2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（2020选修一全册）02（全解全析）

20232024学年上学期期末模拟考试高二数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：（沪教版2020选修一）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）已知m∈R，动直线l1：x+my﹣2＝0过定点A，动直线l2：mx﹣y﹣2m+3＝0过定点B，若l1与l2交于点P（异于点A，B），则|PA|+|PB|的最大值为．【分析】先确定两条动直线恒过的定点坐标，然后判断两条直线的位置关系，利用勾股定理结合不等式进行分析求解即可．【解答】解：l1：x+my﹣2＝0可变形为（x﹣2）+my＝0，令y＝0，则x＝2，故动直线l1：x+my﹣2＝0过定点A（2，0），l2：mx﹣y﹣2m+3＝0可变形为m（x﹣2）﹣（y﹣3）＝0，令x＝2，则y＝3，故动直线l2：mx﹣y﹣2m+3＝0过定点B（2，3），又1•m+m•（﹣1）＝0，所以直线l1与直线l2垂直，则有PA⊥PB，且|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝9，所以，即|PA|+|PB|≤，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，所以|PA|+|PB|的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了直线恒过定点问题以及直线与直线位置关系的判断，同时考查了利用基本不等式求解最值问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．2．（4分）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．错误（判断对错）【分析】根据直线的位置关系判断即可．【解答】解：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线不一定垂直，故答案为：错误．【点评】本题考查了直线的位置关系，是基础题．3．（4分）已知数列{an}为等差数列，数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝11．【分析】根据已知条件，运用等差数列的通项公式和前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝20，∴a3＝4，∵a5＝6，a3＝4，∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2，即d＝1，∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故答案为：11．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用，属于基础题．4．（4分）若等差数列{an}中，a6＝3，{an}的前n项和为Sn，则S11＝33．【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式分析可得S11＝＝11a6，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，在等差数列{an}中，S11＝＝＝11a6＝33，故答案为：33．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．5．（4分）已知直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦，且，则的最大值为8+2．【分析】由已知得到l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），从而得到点P轨迹为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，设圆心为C2，半径为r2，作垂直线段CD⊥AB，求得CD＝1，设圆C的半径为r1，求得||的最大值，再由|+|＝2||得答案．【解答】解：设P（x，y），直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与l2：x+my﹣3m﹣1＝0垂直又l1过定点E（3，1），l2过定点F（1，3），则PE⊥PF，即•＝（3﹣x，1﹣y）•（1﹣x，3﹣y）＝0，整理得P轨迹为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，设圆C半径为r1，P点轨迹圆的圆心为C2（2，2），半径为r2，作CD⊥AB，则CD＝＝＝1，根据垂径定理可知D为AB中点，因此|+＝2，则只需||最大即可，即当C2、P、D、C四点共线即可，此时|||＝|CC2|+|CD|+r2＝3+1+＝4+1，则|+|的最大值为8+2．故答案为：8+2．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查向量模的最值的求法，理解题意是关键，是中档题．6．（4分）在数列{an}，{bn}中，，，且，记数列{bn}的前n项和为Sn，且，则数列{an•bn}的最小值为．【分析】可由题意构建为等差数列，求出an通项公式，{bn}可由Sn﹣Sn﹣1得出bn的通项公式，再利用作差法求出新数列an•bn单调性即可求出最小值．【解答】解：由可得，即数列为等差数列，设公差为d，首项，，故d＝4，则，即，由，可得当n≥2时，，∵b1＝S1＝2，符合，即{bn}的通项公式为，设新数列{cn}，，则cn+1﹣cn＝﹣＝，当cn+1﹣cn＞0时，得n＞1.5，即n≥2时，{cn}是递增数列；当cn+1﹣cn＜0时，得n＜1.5，即c2＜c1，综上所述是最小值，即数列{an•bn}的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，数列的和与项的递推关系的应用，数列单调性在最值求解中的应用，属于中档题．7．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，焦距为10，则这条双曲线的方程为．【分析】设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，又c2＝a2+b2，由此能求出双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），∵焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，焦距为10，∴，又c2＝a2+b2，解得c＝5，a＝，b＝2，∴双曲线方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．8．（5分）首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列4个命题：①Sn，S2n，S3n，⋯也是等差数列；②数列也是等差数列；③若S15＞0，S16＜0，则n＝8时，Sn最大；④若{an}的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19．其中所有真命题的序号是②③④．【分析】利用举实例判断①，利用等差数列的求和公式和定义判断②，利用等差数列的求和公式判断③，利用等差数列的性质判断④．【解答】解：①在等差数列{an}中，若a1＝1，d＝2，则an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，则Sn＝＝n2，S2n＝4n2，S3n＝9n2，不是等差数列，∴①错误，②∵等差数列{an}，∴Sn＝na1+d，则＝a1+（n﹣1）×，则﹣＝a1+n•﹣[a1+（n﹣1）•]＝，∴数列也是等差数列，∴②正确，③若S15＞0，S16＜0，则S15＝15a8＞0，S16＝8（a8+a9）＜0，则a8＞0，a9＜0，则当n＝8时，Sn最大，∴③正确，④∵S偶＝a2+a4+•••+a2n＝（a2+a2n），S奇＝a1+a3+•••+a2n﹣1+a2n+1＝（a1+a2n+1）＝（a2+a2n），∴＝＝，∴n＝9，∴此数列的项数是2×9+1＝19，∴④正确，故答案为：②③④．【点评】本题考查等差数列的通项公式，求和公式及其性质，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．9．（5分）设点P（x1，y1）是⊙C：x2+y2＝1上的动点，点Q（x2，y2）是直线l：2x+3y﹣6＝0上的动点，记LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则LPQ的最小值是2﹣．【分析】设P（sinθ，cosθ），0≤θ＜2π，将LPQ转化成探求线段PQ长的最值问题求解即可．【解答】解：如图，根据题意设P（sinθ，cosθ），0≤θ＜2π，显然圆C与直线l相离，LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝＝≥|PQ|，当且仅当|x1﹣x2||y1﹣y2|＝0时取等号，当|x1﹣x2|＝0时，x1＝x2＝cosθ，y2＝2﹣cosθ，y1＝sinθ，|PQ|＝|y1﹣y2|＝|sinθ+cosθ﹣2|＝|sin（θ+φ）﹣2|其中tanφ＝，此时，|PQ|＝2﹣sin（θ+φ）≥2﹣，当且仅当sin（θ+φ）＝1时取等号，当|y1﹣y2|＝0时，y1＝y2＝sinθ，x2＝3﹣sinθ，x1＝cosθ，|PQ|＝|x1﹣x2|＝|cosθ+sinθ﹣3|＝|sin（θ+Φ）﹣3|其中tanΦ＝，此时，|PQ|＝3﹣sin（θ+Φ）≥3﹣，当且仅当sin（θ+Φ）＝1时取等号，显然3﹣≥2﹣，因此，当|x1﹣x2||y1﹣y2|＝0时，|PQ|min＝2﹣，则LPQ的最小值是2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了圆的参数方程，训练了利用换元法及三角函数的单调性求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知n∈N*，将数列{2n﹣1}与数列{n2﹣1}的公共项从小到大排列得到新数列{an}，则＝．【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可．【解答】解：设2n﹣1＝m2﹣1，即2n＝m2，又2n为偶数，则m为偶数，即，则，则＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了裂项求和，属基础题．11．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P．若|•|，则双曲线的离心率为．【分析】由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），令x＝c，可得P的坐标，已知向量等式可得（c+a）2+（）2＝2c（c+a），化简整理，由此可求双曲线的离心率．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），令x＝c，可得y＝±b＝±，可取P（c，），由|•|，得（c+a）2+（）2＝2c（c+a），化为（c+a）（c﹣a）＝c2﹣a2＝b2＝，即有a＝b，得c＝a，则e＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．12．（5分）已知数列{an}的通项为an＝n，且数列的前n项和Tn，若Tn+（﹣1）n+1•λ＞0，则实数λ的取值范围为．【分析】化简得，采用叠加法求得，则原不等式等价于，分n为奇偶分离参数λ，结合单调性可求λ的取值范围．【解答】解：∵，∴＝，∵，∴，当n是正奇数时，，令，易知f（n）单减，故，∴；当n是正偶数时，，令，易知y（n）单增，故，∴，综上可知，实数λ的取值范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法和，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）记Sn为等比数列an的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据等比数列的性质求出公比和首项，方法一：当n＝1时，＝1，代入验证即可得到正确选项；方法二：求出通项公式和前n项和，再根据选项判断即可．【解答】解：a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，∴a6﹣a4＝（a5﹣a3）q，∴公比q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴a1＝1，方法一：当n＝1时，＝1，代入验证，只有C符合，方法二：an＝2n﹣1，Sn＝＝2n﹣1，则C正确．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质，通项公式，求和公式，属于基础题．14．（5分）设数列{an}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质可判断：当a1＜0时，“0＜q＜1”“{an}为递增数列”；{an}为递减数列”，a1＜0时，q＞1，根据充分必要条件的定义可以判断答案．【解答】解：∵数列{an}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”，∴当a1＜0时，“{an}为递增数列”，又∵“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查了等比数列的性质，充分必要条件的定义，属于容易题．15．（5分）垂直于直线y＝x+1且与圆x2+y2＝4相切于第一象限的直线方程是（）A．x+y+2＝0 B．x+y+2＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+y﹣2＝0【分析】由直线垂直可设直线的方程，由直线和圆相切待定系数可得．【解答】解：垂直于直线y＝x+1的直线斜率为﹣1，故可设切线方程为y＝﹣x+b，即x+y﹣b＝0，由点到直线的距离公式可得2＝，解得b＝2，或b＝﹣2，∴相切于第一象限的直线方程为x+y﹣2＝0，故选：C．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及直线与圆的位置关系和直线的垂直关系，属基础题．16．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，且S12＝S15，则使Sn＞0成立的最大n值为（）A．13 B．14 C．26 D．27【分析】由题意可得等差数列{an}的公差d＜0．推导出a13＞0，a14＝0，进而S27＝0，S26＞0．由此能求出使得Sn＞0成立的最大n值．【解答】解：若a1＞0，且S12＝S15，∵S15﹣S12＝0，即a15+a14+a13＝0，即有3a14＝0，得a14＝0，可得等差数列{an}的公差d＜0，a13＞0，所以有S27＝＝＝27a14＝0，S26＝＝＝13a13＞0，∴使Sn＞0成立的最大n值为26，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和取最小值时项数n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知圆C的圆心为直线x﹣y﹣1＝0与直线2x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C相交于A，B两点，且AB＝6，求圆C的方程．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，再求半径，根据垂径定理，利用勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：直线x﹣y﹣1＝0与直线2x﹣y﹣1＝0的交点坐标为（0，﹣1），所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d＝＝3，因为AB＝6，所以根据勾股定理得到半径r＝＝3，所以圆的方程为x2+（y+1）2＝18．【点评】本题考查圆的标准方程，会根据圆心和半径写出圆的方程．灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．18．（14分）已知数列{an}的前n项和，（1）求数列{an}的前20项的和；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前多少项和最大．【分析】（1）将n＝20代入sn公式，计算可得答案；（2）根据题意，当n＝1时，a1＝s1，可得a1的值，当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1，求出an的表达式，综合可得答案；（3）根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，数列{an}的前n项和，则其前20项的和s20＝32×20﹣400+1＝241；（2）数列{an}的前n项和，当n＝1时，a1＝s1＝32，当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝32n﹣n2+1﹣32（n﹣1）+（n﹣1）2﹣1＝﹣2n+33；综合可得：an＝；（3）根据题意，数列{an}的前n项和，易得，当n＝16时，sn取得最大值，且其最大值为s16＝257．【点评】本题考查数列的递推公式，涉及数列前n项和与通项公式的关系，属于基础题．19．（14分）对于项数为m（m≥3，m∈N）的有限数列{an}，记该数列前i项a1、a2、⋯、ai中的最大项为xi（i＝1，2，⋯，m），即xi＝max{a1，a2，⋯，ai}；该数列后m﹣i项ai+1、ai+2、⋯、am中的最小项为yi（i＝1，2，⋯，m﹣1），即yi＝min{ai+1，ai+2，⋯，am}，di＝xi﹣yi（i＝1，2，⋯，m﹣1）．例如数列：1、3、2，则x1＝1，x2＝3，x3＝3；y1＝2，y2＝2；d1＝﹣1，d2＝1．（1）若四项数列{an}满足y1＝y2＝y3＝3，d1＝﹣4，d2＝1，d3＝5，求a1、a2、a3、a4；（2）设c为常数，且ak+xm﹣k+1＝c（k＝1，2，⋯m），求证：xk＝ak（k＝1，2，⋯，m）；（3）设实数λ＞0，数列{an}满足a1＝1，an＝λan﹣1+（n＝2，3，⋯，m），若数列{an}对应的di满足di+1＞di对任意的正整数i＝1，2，3，⋯，m﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）结合已知条件，首先求出x1，x2，x3，然后利用数列{an}的新定义即可求解；（2）结合数列新定义可得到xk+1≥xk，然后结合已知条件可得到ak+1≥ak，进而即可证明xk＝ak；（3）结合已知条件对参数分类讨论，易知当λ＝1和λ＝时，不满足题意；当λ≠1且λ≠时，构造等比数列井求出an通项公式，结合数列新定义可得到xi＝ai，进而求得di＝ai﹣ai+1，然后可得到，对不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）因为四项数列{an}满足v1＝y2＝y3＝3，d1＝﹣4，d2＝1，d3＝5由题意可知xi＝yi+di，故x1＝﹣1，x2＝4，x3＝8，且y3＝a4＝3，因为y1＝y2＝y3＝3，从而a1＝﹣1，a2＝4，a3＝8，故a1＝﹣1，a2＝4，a3＝8，a4＝3．（2）证明：因为xk＝max{a1，a2，⋯，ak}，xk+1＝max{a1，a2，⋯，ak，ak+1}，所以xk+1≥xk，又因为ak+xm﹣k+1＝c1，所以ak+1+xn﹣k＝c，故ak+1﹣ak＝xm﹣k+1﹣xm﹣k≥0，即ak+1≥ak，所以xk＝ak．（3）①当λ＝1时，数列{an}是等差数列，此时，不满足题意；②当λ≠1时，由可得，由a1＝1可知，，（i）当时，，即an＝1，则数列an为常数列，此时di+1＝di＝0，不满足题意；（ii）当时，，故数列是公比为λ的等比数列，易得，由题意可知，di＝max{a1，a2，⋯，ai}﹣min{ai+1，ai﹣2，⋯，am}，di+1＝max{a1，a2，⋯，ai，ai+1}﹣min{ai+2，ai+3⋯，am}因为min{ai+1，ai+2，⋯，am1}≤min{ai+2，ai+3⋯，am}，且di+1＞di，所以max{a1，a2，⋯，ai，ai﹣1}＞max{a1，a2，⋯，ai}，故对于任意正整数i＝1，2，3，⋯，m都成立，从而xi＝ai，故di＝ai﹣ai+1，di+1＝ai+1﹣ai+2，所以，解得，故实数λ的取值范围为．【点评】本题考查数列与函数的综合，考查学生的综合能力，属于难题．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，是E上一点，且PF1与x轴垂直．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点F2的直线l与E交于A、B两点，点M（0，1），且△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，求直线l的方程．【分析】（1）因为是E上一点，且PF1与x轴垂直．可得c的值，及a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍可得|AF2|＞|BF2|，当直线l的斜率为0时，可得A，B的坐标，可得△MAF2的面积是△MBF2面积的3倍，不符合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程，与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积，可得参数的值，进而求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，得F2（1，0），F1（﹣1，0），且c＝1，则，即a＝2，所以，故E的方程为．（2）由题意，得|AF2|＞|BF2|，当l与x轴重合时，|AF2|＝3，|BF2|＝1，从而△MAF2面积是△MBF2面积的3倍，此时不适合题意．当l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由题意，得Δ＞0，且，，由△MAF2的面积是△MBF2面积的2倍，得，所以y1＝﹣2y2，所以，，即，解得，所以直线l的方程为．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．（18分）已知无穷数列{an}（an∈Z）的前n项和为Sn，记S1，S2，…，Sn中奇数的个数为bn．（1）若an＝|n﹣2|，请写出数列{bn}的前5项；（2）求证：“a1为奇数，ai（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是严格增数列的充分不必要条件；（3）若ai＝bi，i＝2，3，…，求数列{an}的通项公式．【分析】（1）推导出，．由此能写出数列{bn}的前5项；（2）先证充分性，推导出bn＝n，从而数列{bn}是单调递增数列；再证不必要性，当数列{an}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i＝2，3，4…）均为奇数，bn＝n﹣1，数列{bn}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，ai（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件；（3）当ak为奇数时，推导出Sk不能为偶数；当ak为偶数，推导出Sk不能是奇数，从而ak与Sk同奇偶，由此得到an．【解