TxTyTz1J

(2)比例变换

Sx0001000

T3S=0Sy00或T3S=0100

00Sz00010

I。001I。00sj

Sx00o'

=

lx、y、z'1][xyz1]0Sy00=x-Sxy-SyZ-Sz1

00SzO-/

I。ooJ

相对于非原点的参考点A(xa,ya,za)作比例变换，其变换过程

分二步完成：

平移.变比sx,sy,sz

Ts=Tt-T3sTf

(3)旋转变换

绕X轴变换

空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不

变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。

y'=pcos(a+0)=y*cos0-z*sin0

z'=psin(a+0)=y*sin0+z*cos0

用矩阵形式表示为:

1000

0cos0sin00

£y'11]=[xyz1

0-sin0cos00

0001

绕X坐标轴旋转。角的三维旋转变换矩阵是:

1000

Trx=0cos。sin00

0-sin0cos00

0001

绕Y轴旋转

此时，Y坐标不变，X,Z坐标相应变化。

x'=psin(a+0)=x*cosO+z*sinO

y-y

z'=pcos(a+0)=z*cos0-x*sin0

用矩阵形式表示为:

cos00-sin夕0

0100

国yzU=[xyz1]

sin00cos00

0001

绕Y坐标轴旋转。角的三维旋转变换矩阵是:

cose0-sine0、

Try=0100

sine0cosO0

I0001J

绕Z轴旋转

此时，Z坐标不变，X,Y坐标相应变化。

x'=pcos(a+0)=x^cosO-y*sin。

y'=psin(a+0)=x*sin8+ywcos0

i?=z

用矩阵形式表示为:

cos6sin000

-sin0cos000

X2xyz1]

0010

0001

绕z坐标轴旋转。角的三维旋转变换矩阵是:

cosOsine00

-sinecosO00

0010

000

组合变换：

空间一点绕空间任一直线旋转的旋转变换。要通过修几

个基本的变换级联起来，得到该组合变换。

假定空间任一直线的方向矢量分别为：（l,m,n）,并经过原点

Y

X

能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换?

ON绕Z轴旋转62至》XOZ平面上，然后再绕Y轴旋转91,即

可与Z轴重合。

这样，空间任一点绕ON轴旋转的变换过程如下:

1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合；

2）然后使点绕Z轴旋转。角；

3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回到原来的位置。

假设，绕Z轴旋转的变换矩阵为T1

绕Y轴旋转的变换矩阵为T2

绕Z轴旋转。的变换矩阵为T3

绕Y轴旋转的变换矩阵为T4

绕Z轴旋转。2的变换矩阵为T5

则总体变换矩阵为：

T=T]*T2*T3*T4*T5

由上推导可看出，只要能求出61、62的值，即可通

过上式获得绕ON轴的变换矩阵。

由于矢量(001)绕Y轴旋转01,再绕Z轴旋转

02即可与ON轴重合。即：

cos0-sin0cos02sin200

0100-sin3cosg00

mn1]=[0011]

sin40cosqo0010

00010001

[1mn1]=[sin01cos02sin01sin02cos011]

1=sin01cos02

m=sin01sin02

n=cos01

从而通过上式即可得到e1、e2的值。

问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如何计算

3.4三维形体的投影变换

投影变换：将形体的三维模型变为二维图形表示的过程称为投影变换

投影的分类：

「正投影（三视图）

「正平行投影T

正等测投影（三轴变形系数相等）

正轴测投影正二测投影（两轴向变形相等）

厂平行投影

4正三测投影（三轴变形系数各不相同）

斜等测投影（三轴都不缩短，但一根轴倾斜）

斜平行投影

斜二测投影（一根轴倾斜，且缩短为1/2）

灭占

r一点透视投影

/〃

///

透视投影I二点透视投影、、///

//

三点透视投影0,

3.4.1正投影

多面正投影变换可视为将形体的坐标分别沿相应坐标轴方向压缩，使

其坐标值为o

z

Z

Xyw

X

0

yyh

沿x方向压缩沿Y方向压缩沿Z方向压缩

000100100

010

0100Tyy=Tyz=

001000

0001000

正面投影（主视图）

正面投影是将立体向V面投

影得到的，投影结果为：

X'=x+tx

y9=0

z'=z+tz

为将点（xyz）变换为（X，y

面投影变换矩阵

10001000

、〕=〔0000000

[x'yz'1xyz1]00100o10

000tx0tz

水平投影（俯视图）

先修立体向H面作正投影，此时Z坐标取0;

然后使水平投影面绕X轴旋转-90,使与正投影面

处于同一平面；

最后让图形沿Z轴平移-tz,使水平投影与正投影

拉开一定距离。

1o0r「i。°

'y'z'l〕=1xyzl〕°10Q0cos90sin90

00000-sin90cos90

001JI。00

侧面投影（左视图）

先将立体向W面作正投影（乂坐标取为0）;

然后绕Z轴旋转90,使与V面处与同一平面；

最后使图形沿X轴负向平移一个距离-tx,使正面投

影和侧面投影保持一个距离。

000ocos90sin900

‘y'z'1〕=1xyz1]0100-sin90cos900

0010001

000000

3.4.2正轴测投影

正轴测投影的形成过程如下：

►将空间一立体绕某一坐标轴正向旋转6角；（取Z轴）

►然后再绕另一坐标轴反向旋转巾角；（取X轴）

►最后向包含这两个坐标轴的平面正投影。（取XOZ平

面）

Z

正轴测投影变换矩阵的一般形式:

cos0sin000~-1000~-1000

-sin8cos0000cos(-(/))sin(-。)00000

00100-sin(-°)cos(-°)00010

000100010001

绕Z轴旋转e角绕X轴旋转q＞角向XOZ面投影

cos60-sin£sin。0

-sin60-cos<9sin(/)0

00cos。0

0001

当0=45°，q>=35。16,时，得到正等测轴测投影

<0.7070-0.4080、

-0.7070-0.4080

正等测

T000.8160

0001

当8=20。42，，中=19。28,时，得到正二测轴测投影

厂0.9350-0.1180、

-0.3540-0.3120

正二测

T000.9430

0001

3.4.3透视投影变换

Y

1）单点透视

P

O

Qw（居兀ZD

Xs

Qs（4，4）

Z2

7一N

乙乙

利用几何关系可得:21■内

——N»w

Nz—N]

—N/—N»

若令用户坐标系（屏幕坐标）的原点在。，则Z1=O,上式可简化为:

223

./—N卬-X=

工wN叩

名—%9

Ys=•上

2r--w1一N“

若Z2f8,为平行投影，Xs=%，%=%,结论显然正确

上述变换若用矩阵形式可写为:

10001000

01000100

[xYZ\]=\xYZ

LsssJLwww0010000

Z2

00010001

XwYw

Z2」

—01

13

Zz

若r=-〃Z2,则主灭点在Z轴上Z="处，此时,与xy轴平行的线段经透视

投影后仍平行于右，右轴

与此类似，若主灭点在Y轴或1轴上，变换矩阵可分别写为:

1oo01F1000

010q0000

00100010

0ooijLO001

100P0000

01000100

00100010

00010001

2）两点透视

在三维变换矩阵第4列的3x1子阵中，如果有两个非零元素，即得到二

点透视。设一个主灭点在X轴上X=1/T处，另一个主灭点在Z轴的Z

9f9

处，画面为xoyo则透视的投影变换矩阵为：

100X?cosg0—sing01000

010001000100

0017sin60cos300000

000100010001

轴旋转的矩阵，它使轴平行于屏幕画面，并使画

其中T2为物体绕YY

面与原坐标面成q角

例：有一个单位立方体MC6,其顶点为4通,（2,4瓦月6珥（如图示）。

选p=-0.25,

A(0,-l,0)

B(0,-l,l)

C(0,-2,1)

D(0,-2,0)

E(l,-l,0)

F(l,-l,l)

G(l,-2,1)

0)

0-1010-1o1

0-111-0.59-1.18o1

0-2110.86600-0.25-0.59-2.3601

0-20101000-201

M-T

CKo1-101-0.500-0.151.15-1.3301

1-11100010.61-1.6701

1-211