普通高等学校2023年招生全国统一考试数学模拟演练【含答案】

全国统一考试数学模拟演练

一、单选题

1.己知集合A,B满足.4B；1.23；,若h8,且［」及用，［/，&川表示两个不同的“AB互衬对”,

则满足题意的“AB互衬对”个数为（）

A.9B.4C.27D.8

2.已知二=1、'i，则下列说法正确的是（）

22

A•二‘+:-|=0B.；--；-|=0

C.；-r41>0D.二,.二.I0

3.若整数N被p整除后余数为q,则表示为、q"忖，则科S）或、是

〃"M/6）"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量，"（121）,|1,1,1）,则4在不上的投影向量为（）

444

B.I——.—・一

1333

"II""262&2厅

（333）（333J

5.我国古人智慧体现在建筑学上的成就颇多，著名的太和殿的一角中所体现了中国古人智慧中的“七

踩斗拱”技术，内分为“头”和“拱”.具体介绍为“七踩斗拱有头翘一件，头昂后带翘头一件，昂后

带六分头一件.蚂蚱头后带菊花头一件，撑头木后带麻叶头一件；正心瓜拱、正心万拱各一件，外拽

单材瓜拱、单材万拱各两件，厢供一件.”若从“翘头、六分头、菊花头、麻叶头”中选择1个，从

“单材瓜拱、单材万拱、正心瓜拱、正心万拱、厢供一件”中选择2个，则“单材瓜拱”与“麻叶

头”同时被选上的概率为（）

A.11B.1C,1D.12

84141084

6.若/（、卜、山"…|（（”>0）在（0，］）上有且只有两个零点，则，。的取值范围为（）

\3/

7.^(X-2)4(XJ+3XJ-0IJfa|(x-2)+aj(x-2)2，贝!1-^~()

1234

A.-B•二C,二D.-

5555

8.已知q二七'hc'，c-°，试比较a,b,c的大小关系为()

'In2

A.b>(,>uB.b>a>cC.(>a--hD.c>b>a

二、多选题

9.有关平面向量的说法，下列错误的是()

A.若77，,b',c，则61

B.若，与E共线且模长相等，则Kh

C.若且力与坂方向相同，则4〉不

D.A入伍”(〃；)，，恒成立

10.已知/>>0,e-恒成立，则下列说法正确的是()

bb

A.若〃・(O.e),则aj(().•，)B.aInh-1

C.”恒成立D.।"的最大值为］

b2e

11.在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，出2Q),点列P在圆<+；+j上，若对于

▼〃《、•，存在数列k；，a6,使得二:"’=："】，则下列说法正确的是()

I191-1

A.上；为公差为2的等差数列

B.卜，为公比为2的等比数列

C..70472"'

D.{&；前n项和1).2-

12.已知".、)=《”，x(x)为/(')导函数，八R,八0,则下列说法正确的是()

A./(“为偶函数

B.当a«2且awO时，恒成立

C.的值域为［I』

D.与曲线「£’无交点

a

三、填空题

13.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法.调

查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个

被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若

摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了“是”，人回答了

“否”.则问题二”考试是否做过弊"回答“是”的百分比为（以10（）人的频率估计概率）.

14.若对于e.c],।-|I.，，），使得不等式•/〃（x•11，（2023"小恒成

立，则实数x的范围为.

15.已知GVA,过点P（I.O）倾斜角为60的直线/交（'于/、"两点（d在第一象限内），过点,4

作i轴，垂足为〃，现将C所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻折，使得乙一一「一。，则

几何体以8。外接球的表面积为.

16.已知椭圆C：过点-3可的直线1斜率范围为卜.一苧p[Vi+®）,过（o.o）向1

作垂线，垂足为P,Q为椭圆上一点，E为椭圆右焦点，则•2/夕|的最小值为.

四、解答题

17.人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者

号”和“非凡者号”.其中“领航者号”空间站上配有2搜“M2运输船”和1搜“T1转移塔”，“非凡

者号”空间站上配有3搜“T1转移塔”.现在进行两艘飞行器间的“交会对接”.假设“交会对接”在

M年中重复了n次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器

情况，记“领航者号”剩余2搜“M2运输船”的概率为几，剩余1搜“M2运输船”的概率为弘.其

中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如下表所示.

男性宇航员女性宇航员

“领航者号”空间站380220

“非凡者号”空间站120280

20.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

n=a+b+c+d

(I)是否有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；

(2)若k为函数/(.”=」极小值的。倍，求即“+/与即.，+“一的递推关系式.

inxe

18.对于数列4-1e’，"(N，的前n项和，在学习完''错位相减法”后，善于观察的小周同学

发现对于此类“等差X等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：

①为什么丁―I一-—可以裂项相消？是因为此数列的第n,n+1项有一定关系，即第n项的

〃(〃+I)no+l

后一部分与第n+l项的前一部分和为零

②不妨将““亡，〃.N.也转化成第n,n+l项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运

用待定系数法可得“一(川+,通过化简左侧并与右侧系数对应相等

即可确定系数

③将数列'•表示成］/，(〃+1)+打”形式，然后运用“裂项相消

法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错

位相减法”掌握.

(1)(巩固基础)请你帮助小周同学，用“错位相减法"求的前n项和5,,；

(2)(创新意识)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和5,,.

19.已知底面为正方形的四棱柱dBCDT'B'C'O，r'_4,E,F,H分别为才少,CD,

的中点，三角形5皿的面积为4,P为直线FH上一动点且g=入

1\PH

(1)求证：当入「I时，BP±AC；

(2)是否存在入，使得线段BP与平面伙丫夹角余弦值为L

6

20.已知在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的三边，若

siriA+6$i/B+3sin2C-66xinAsinBsin("

(1)求NC的大小；

(2)求"的值.

3b

21.已知在AABC中，以B为坐标原点，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且a=4,若

?/>+((0\R16.

(1)求A点的轨迹方程C；

(2)已知坐标原点为0,若过点P]80)的两条直线与C分别交于M,N两点，设力(一储)，

A(t..r.),两直线斜率分别为人，A且4A，1,连接M,N交x轴于点Q,AOMQ,AOMN面积分别为

5,S,求3』S的最大值.

22.已知函数l)e<nI,v)-(v\)bnhxI

(1)若a=l,b=2,试分析/(11和i)的单调性与极值；

(2)当a=b=l时，/(')、的零点分别为i,'.；v,,口，从下面两个条件中任选一个证

明.(若全选则按照第一个给分)

求证：①/­1nxt''；

②C<LF.2.

1.c

2.C

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.B

9.A,B.C

10.A,C,D

11.C,D

12.A,D

13.54"o

14.(1.0]

15.13n

35

16.

.._IOOOx(58Ox28O-l2Ox22O)：

17.(1)解:*106.67>10.828

500x500x6(X)x400

...有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联;

⑵解”⑺端v，函数定义域,为、,⑼则八'、)I=nx百-1，

由，'(>()得XC,

由/卜)>0得x>c,由/'(xj<0得0<x<I或1<K<C,

一〃在(C,+，)上单调递增，在(0J)和(I.c)上单调递减,

，当K：C时，/(、)取得极小值，且f(c)=c,

•以为函数极小值的2倍，2,

Inxc

CC；C\C127

Pz~C"c^'P'*c*1+9^'=27

%育£信号哈制0春M飞川—瞪

QlCC1Q112

当“22时〃=]消i+#3=,①

acj

P"

2X①+②,得2几十%=；p..i+gq,|-：%.i+；=；(2区i+g..J+：

从而22+%-1=；(2区•

18.(1)解:因为a.=(”+I)2"

所以S.・%+%+4»••+4=2x2,+3x2：+4x2,+…+(”+1)2*①

则25,一2x2、3x2,4x2'+…,(”+1)2"’②

所以①-②得：-$.=2x2'+|".丁•？|h，1)2**'=4+^-^--(n+l)2**'=-w2^

1—2

所以S,n-2'-'；

(2)解:因为“.=(”♦1)2",设

a,«(p/j+(/)2"-[p(n+l)+9]2**1=(-pn-q-2p)2',

比较系数得：〃[,,得[”「，所以a.=(F+l)2"-(F)2i,

-＜/-2p-Iq-I

所以S'u•J•.i•♦./10-2|11-2»Ili-2i2)-2*1•i“・I)2’("12"丁

19.(1)证明：连接HD.B'D',

因为s.4“=148•，加N8/£=Asin^BAE=4,

所以山/8任二I,所以N8.任:,BfJjf.AB,

又4DJ.A1'，AD^yiB^A,AD,/bu平面48CD，故//'J.平面4HC7)，

同

当入=1时，---XI,则"为中点，P在87/上，

M

•••。。'1平面/86，/。＜7平面/86，；•DD'J.4C,

又AC1BD,IH)'cBD=D，DO,.BDc平面BDD'B'，

:..(1平面8£＞。'8'，

又BP平面BDD'B'，；•BP14C；

(2)解：以。为原点，所在直线为x轴，DC所在直线为，轴，所在直线为二轴，建立空间直

角坐标系，

.•.Q(O.OQ),/h4.4.1h,£(4.0.2),(“(0.4』,设尸(52o4),

所以8£=((k-42),«C=(-4A4),BP^(a-4.-a-2.4),

设平面伙丫的法向量”一「,

,n-BE-0-2y■0

则，即人，令z=2，则y=l，x=2,A/i(2.121,

nZ?C1-0-X+】H0

若线段BP与平面HUE夹角余弦值为:，

O

则松《丽冷卜卜

BPnV35

|cw<flP.>1

明同3&'-4。+366

••iv22=0，

:

VA-(-62)4XU-622--78260<0，，方程无解,

不存在入，使得线段BP与平面灰丫夹角余弦值为.

6

二6s!l\in(.,，

所以〃:+662+3<,:二byfiubsinl,,

=l4iabsinC---2b3，

:/+城-iSabsinC

又而CJ-哈+/一.，

lab

所以、8“"(I

3b2a

因为即+%2庐.迎=2，当且仅当当=当，即2。=M时，取等号,

yb2aN3b2a3b2a

y/isinC♦cmC，|<2,当且仅当C："",即。='时，取等号,

I6；623

所以、，Qs/〃C•「",(='=2，

3b2a

所以(；；

(2)解:由(1)可得2a3b,

所以“如=4.

动

21.(1)解：设点,4的坐标为川心v),

依题意可得8(0.0),((4,0),

则〃「r4f-v,rylx:1,

又2b+<<小R=16,则2^+cx°——=16，BPl6/>+c2-b1■112，

lac

所以16,(x-4)，+.…♦/♦/'■>>=112，化简得I”?,

22

A点的轨迹为椭圆，其方程为'「7.

6448

(2)解:由Ak：I,则&,凝同号,

不妨令人〉勺>0,则K>Vj>0,设0(x”O],则5>0,

由直线PW的方程为i，

消】'整理得（3+以「卜，64公1+2”认、192=0,

258；-192用24-32Z

则-8原=得「37十'”二向

3+4**

24-3”；4SX.

同理得上一3+4》

3+%

由直线"V的方程为卜=左2（、L）一,

-7,

令"0,则"十；3,

由，§2=54（.14），

n-y.-3

则”=彳^^•一IxK乂-%)=2.也一月)

312

yt2M

sc

X以心-yi)2(x1yl-x,yI)

工24726乂4幽24-32勺\檄,]

一13+4月*3+稣：--3+4A；*3+启J

,56x48x(4V、56x48x(4,“1)

一“"25+1”：+1厉-X49-12(4Uj

56x4856x48rr

=Zx-------------------42*/=64(3

丝一,12(4-玲)际记

当且仅当-3…J时，等号成立,

22.(1)解：由己知，")一(・1)/y-1,该函数的定义域为(r.iT),

所以r(x卜e'+(x-l)c-l=xc-I,

当x<0时，r(x)<0,

令〃(x)-IVI(I>()|,所以Ij—C；tte'lI♦I),

所以力'(、).()，所以函数可”二,2I在[0-，)上单调递增，

又刀⑼二1<0,h{\]-e10,

所以存在X=M€(0J),使得加V.)=0,

当K-[().I.)时，V)­(I,当xE(j•7|时，h{V)>0,

所以当xj时，/'（K）＜0,函数〃x）在（-凡/）上单调递减,

当“（1..+7）时，/卜）.（），函数/（x）在（卬“）上单调递增,

又AKJ_O,其中K,C'I,

所以“I、为函数/（t）的极小值点，极小值为I,

函数/（X）没有极大值点；

由已知义（"二（I1）3-2i1,该函数的定义域为（0.•，I,

所以乂（[I二/n,i♦12=Inx*I,

xx

设11InxI,贝lj.（t）=g♦'八『，

所以函数叫w=1I在（（＞,♦r）单调递增,

X

又“e）=」＜0,=＞0,

cc

所以存在x-x.,X；€（e.e2）,使得。亿）=/5-,-1=0，

**fc

当0vx时，（,-＞（V）-I）,当I、E,时，g（I）,（i,

所以当0.＜\,时，＜（"＜（）,函数K（x）在（0,rj上单调递减，

当jr＞。时，i）＞。，函数在«•…）上单调递增，

又g'k）=o,

所以一。为函数e（x）的极小值点，极小值为V--1,

函数没有极大值点，

（2）证明：①由（1）可得，函数/（K）-（I」）C，X」在（，,工）上单调递减,

函数/（I）在（.J+7I上单调递增，r-（0.1）,且yI,

又八-2）--1+1＞（）.A{-l）=--（a/（2）=c--3）O,

所以函数“门有且仅有两个零点，不妨设事＜口，

则怎€（2.I）,x,e（l.2）,

当6I时，l）//niI,该函数的定义域为（0.•，），

所以i)所，'IIfu-,

JTx

设I,则"，

X"

所以函数1在(0.•，l单调递增，

X

又H(1)二1・0,汐|2)一/〃2-!一：/”4一！、0,

22—

所以存在卜・与，「e(l・2),使得“"IEL'0,

超

当0《K.1、时，p(r)•(>,当v>工时，p(r)：••),

所以当0限1T.时，弁'(.1卜「。，函数*(n在(0，tj上单调递减，

当X>£时，g(.v)>0,函数R(K)在(.r-，+“上单调递增，

g|e)=1>0,x(e1)2c1<0,

ATIc)=e-l-e-l«-2<0,g(e:)=e:-3>0,

所以函数K(r)-(•—i1有两个零点，不妨设3，

2:

则c<r,<ee<T4<e，

因为i,为H(K)的零点，所以(xT)依t匚I=0,

令历X-/,则4