高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修三）第08讲 等比数列及其求和（教师卷）

第08讲等比数列及其求和【学习目标】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3.了解等比数列与指数函数的关系．【知识导航】1.等比数列的概念(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.2.三个数成等比数列，通常设为eq\f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.【知识预习】考点一：等比数列11．在等比数列中，则（

）A．16 B．16或－1C．32 D．32或－32【答案】A【详解】设公比为，则，解得：，所以.故选：A12．设是等比数列，且，则（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【详解】由题意可得：，解得，故.故选：B.13．已知等比数列，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【详解】故选：C.14．在等比数列中，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；所以，因为，所以.故选：C.15．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由等比数列性质可得：故选：C考点二：等比数列的前n项和16．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．83 B．108 C．75 D．63【答案】D【详解】由题知，等比数列的前项和为，所以也是等比数列，即也是等比数列，根据等比中项性质解得，故选：D17．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：C.18．记为等比数列的前项和.若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．7【答案】D【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，所以，因为，所以，解得7，故选：D.19．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【详解】因为等比数列的各项均为正数，所以由，当时，，所以，不符合题意；当时，由，或，因为等比数列的各项均为正数，所以，故选：B20．集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（

）（参考数据：，）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【详解】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度和为，第三次操作去掉的线段长度和为，…，第操作去掉的线段长度和为，由此得，所以，，，，所以的最小值是9.故选：A．【对点训练】一、单选题1．在数列中，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，即：，∴为等比数列，公比，∴故选：D.2．与的等差中项和等比中项分别是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】与的等差中项是，与的等比中项是故选：A3．在正项等比数列中，，则数列的前5项之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由等比数列的性质得,数列的前5项之和为，故选：C4．已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（

）A．128 B．127 C．126 D．125【答案】C【详解】设等比数列的公比为，且，，，，所以，即故选：C5．已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【详解】因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：故选：A6．已知等比数列的前项积满足，则（

）.A． B． C． D．【答案】C【详解】等比数列的前项积，，，.故选：C7．若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】由题意得,,故所以故选:.8．已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为（

）A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【详解】数列是等比数列，，，，所以使的n的最大值为20.故选：C二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．若b2=ac，则a，b，c成等比数列B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数C．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有D．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1【答案】CD【详解】A.如数列0，0，0，满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列，故错误；B.如数列1，1，1，…，是等差数列，其前n项和为n，不是常数项为0的二次函数，故错误；C.若数列{an}为等差数列，则，即，故必要，若，即为，则数列{an}为等差数列，故充分，故正确；D.若一个常数列是等比数列，即，则这个数列的公比是，故正确；故选：CD10．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A． B．为等比数列C． D．【答案】ABD【详解】∵，则，即，∴数列是以首项，公比的等比数列，则，故A、B正确；又∵，显然不符合上式，则，故C错误，D正确；故选：ABD.三、填空题11．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则______．【答案】【详解】设等比数列的公比为，，，成等差数列，，则，即，解得或(不合题意，舍去)，．故答案为：．12．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距______尺.【答案】【详解】设大老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为；小老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和为.则，则，从而相距尺.故答案为：四、解答题13．在数列中，，，．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：又数列是首项为、公比为的等比数列；（2）由（1）可知，即，.14．已知等差数列满足，前4项和．(1)求的通项公式；(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．【答案】(1)(2)或【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．∵∴解得：∴等差数列通项公式（2）设等比数列首项为，公比为q∵∴解得：即或∴等比数列通项公式或15．已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，知，则，，设的公差为d，则，．（2）由（1）知，，，，设的前n项和为，则．【提升作业】一、单选题1．设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】A【详解】由，有，即．由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．故选：A2．若成等差数列；成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得：，设的公比为，则，，解得：，.故选：B3．等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设等比数列的公比为，则，解得，又，解得，所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，令，则，易知，所以，故当或6时，取最小值，最小值为，故选：4．已知数列满足，，数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当，，所以，解得：，当n=1适合因为，所以，又因为是单调递增数列，所以有，对任意的正整数，都有，所以，故选：C5．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列【答案】C【详解】由题意数列的前项和为，，且，则，即，所以即选项A正确；因为①，∴当时，②，①-②可得，，即，当时，，不满足，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，则，故，故B正确；由得：所以令，则所以所以，即，故是首项为，公比为4的等比数列，D正确，故选：C.二、填空题6．已知等比数列的公比成等差数列，则公比____________．【答案】2【详解】由题意得，而为等比数列，化简得，而，解得，故答案为：27．已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为___________.【答案】【详解】由，或，当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，这不符合数列的各项均为正数；当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，又，所以，因为，所以前10项的和为，故答案为：三、解答题8．设是等比数列，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公比为q，则由已知有，，所以，．因此．（2）由(1)则前n项和9．已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公