梁的应力习题答案

习题

10?1一工字型钢梁，在跨中作用集中力F,已知I=6,F=20kN,工字钢的型号为20a,

求梁中的最大正应力。

I

解：梁内的最大弯矩发生在跨中M=30kN.m

max

查表知20a工字钢W=237cm3

z

30x13

贝ijct=_0=126.6x106Pa=126.6MPa

maxW=237x10-6

z

10?2一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为I,截面高度为h,宽度为b,

材料的弹性模量为E,试求梁下边缘的总伸长。

解：梁的弯矩方程为M(X)=1q次-1qx2

22

1M(x)1<11、

则曲率方程为一c=--------1—qlx—qx2I

pWEI,EIz{22)

梁下边缘的线应变8(X)=\；2J”3氏3-

rp(q2%(22J

3

下边缘伸长为△l=J'gQdx=J，hf1714ql

0。2以122。产2Ebh2

Z/

10?3已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横

截面高度的分布规律。

□加泓如

解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生I拉应力，另一

侧产生压应力。

10?4一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知

I=1.5m,q=8KN/m,求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。

解:

1、设截面的形心到下边缘距离为y1

,4x8x4+10x4x10

则有y=------------------------=7.33crr)

14x8+10x4

则形心到上边缘距离y=12-7.33=4.67cm

2

于是截面对中性轴的惯性距为

(4x83、/10x431

I=|+4X8X3.332|+|12+10X4X2.672|=864.0cn)

2、作梁的弯矩图

设最大正弯矩所在截面为D,最大负弯矩所在截面为E,则在D截面

M1.778x103x7.33x10-2

O—=15.08x106Pa=15.08MPa

t,maxi1864.0x10-8

z

M1.778x103x4.67x10-2

O-2-y=9.61x106Pa=9.61MPa

c,maxI2864.0x10-8

在E截面上

M1.0x103x4.67x10-2

_E_=5.40x106Pa=5.40MPa

864.0x10-8

z

M1.0x103x7.33x10-2

o—^y=8.48x106Pa=8.48MPa

c,maxi1864.0x108

所以梁内。=15.08MPa,o=9.61MPa

t,maxc,max

10?5一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F,已知l=4m,b=120mm,h180mm,弯

曲时材料的许用应力［o］=10Mpa,求梁能承受的最大荷载F。

max

解：梁内的最大弯矩发生在跨中M=巴

max4

blv.

矩形截面梁W

Z~6~

则由。=Mmax4目得

maxW

F]2bh22x0.12x0.182

即J____

=6480N

10X106X3x4

31

10?6由两个28a号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用

弯曲正应力［o］=170Mpa,求梁的许可荷载［闩。

解：作弯矩图

4F

梁内的最大弯矩发生在跨中“max=4尸

T"II

矩形截面梁W=^=_2_=2W=680.656cm3

zyyz

maxmax

%axU得4F<[ally

则由o

z

170x1()6x680.656x10-6

即FV28927N

4

10?7圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m,F=3kN,q=3kN/m,弯曲时木

材的许用应力［o］=10MPa,试选择圆木的直径d。

解：作弯矩图

则由C="3w得W2半■叶■

maxWzb」

z

on71d33x103„G?>0.145m=145mm

即百“加瑞,侍

10?8起重机连同配重等重P=50kN,行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。

起重机的起重量F=10kN,梁材料的许用弯曲应力［。］=170Mpa,试选择工字钢的型号。设

全部荷载平均分配在两根梁上。

解：设起重机左轮距A端为X,则有

M=50—6%2,M=-6x!+38x+8()

CD

从而确定出M=104.2kN.m,M=140.2kN.m

CmaxDmax

即梁内出现的最大弯矩为140.2kN.m

则由o=匕小图得WN痴=维侬=8.25xl0-4m3

maxzTTIJO

2

IL

又对于本题w=z_z=2W

zyyz

所以W'=区=825x104=4.125x104m3=412.5cm3

z22

查表选25b号工字钢。

10?9两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个

是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。

解：

1、第一种情况

ql2

梁内的最大弯矩发生在跨中M=—

maxO

矩形截面梁w_bh2_203

z63

则。=叫"=qZ2x3=3qA

maxw8x2a316a3

z

2、第二种情况

M=ql2

梁内的最大弯矩发生在跨中—

max।b

矩形截面梁W=巴

266

则b="max_q，2x6_3qZ3

maxW16xa3803

z

10?10直径d=0.6mm的钢丝绕在直径D=600mm的圆筒上，已知钢丝的弹性模量

E=2X105MPa,试求钢丝中的最大正应力。

解：

Ctc71x0.64x10-12

EI2x10iix___________

M=_=64=4.24115x10-3N.m

p0.3+0.3x10-3

o=M=M=4.24115x10-3=200x106Pa=200MPa

maxW7rd3兀X0.63x10-9

z窃32

或

O_E?max=2x1°”、°.3X1°-3=200x106Pa=200MPa

maxp0.3+0.3x10-3

10?11一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN,a=1.5m,[a]=10Mpao

试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h:b,以及梁所需木料的最小直径d。

解：

W=匕也-2-b)

z66

dWd2-3b2与，d2W历

由___z=__________=0得b=\'id,又____z=-b<0所以3d时

~db~6-3db23

，取极大值，所以弯曲截面系数最大时，b=gd,h=td,即h:b=W

梁内的最大弯矩M=Fa=7.5kN.m

max

b/12巧

矩形截面梁W=-=7d3

z627

M目得〜悔

l9j3x7.5x103ccr

=3—-------------------------=0.227m=227mm

\10x106

10?12一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限o=i50Mpa,压缩强度极限

b

o=630Mpa,试求梁的安全因数。

be

解：

1、设截面形心距离下边缘为y

则有y=16°二4°x2°+1°x160x120x2=5333mm

1160x40+10x160x2

则形心到上边缘距离y=200-53.33=146.67mm

2

于是截面对中性轴的惯性距为

,<160x403…、<10x1603、

I=\+160x40x33.3§|+|丁+10x160x66.6%|x2=29013333.4mn)

z—12—

2、作梁的弯矩图

C截面

M12x103x53.33x10-3

O=_==22.057x106Pa=22.057MPa

t,maxi129013333.4x10-12

M12x103x146.67x10-3

O==60.663x106Pa=60.663MPa

c,maxI229013333.4x1012

B截面上

M8x103x146.67x10-3

O—B.y==40.442x1OePa=40.442MPa

t.maxI229013333.4x10-12

2

M8x103x53.33x10-3

!Byr=14.705x106Pa=14.705MPa

c.max29013333.4x10-12

z

所以有屋=“15°=3.709,n=_630_=10385>n取安全系数为。

t40.442c60.663t,耿女王"姒〃。

10713一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a,梁上荷载如图所示，已知l=6m,

F=60kN,F=40kN,q=8kN/m,钢材的许用应力[=170Mpa,[l]=100Mpa,试校核梁的

强度。

解：作内力图

M868x103

则有a===170.8x106Pa=170.8MPa

maxW.508.15x10-6

o-W170.8-170

而maxi---------------=0.47%<5%

b」170

FS80.7x103

t=S,m个、max=-----------------------------------=38.56x106Pa=38.56MPa<[T]

maxlb24.62x10-2x0.0085

10?14一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l=6m,q=6kN/m,F=20kN,钢

材的许用应力[o]=170Mpa,[T]=100Mpa,试选择工字钢的型号。

57x103

由o=必皿4屈得==3.353x10-4m3=335.3cm3

max卬zInJ170x106

z

查表选25a（考虑5%误差可以选则22b）。

对于所选型号，梁内出现的最大切应力为

t=…=28x18=16.21xlO6Pa=16.21MPa<[T]

maxIb21.58x10-2x0.008

z

(如为22b,tE”=15.8MPa<[t])

mdx

所以工字钢型号为25a(或22b)。

10?15由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力[。]=170Mpa,

许用切应力[T]=100Mpa。试选择工字钢型号。

解：作内力图

丝一[0]得83.05625x103…。/，

由<7W>-fm断------------=4.886x10-4nP=488.6cm3

maxW_b」170x106

查表选28a。

对于所选型号，梁内出现的最大切应力为

t==”3.125x1()3=54()6*106pa=54.06MPa<[T]

maxlb24.62x10-2x0.0085

所以工字钢型号为28a。

10?16外伸梁AC承受荷载如图所示，M=,q=20KN/m。材料的许用应力[。=170Mpa,

[T]=WOMpao试选择工字钢的型号。

解：作内力图

由b=M-

rmf=--------

max卬HnT170x106

查表选20a。

对于所选型号，梁内出现的最大切应力为

Fq40x103

T=Ui==33.22X106Pa=33.22MPa<[T1

max/b17.2x10-2x0.007

z

所以工字钢型号为20a。

10?17图示简支梁是由三块截面为40mmX90mm的木板胶合而成，已知I=3m,胶缝的

许用切应力[T]二,试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载F。

解:

梁内的最大剪力值为0.5F

则胶缝处的最大切应力为

)

FS*0.5〃x90x40x40x10-9

T=Smnx2=61.73/

maxJb

90x1203xlQ_i2x90x10-3

12

由%ax4为得FW8100N。

10?18向示结构中，AB梁与CD梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为h、b和h

和b,已知I=3.6m,a=1.3m,h=150mm,h=100rnT),b=100rrm,材料的许用应力[o]=10Mpa,

[T]=,试求该结构所能承受的最大荷载F'。

解：

1、对于上梁

作内力图

O|1F

2

由O得M<LJw,即CvlJw

maxWmaxzz

/匚AinIAA01x0.12

4LoJVV4xlOxlO6X-----------

所以有F<_____i.==1.852x103N=1.852kN

36

又由7=*'4口得f<2[T1A即F<2[T1A

max2.弯支S,max3-2T

J/A4X2.2X106X0.1X0.1

所以有F<-------=-----------------------------=29.33x103N=29.33kN

33

2、对于下梁

作内力图

由a=匕“w得M4目叩.即上/。]卬

maxWmaxzl?z)

z!Z

o匚

2LoI」wWO2xi1nOx10AA6x0.1X8152

所以有F<_____d_==5.77x103N=5.77kN

3F0rqL2口AF2口人

又由予=—得尸<____L,即_«U1_

max2AS,max323

而一右几]人4X2.2X106X0.1X0.15，，八，，八，，

所以有F<____L=___________________=44.0xl03N=44.0kN

33

综上，取F=1.852kN

10?19图示木梁受一可移动的荷载F=40KN作用。已知=10Mpa,[i]=3Mpa。木

梁的横截面为矩形，其高宽比h_=二3，试选择梁的截面尺寸。

b2

解:

40x103x1

当F位于跨中时，梁内出现最大弯矩M=£L=10x103N=10kN

max44

由CT="max4］得W>呼即

max卬zb」

/汕2=963>M=10x103=1.0xl0-3m3从而有。20.1387m=138.7mm

624InJ10x106

又当F位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力F=^20kN

S,max2

,Jr「]Jr

ffiT=—WLr」得A>—平评*即

max2A2k」