全国适用冲刺重点高中中考数学压轴题型突破题型合集三

题库：几何图形操作变化型问题

类型一折叠问题

★1.将一个矩形纸片A3CQ放置到平面直角坐标系中，点A、8恰好落在工

轴的正、负半轴上，若将该纸片沿Ab折叠，点3恰好落在y轴上的点E处,

设04:1.

(1)如图①，若03=1,则点b的坐标为

(2)如图②，若03=2,求点F的坐标;

⑶若08=〃,

第1题图

解：⑴(1,¥)

【解法提示】由折叠的性质可知4E=A3=2,NE4尸-：0A=l,

AE=2,NAOE=90°,AZAEO=30°,AZEAO=60°,：.ZFAB=3Q°,：.BF

=ABtanZMB=则点F的坐标为(1,蒋3.

⑵如解图，作加_Ly轴于点M，

：.ZAEF=ZABF=90°,月0J_y轴,

.NAE0+NFEM=90°,ZFEM+ZEFM=9G0,

:.AAEO=ZEFM,

.iAO1

「sinNAEO=布二Q,

第1题解图

sinZEFM=g.

设EM=%,贝!JE尸=3%,

由勾股定理得Mb=2mx,0E=2&

-：OB=2,

：.2吸x=2,

解得光=孚，

:.OM=OE-EM=

.・点尸的坐标为（2,平）；

n2+n

（3）（〃，/,）•

y/+2〃

【解法提示】如解图，作FMLy轴于点M,

同理NAEO=ZEFM,

AO_1

Vsin^AEO

A£??4-1

.,.sinZEFM=-------

/?+1

设=贝!JE/=(〃+1)%,

由勾股定理得MF=1/+2nx,OE-4+2H,

'.'OB-n,

解得％=In

\n2+2n

n+n

二点尸的坐标为5，I).

yjn2+2n

★2.如图,将一个正方形纸片AOC。放置在平面直角坐标系中，点A(0,

4),点0(0,0),点。在第一象限，点P为正方形AD边上的一点(不与点人

点D重合)，将正方形纸片折叠，使点0落在点。处，点C落在点G处，PG

交0c于点"，折痕为ER连接OP,O”.设P点的横坐标为九

⑴若NAPO=60。,求NOPG的大小；

(2)当点尸在边A。上移动时，的周长/是否发生变化？若变化，用

含m的式子表示/;若不变化，求出周长/;

(3)设四边形MG尸的面积为5,当S取得最小值时，求点尸的坐标(直接写

出结果即可).

第2题图

解：(1)二.折叠正方形纸片，使点O落在点P处，点C落在点G处，

：.APOC=ZOPG,

.・四边形AOCQ是正方形，

：.AD\\OC,

:.^APO=ZPOC,

：.^APO=ZOPG,

•.NAPO=60°,

••.NOPG=60。；

(2)A尸。”的周长不发生变化，

理由：如解图①，过点O作。QLPG,垂足为点。，则ND4O=NPQO=

90°.

第2题解图①

由(3)知N4P0二ZOPG,

又OP=OP,

「.△AO尸也△QOP,

:.AP=QP,AO=QO,

：AO=OC,

：.OC=OQ,

■：^OCD=ZOQH=9Q°,OH=OH,

：.CH=QH,

:.^PDH的周长l=PD+DH+PH=PD+DH+PQ+QH=PD+PQ+DH+

QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=S,

・•.△PDH的周长Z不发生变化，周长Z为定值8；

(3)当S取得最小值时，点尸的坐标为(2,4).

【解法提示】如解图②，过点尸作于点M,设E尸与0P交于点

N,

第2题解图②

由折叠的性质知^EON与AEPN关于直线对称,

.,aEONeAEPN,

：.ON=PN,EP=EO,EN±PO,

:^OAP=ZENO,ZAOP=ZNOE,

."POAsdEON,

POPAOA

,EO~EN~ON山’

设PA=x,

,.点A(0,4),

：.OA=4,

：.OP=弋05+出2=/6+/,

：.0N=goP=16+P

将。P,ON代入①式得，OE=PE=

"EFM+ZOEN=90°,

NAOP+ZOEN=90°,

."EFM=.ZAOP,

在^E尸A/和4P.OA中，

ZEFM:ZAOP

IFM=OA,

<ZOAP=ZEMF

.,.△EFM^APOA(ASA),

.'.EM=PA=x,

:.FG=CF=OM=OE-EM=

1(16+x2)-x=^x2-x+2,

+0£>0C=；；&2%+2+1(16+%2)]X4=

■S=S梯形EFGP=S梯形OCFE=o

-2)2+6,

，当％=2时，S最小,

即AP=2,

.•点。的坐标是(2,4).

★3.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCZ)(AQ>AB),将纸片折叠一次，

使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别

连接AF和CE.

⑴求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若AE=10cm,△ARF的面积为24cm2,求△AB厂的周长；

(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP?若存在，请说明点P

的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

第3题图

(1)证明：由题意可知04=。。，EFA.AO,

■：AD\\BC,

:.Z.XEO=ACFO,/EAO=ZFCO,

：.^AOE^^COF(AAS),

:.AE=CF,

又,.,AE〃CR

二•四边形AECb是平行四边形，

由图形折叠的性质可知，ACLEF,

••・四边形AECV是菱形；

⑵解：•四边形AECb是菱形，

.'.AF=AE=10cm,

设A3=a,BF=b,

“ABF的面积为24cm2,

.'.a2+h2=100,ah=48,

.'.(a+力2=196,

：.a+b=14^a+h=-14(不合题意，舍去)，

:.^ABF的周长为14+10=24cm；

(3)解：存在，如解图，过点£作8。的垂线，交AC于点P,点尸就是符

合条件的点；

证明：•.•NAEP=NAOE=90。，ZEAO=ZEAO,

••.△AOES/XAER

,AE_AO

一丽二而

:.AE^=AOAP,

•••四边形4E6是菱形，

二.AO=；AC,

:.AE^=^AC-AP,

：.2AE2=ACAP.

第3题解图

★4.如图①，已知△ABC中，ZC=90°,AC=6,点E,尸分别在

AC,3c上，将△ABC沿历折叠，点C落在点。处，设△取＞/与四边形ABFE

重叠部分面积为y，CT长为x.

⑴如图②，EF//AB,CF=4时,试求y的值;

⑵当"〃A3时，试求y与x的函数关系式，并求x为何值时），的值最大;

（3）如图③，当CF=4,DF_LBC时，求y的值.

解：（1）如解图①，连接。，交EF于点H

第4题解图①

VCF=4,BC=8,

AC^BC

CD=-rs—=4.8,

:.BF=4,/In

■：EF\\AB,

：.EF=^AB=5,CH=DH=^CD=2A,

.,.y=1X£TX£)//=^X5X2.4=6；

(2)①当0<%W4时，如解图②，作CMLAB交AB于点M,则CM必过点

D,

第4题解图②

由(1)知CM=4.8,

：EF\\AB,

.CNCFEF

-CM=BC=AB,

.,.CN=0.6%,EF=^x,

-'-y=S、DEF-S^CEF-^xEFxCN-；x±x0.6x=

3

••当X=4时，ymax=gx4~=6；

②当4<%W8时，如解图③,

c

AC'W"/NB

T)

第4题解图③

过点。作CML4B交A3于点M,过点/作硒，A3交A3于点N,连接

ED,FD,分别交A8于点G,/,

.BFFN

''BC=CM,

,.'CF=x,

:.BF=8-%,

由⑴有，CM=4.8,

S-xFN

•'--8-=48,

.JN=0.6(8-x),

:DH=CH=CM-HM=CM-FN=4.8-0.6(8-x)=0.6x,

DM=DH-MH=DH-FN=0.6x-0.6(8-%)=1.2%-4.8,

•：EF\\AB,

,EF_CH_EF0.6%

-AB=CM,即诃

5

：.EF=~^x,

：EF\\AB,

,DMGI

,'DH=EF,

1.2x-4.8QI

’06%"丁'

不

5

.'.y=；(G/+EF)xFN=^x；|(x-4)+，］x0.6(8-x)=-1(%-T~)2+8,

••・当二!x八—-—3g口v1l-，yvmax--5.

⑶如解图④，在CB上取一点日使C"=QM,作NCHG=NQMN,

C

第4题解图④

在Rt」3C中，AC=6,3c=8,

„AC63

••tanzB=BC=8=?

在中，DF1BC,BF二BC-CF=4,ZB+ZBMF=90°,

nFM=FM3.e,.

.,.tanZB='BKFF~4A~4~••尸M=3,

：.CH=DM=\,

.2CHG=ZDMN,ZBMF=ZDMN,

；ZCHG=/BMF,'：ZB+ZBMF=90°,

•：AB+ZCHG=90°,ZCHG+ZCGH=90°,

：.^B=ZCGH,

CH344

在RQ//CG中，ta.nZ.CGH=-tanZB=7,:.CG二qxCH二Q,

CCJ433

,.ZBFD=90°,

由折叠有ZCFE=ZDFE=45°,ACE=CF,

1

-X

-''y=S四边形EFMN=S&DEF-S&DMN=S&CEF-S^CHG=~^CE^CF-]XCHXCG2

一1,422

4x4-2Xlx3=^--

★5.将边长为8cm的正方形纸片4BCQ沿EG折叠（折痕EG分别与A3、

DC交于点E、G）,使点8落在4）边上的点/处，FN与DC交于点M,连接

BF与EG交于点P.

第5题图

（1）当点尸与AQ的中点重合时（如图①）；

①AAE/的边AE=cm,EF=cm,线段EG与3厂的大

小关系是EG3F；（域＞"、“二”或V”）

②求△FDM的周长.

（2）当点尸在A。边上除点A,D外的任意位置时（如图②）；

①试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结

论；

②当点P在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？

解：（1）①A£=3cm,EF=5cm；EG=BF,

设AE=%,则£77=8-x,AF=4,NA=90°,42+x2=（8-x）2,解得％=3.

.,.AE=3cm,EF=5cm,EG=BF；

②如解图①，•••NM//E=90。，

"DFM+ZAFE=9Q°,

又ZA=ZD=90°,ZAFE=ZDMF,

:.^AEF^/\DFM,

.EFAEAF

,TM=DF=DM,

又•.•AE=3,AF=DF=4,EF=5,

.•磊解得加=与,就,解得。M=与

第5题解图

.(2)①尸G=BF不会发生变化，

证明：如解图②，•••8、/关于GE对称，

・•.BFLEG于点P,过G作GK_LAB于点K,

：ZFBE=ZKGE,

在正方形ABCD中，GK=BC=AB,NA=NEKG=90。,

：QAFB会△KEG(AAS),

:.EG=BF；

②如解图②，设AF=%,EF=8-AE,则f+A序=(8-AE)2,

"AFBmAKEG,

:.AF=EK=x,AK=AE+EK=AF+AE=4+x,

AE+DGi111

S------2----x8=2x8(AE+AK)-4x(4-+4-^x2+%)=-产+4JC+

32,

S=-声-守+40,(0<x<8),

当％=4,即尸与AQ的中点重合时，S最大=40.

类型二旋转问题

★1.在RNA8C中，AB=BC=5,N3=90。，将一块等腰直角三角板的直

角顶点放在斜边AC的中点。处，三角板的两直角边分别交AB、BC的延长线

于反尸两点，如图①.

⑴求证：△EOB^/XFOC；

(2)将等腰直角三角板绕直角顶点O顺时针旋转，三角板的两直角边分别交

AB、BC于E、/两点，如图②，贝必0尸。能否成为等腰直角三角形？若能，直

接写出△ORS是等腰直角三角形时8尸的长；若不能，请说明理由；

(3)若将三角板的直角顶点移动到点。处，两直角边分别交A3、BC于E、

尸两点，如图③，若僚=/请求出出的长.

图①图②图③

第1题图

⑴证明：由题知，△A8C和△OE77均为等腰直角三角形，。为AC.中点,

:.^BOC=ZEOF=90°,OB=OC,OE=OF,

•."03+NCOE=90。，ZFOC+ZCOE=90°,

:.^EOB=ZFOC.

在^EOB和4尸OC中，

'OB=OC

<ZEOB=ZFOC,

<OE=OF

•••△EO30△尸OC(SAS)；

⑵解：△OFC能成为等腰直角三角形，止匕时3/二楙或0；

【解法提示】•「△ABC为等腰直角三角形，

.-.ZACB=45°.

①当CKZOFC=90°,时

•.ZABC=9O°,

：.OF\\AB,

又：。为AC的中点，

・•.OF为△A3c的中位线，

.J为3c的中点，

「.△0”是等腰直角三角形，

：AB=BC=5,

5

:.BF=3；

②当0/二。。时，点尸与点B重合，此时△。尸C为等腰直角三角形，

：.BF=0.

(3)解：如解图，过点尸作PML48,垂足为〃，作PNJ_3C,垂足为N,

"EPM+/EPN=ZEPN+ZFPN=90°,

；ZEPM=/FPN,

又ZEMP=ZFNP=90°,

PMPE

."PMEsAPNF,=

rlNrr

•.•△ABC为等腰直角三角形，

・•・△4PM和4PCN均为等腰直角三角形，

.SMsMPCN,

AMAP

,丽二正’

A

第4题解图

'：AM=PM,

,PMAP

…丽二定’

,PA__PE

'~PC=~PF,

,PE1

~PF=y

__R4_1

,~pc=y

.'.PA=^AC,

：AB=BC=5,

「.AC=5娘,

••外=%c=尊

★2.已知RaA3c中，ZACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45。，半径

长等于C4的扇形C£尸绕点C旋转，直线C£、C尸分别与直线A3交于点M、

N.

⑴当扇形绕点C在NAC3的内部旋转时，如图①，求证：=

+3N2；

思路点拨：考虑mV2=AM2+B用符合勾股定理的形式，需转化为在直角三

角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得^DCM,连DN,只需证DN二

BN,NMQN=90。就可以了.

请你完成证明过程；

(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否

仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

第2题图

⑴证明：将△ACM沿直线CE对折，得△QCM,连接QM如解图①,

第2题解图①

则4DCM^AACM.

有CD=C4,DM=AM,4DCM=/ACM,^CDM=ZA.

：CA=CB,：.CD=CB,

■：Z.DCN=ZECF-ZZ)CM=45°-ZACM,

乙BCN二ZACB-ZECF-ZACM=90°-45°-ZACM=45°-ZACM,

"DCN=ZBCN.

又,：CN=CN,

「.△CON也△CBN.

:.DN=BN,ZCDN=ZB.

；ZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90°.

.•.在RtdMQN中，由勾股定理，

得MUD^+DI^,gpMN2=AM2+BN2；

⑵关系式MN2=ANP+BM仍然成立.

证明：将△ACM沿直线CE对折，得AGCM,连接GN,如解图②，

第2题解图②

则4GCM^AACM.

：.CG=CA,GM=AM,

NGCM=/ACM,NCGM=/CAM.

：CA=CB,

:.CG=CB.

"GCN=ZGCM+ZECF=zGCM+45°,

乙BCN=ZACB-/ACN=90°-(ZECF-NACM)=45°+NACM,

.•.NGCN=ZBCN.

又,：CN=CN,

「.△CGN之△CBN.

••.GN=BN,ZCGN=Z5=45°,ZCGM=ZCAM=1800-ZCAB=135°,

:.Z.MGN=ZCGM-ZCGN=135°-45°=90°.

•・在Rt^MGN中，由勾股定理，

彳导MN1=GM2+GM,即MTV2=AM2+BN2.

4

★3.如图，在△ABC中，AB=BC=10,tanNA8C=点P是边3c上的

一点，M是线段AP上一点，线段PM绕点P顺时针旋转90。得线段PN,设BP

=t.

(1)如图①，当点尸在点3,点M是AP中点时，试求AN的长；

(2)如图②，当喘■时，

①求点N到BC边的距离(用含t的代数式表示);

②当点P从点B运动至点C时，试求点N运动路径的长.

AA

解：(1)，.,在RtMBN中，ZABN=90°,AB=10,

：.BN=BM=^AB=5,

.，AN川IO?+52=54;

(2)①(I)当0<W6时(如图①)，

如解图：过点A作AE1BC于点E,过点N作NF1BC于点F,

AE4

,.tanzAfiC=设A£=4%,贝［JBE=3%,

£)£SJ

在RQ4BE中，ZAEB=90°,

.'.AB1=AE2+BE1,102=(3%)2+(4%>,

解彳导：x=2,.•.AE=8,BE=6

当0WO6时.

■：^AEP=ZPFN=90°,4APE+/FPN=9。。,^APF+ZPAE=9Q°,

:.^PAE=ZFPN,

「.△APESAPNF,

,•-P--M-_1

•MA一3，

,PF_FN_PN_1_

-AE=~PE=AP=4,

131

-z6=-^

4x(-2-4

(II)当6«0时,

113

同理可得：FN=a（t-6）=不-］；

②如图2点N的运动路径是一条线段,

第4题解图②

3

当p与。重合时，FN=QPF=2,

当P与C重合时，F'N'=1,CF'=2,

・；点N的路径长NN'=1102+（1+|）2=

★4.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边A3在射线OM上，且。4

=6,点。是射线。M上的动点，当点。不与点A重合时，将△AC。绕点C逆

时针方向旋转60。得到△BCE,连接DE.

⑴如图①，猜想：△CDE的形状是—三角形.

(2)设。。二九

①当6＜加＜10时，△3DE周长是否存在最小值？若存在，求出△8DE周长

的最小值；若不存在，请说明理由.

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值;

若不存在，请说明理由.

图①图②

第4题图

解：⑴等边；

［解法提示］:二,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到△BCE,

.,.ZDCE=60°,=."CDE是等边三角形；

(2)①存在，当6〈机＜10时，

由旋转的性质得，BE=AD,

：.C〉DBE—BE+DB+DE—AB+DE—4+DE,

由(1)知，是等边三角形，

：.DE=CD,

..(△DBE—CD+4,

由点到直线垂线段最短可知，当CQJ_AB时，△BQE的周长最小,

此时，CD=2小,

・•.△BDE的最小周长=CQ+4=2小+4；

②存在，当m=2或14时，以。、E、B为顶点的三角形是直角三解形,;

【解法提示】：I•••当点。与点8重合时，D、&E不能构成三角形，

二•当点。与点3重合时，不符合题意，

【当0Wm<6时，由旋转可知NC8E=120°,

.-.ZABE=60°,NBDE<60°,

••若/BED=90。,

由(1)可知，△CDE是等边三角形，

/.ZDEC=60°,

..ZCEB=30°,

：Z.CEB=ZCDA,

.*.ZCDA=30°,

•.ZCAB=60°,

：.^ACD=ZADC=30°,

:.DA=CA=4,

：.OD=OA-DA=6-4=2,

.,.m=2；

HI当6<zn<10时，由/DBE=120°>90°

,此时不存在；

IV当机>10时，由旋转性质可知/C8E=60。，...NDBE=60。，

又由⑴知NCQE=60。，

"BDE=ZCDE+ZBDC=60°+ZBDC,

・N8DC>0°,

"BDE>60°,

.•若NBDE=90。,

；ZBCD=ZBDC=30°,

：.BD=BC=4,

:.OD=\4,

••ITL—14,

综上所述：当相二2或14时，以。、E、B为顶点的三角形是直角三角形.

★5.如图①，在口A8CQ中，48=10cm,BC=4cm,ZBCD=120°,CE

平分/BCD交AB于点E点P从A点出发，沿AB方向以lcm/s的速度运动，

连接“，将△PCE绕点。逆时针旋转60。，使CE与。?重合，得到△QC3,

连接PQ.

(1)求证：△PCQ是等边三角形；

(2)如图②，当点P在线段£8上运动时，△P8Q的周长是否存在最小值？

若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；

(3)如图③，当点P在射线4M上运动时，是否存在以点P、B、。为顶点的

直角三角形？若存在，求出此时/的值；若不存在，请说明理由.

DCDC

图①图②

：.CP=CQ

•：APCQ=60°,

・•.△PCQ为等边三角形；

⑵解：存在.

平分N8CQ,

.-.ZBCE=60°,

•.,在口ABCD中，

：.AB\\CD,

：.^ABC=180°-120°=60°,

.•.△3CE为等边三角形，

:.BE=CB=4,

•・•△PC£旋转得到^QCB,

.2PCE24QCB,

:.EP=BQ,

-C^PBQ—PB+BQ+PQ

=PB+EP+PQ

=BE+PQ

=4+CP.

•••CP_LAB时，△P3Q周长最小，

当CP±AB时，CP=BCsin60°=2小，

・••△P3Q周长最小为4+23；

⑶存在①当点B与点尸重合时，P,B,。不能构成三角形.

②当0WX6时，由旋转可知，

ZCPE=ZCQB,

Z.CPQ=ZCPB+NBPQ=60°,

贝［J：ZBPQ+ZCQB=60°,

又：ZQPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=\S00,

：.ZPQC=180°-60°-60°=60°,

••.NQBP=60°,ZBPQ<60°,

尸Q3可能为直角，若NPQ3=90。，

由(1)知，△PC。为等边三角形，

：.^PBQ=60°,ZCQB=30°,

'：ZCQB=ZCPB,

:.^CPB=30°,

•.ZCEB=60°,

:.APCE=ZCPB=30°,

：.PE=CE=4,

:.AP=AB-BE-EP=10-4-4=2,

.'.t=27=2s

③当6<Y10时，由NP3Q=120o>90。，所以不存在；

④当，>10时，由旋转得：NPBQ=60。，由(1)得NCPQ=60。，

：ZBPQ=ZCPQ+NBPC=60。+/BPC,

■.ZBPC>O°,

••.NBPQ>60°,

若NBPQ=90。,：.ZBPC=30°,

,.ZCBE=60°,；ZBPC=/BCP,

:.BP=BC=4,

：AP=14cm

.,.t=14s,

综上所述：，为2s或者14s时，以点P、B、。为顶点的三角形为直角三角

形.

题库：几何图形动态变化问题

类型一点动

★1.如图，在△43C中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,点。从点C

出发，以2cm/s的速度沿折线C-AT3向点3运动，同时，点E从点8出发,

以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t秒(0<Z<8).

(1)AB=cm,sinB=；

(2)当△BDE是直角三角形时，求,的值；

⑶若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，

①设。CDEF的面积为ScnA求§与/的函数关系式；

②是否存在某个时刻3使。CQE尸为菱形？若存在，求出r的值；若不存

在，请说明理由.

3

解：(1)10,于

【解法提示】由勾股定理得：AB=\)62+S2=10,

.cAC63

sinfi=A8=l0=5-

(2)如解图①，当NBEO=90。时，△8DE是直角三角形，

C

E

DB

第1题解图①

则AC+AD=2t,

.•・30=6+10-2t=16-2t,

cBEBC8

COSB=BD=AB=W,

t8

,记WT记

64

/7=13;

如解图②，当NEDB=90。时，△8。£是直角三角形,

则80=16-2t,

BDBC8

COSB=BE=AB=W

16-2t8

~~t-=To,

40

因此，当△3QE是直角三角形时，，的值为胃或写;

第1解题图③

⑶①如解图③，当0</3时，BE=t,CD=2t,CE=8-t,

-"-SnCDEF=2S^CDE=2x^xCDCE=2x^x2/x(8-t)=-2»+166

如解图④，当3</<8时，BE=t,CE=8-t,

过点。作垂足为”,

:.DH\\AC,

DHBD

-AC=

3(16-2/)

:.DH=---------------,

13(16-2/)6,96384

•SCDEF=2SACDE-2x-xCEDH=(8-t)--------------=9--/+-y-；

・•.s与/的函数关系式为：

(-2t2+\6t(0</<3)

S1与2磬+等，

第1题解图⑤

②存在，如解图⑤，当。CQE/为菱形时，DFVCE,且CE与0b互相垂

直平分，交点为”，

易证得3s△4CB,

BHBDanBH16-2t

-BC=^即1~=一

4(16-2r)

:.BH=---------,

8-z

：BH=BE+EH,BE=t,EH=-

4(16-21)8-t

「•5小〒，

88

.1=亓

即当々莽寸，口CDEF为菱形.

★2.已知：如图，在矩形A8CD中，A8=6cm,BC=8cm.对角线AC,BD

交于点。，点p从点A出发，沿AQ方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点

。从点。出发，沿OC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，

另一个点也停止运动.连接P0并延长，交BC于点E,过点Q作。/〃AC,交

BD于点E设运动时间为心)(04<6),解答下列问题；

第2题图

(1)当，为何值时，△AOP是等腰三角形？

(2)设五边形OECQF的面积为5(cm2),试确定S与t的函数关系式;

(3)在运动过程中，是否存在某一时亥(］，，使S五边形OECQF：S^ACD=9：16?若

存在，求出,的值；若不存在，请说明理由；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻3使。。平分/。0尸？若存在，求出

，的值；若不存在，请说明理由.

解：⑴分三种情况讨论：

①若4P=A0,在矩形ABC。中，AB=6,3c=8,

：.AC=10.

.'.AO=CO=5.

：.AP=5.

•-t-5.

②若AP=PO=t,

在矩形ABC。中，AD//BC,OA=OC,

：.^PAO=ZOCE,ZAPO=ZOEC.

「.△APO%ACEO.

：.PO=OE=t..

如解图①，过点A作AG〃尸E交3c于点G,则四边形APEG是平行四边

形.

：.AG=PE=2t,GE=AP=t.

又,：EC=AP=t,

：.BG=S-2t.

在Rt^A3G中，根据勾股定理，得62+(8-2/)2;⑵产

25

解得t=学

O

③若0P=A0=5,则/=0或，=8,不合题意，舍去.，

25

综上可知，当，=5或，=三时，△AOP是等腰三角形；

O

(2)如解图②，过点。作0ML3C,垂足是作ONLCO,垂足是N.

第2题解图②

贝!JOM=gA8=3,0N=^BC=4.

113

-'-S^OEC=2'CE-OM=尸3=亍,

SZ\OCO=；CO・ON=；X6X4=12.

:QF\\AC,

.,.△DFQSADOC.

S△DFQS△DFQ

=(DC)2>即]2=*/，

5ADOC

•'■S四边形OFQC=12-

13

■S五边形OECQF=S四边形OFQC+S^OEC=12-

13

BP5=-/+,+12(0<t<6).

⑶存在.

理由如下：要使S五边形OECQF:S^ACD=9：16,

131

即(-g产+.+12):(]x6x8)=9：16,

解得n=3,h-1.5.两个解都符合题意.

・・・存在两个3使S五边形OECQF：S/iACD=9：16,止匕时八=3,£2=1.5；

(4)存在.

第2题解图③

理由如下：如解图③，过点。作皿_LOP,垂足是/,DJ±OC,垂足是,,

过点4作4G〃尸E交BC于点G.

'''SAOCD=^OCDJ=^x5xDJ=12,

…24

••OQ平分NPOC,DILOP,DJLOC,

24

.'.DI=DJ=~^~.

•.AGIIPE,：./DPI=ZDAG.

:AD\\BC,

：.^DAG=ZAGB.

"DPI:/AGB.

•,.RtAASG^RtAD/P.

由⑴知,在RtaA3G中，BG=8-2t.

,AB_BG.68-21

•~DI=1P,-24=PI'

~5

4

••・々=5(8-2。..

在RtADP/中，根据勾股定理得DP+Pl2=PD2,

BP(y)2+[|(8-2r)]2=(8-02,

11?—

解得日至，r=0(不合题意，舍去).

112

・•・存在，二书■时，0。平分NCOP.

3.如图，△A8C是等腰直角三角形，AB=4,AC=BC,NACB=90。，点。

为四的中点，动点E,厂分别在边AC,BC上（不与顶点重合），且/成＞二45。.

(1)若设AE=九，BF=y,试确定y与％的函数关系；

(2)当尸为等腰三角形时，求CE,C尸的长；

(3)DH±AC,"为垂足，试探究以。为圆心，以QH为半径的圆与E厂的

位置关系，并加以说明.

解：⑴在△AOE和△KD3中,

•/ZADE+ZBDF=135°,ZADE+ZAED=135°,

•.NFDB=ZAED,

又：ZA=ZB,

••.△AEDMBDF,

,AE_AD

,丽二而

.AE=x,BF=y,AD=BD=^AB=2,

x24

•­2=?即产了

(2)①当。E=历时，NQEF是直角，F,C重合，。石是三角形45c的中

位线，E是AC的中点，CE=^AC=yf2,CF=O；

②当。公历时，NQFE是直角，与①同理，E,C重合，尸是BC的中点,

CE=O,EF=^BC=^2；

③当OE=Z)/时，如解图，如果连接。，那么CQ必然平分NAC8,

：.AD=BD,ZA=ZB=45°,ED=FD,

•.ZEDF=45°,

.,.ZADE+NBD.F=ZADE+ZAED=135°,

：ZBDF=ZAED,

.,.△AEZ)^ABr)F(ASA),

:AE=BD=^AB=2,

：.CE=CF=2yf2-2；

⑶以。”为半径的圆与斯相切，理由如下：

••,△AEDMBDF,

,AE_DE,AE_DE

：BD=~FD,'AD=^Ff

,AEAD

,~DE=~DF-

又：ZA=ZEDF=45°,

・••△AEDFDEF,

.NAED=ZDEF.

••点D到AC和EF的距离相等，

・•・AC与。。相切，

、•点D到EF的距离等于。Q的半径.

.•・所与。。相切,

即以。”为半径的圆与反相切.

c

4.如图①，已知RtAABC中，ZC=90°,AC=8cm,8C=6cm点。由3

出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点。由A出发沿AC方向向点C

匀速运动，它们的速度均为2cm/s以AQ、PQ为边作口AQPD,连接DQ,交

AB于点E.设运动的时间为《单位：5)(0</<4).解答下列问题：

图①

⑴用含有t的代数式表示AE=

⑵如图②，当/为何值时，口AQPD为菱形;

(3)求运动过程中，°AQPD面积的最大值.

［解法提示］•「AC=8,

BC=6,ZC=90°

.,^=^62+82=10

AB-BP10-2t

.'.AE=2=~"2=5-t.

解：(1)5-t；

(2)当DQLA尸时，QAQ尸。是菱形,

易证△AEQSZ\AGB,

B

第4题解图

.隹_煦an-

,AC~ABf即8-10,

25

解得t=15，

当，二f|时，平行四边形AQPQ是菱形；

⑶设平行四边形AQPO面积为5,如解图，过点P作PHLAC,

易证△AZ/Ps/^ACB,

APPHnn10-2rPH

,AB=~BC,即10二丁

6

A19

；.S=AQPH=2t(-7f+6)=--^t2+12r(0<x<4),

I?5

•••一餐o；...该函数在押取得最大值，

又,.,0<|<4,.•.当7=3时，S有最大值，最大值为15cm2.

5.如图，正方形ABCD的边长为36cm，点。以6cm/s的速度从点B沿射

线BC方向运动，射线4。交直线DC于点E.设点。运动的时间为ts.

第5题图

(1)当，=9时，DE的长为cm；

⑵设DE=y,求)，关于t的函数关系式;

(3)在线段B0上取点G,使得OC：OG=4：5.当以0C为半径的。。与直

线AG相切时，求，的值.

5.解:(1)24；

第5题解图①

【解法提示】如解图①，当/=9时,0点运动到DC右侧，则OC=6x9-

36=18,

AACOCE

'：BC\\AD,.,.ACOE^ADAE,■■U-7/T\7=7UTtLF.

1836-%

设DE长为％,则石=--一,解得x=24./.DE长为24cm..

(2)由正方形4BCO得：N8=NO=90。，AB//DC,

由题意得：BO-6t,

丁ABWCD,

NBAO=/AED,

ABBO

,ED=DA,

366t曰216

.・亍二%，整理得”不，

即y关于％的函数关系式为：y=平0>0)；

(3)设oc=4%,贝(JOG=5%,

(i)如解图②，当点。在BC边上，。。切AG于点尸，OP=OC=4x,

••在△OGP中，NO尸G=90。，

：.GP=yJoG2-OP?=4(5%)2_(4%)2=3%,

==

tanZOGP=GPQ3-xQ3>

「4

tanZAGfi=

tan/AGB=4^=^7;=解得：BG=27,

在ZkAfiG中,ZB=90°,T,

nOJDU3

3c=27+5%+4%=36,解得：X=1,

BO27+516

“6-6-3(s)；

KDn

B喉

图②图③

第5题解图

(五)如解图3,当点。在3c的延长线上时，。。切AG于点P,OP=OC

=4x,

同(i)可得：3G=27,

:.BC=21+5x-4x=36,解彳导：x=9,

BO36+4x9

•z=T=一^二立

综上：当以OC为半径的。O与直线AG相切时，，的值为号或12.

类型二动图问题

★1.如图，是等腰直角三角形，ZACB=90°,AB=4cm,点。是

A3的中点，动点P、。同时从点。出发(点P、。不与点。重合)，点。沿。一A

以1cm/s的速度向终点A运动.点。沿DTB—D以2cm/s的速度运动，回到

点D停止.以PQ为边在AB上方作正方形PQMN,设正方形PQMN与△ABC

重叠部分的面积为S(cm2),点P运动的时间为z(s).

⑴当点N在边AC上时，求1的值；

(2)用含t的代数式表示PQ的长；

(3)当点Q沿D—B运动,正方形PQMN与AABC重叠部分图形是五边形时,

求S与，之间的函数关系式；

解：(1)如解图①所示:

第1题解图①

•••A3=4,点。是AB的中点,

.'.AD=BD=；AB=2,

••・四边形尸QMN是正方形，

：.PN=MN=MQ=PQ=33ZAPN=ZQPN=ZPQM=ZNMQ=/MNP

=90°,

•「△ABC是等腰直角三角形，

.•.Z/4=ZB=45°,

:.AANP=NA=45。，

：.AP=PN,

.,.2-t=3t,

1

•■•z=2;

(2)①当0(合1时,PQ=3Z；

②当l</<2时,BQ=2t-2,

:.DQ=2-(2r-2)=4-2t,

：.PQ=PD+DQ=4-t；

(3)①当|<£；时，如解图②所示:

c

/N\F

A//PDQB

第1题解图②

QF=BQ=2-23ME=MF=3t-(2-2t)=5t-2,

.1.S=(3r)2-1(5r-2)2=-夕+101-2；

•：AC=BC=^AB=2y[2,

.•.S=；x(2的2gx(2-t)2-；x(2-=-|z2+6t；

★2.两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放，点B与点。重合，

边A3与边。£在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内).其

中，NC=ZDEF=90°,ZABC=N尸=30。，4C=QE=6cm.现固定三角板QER

将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动.设三角

板平移的距离为了(cm),两个三角板重叠部分的面积为