结构力学-超静定结构的内力计算（建筑力学课件）

力法CONTENTS目录概述力法概述超静定结构的概念超静定结构是工程中广泛采用的一类结构，为了全面认识超静定结构，我们把它与静定结构作一比较。超静定结构（b）

超静定结构的概念

（a）FAxFAyFFByFFAxFAyMA

图（a）所示的刚架是一个静定结构，它的支座反力和各截面的内力都可以由静力平衡条件唯一确定。图（b）所示的刚架是一个超静定结构，有四个反力，却只能列出三个独立的平衡方程，它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定。超静定结构的概念

（a）FBy（b）

FFAxFAyMAFAxFAyF再从几何组成方面来分析，图（a）所示刚架和图（b）所示刚架都是几何不变的。若从图（a）所示的刚架中去掉支杆B，其就变成了几何可变体系。而从图（b）所示刚架中去掉支杆B，则其仍是几何不变的，从几何组成上看支杆B是多余约束，所以，该体系有一个多余约束，是一次超静定结构。超静定结构的概念综上所述，存在多余约束，单靠静力平衡方程不能确定所有支座反力和内力，这就是超静定结构与静定结构的根本区别。超静定次数的确定超静定次数就是结构的多余约束的个数，也就是多余未知力的个数。所以，确定结构的超静定次数的方法，就是把原结构中的多余约束去掉，使之变成静定结构，所去掉的多余约束的个数即为结构的超静定次数。超静定次数(b)(a)超静定次数的确定通常情况下，从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种：切断体系内部的一根链杆或去掉支座处的一根支杆，相当于去掉一个约束，如图所示。01X1X1X2超静定次数的确定去掉一个铰支座或一个单铰，相当于去掉两个约束，如图所示。02(b)(a)X1X2X1X2X1X2超静定次数的确定去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，如图所示。03(a)(b)X2MAX1(c)X1X2X1X2X3X3超静定次数的确定将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。04(a)(b)X1X1(c)力法力法计算超静定结构，是以静定结构为计算对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。力法的基本原理力法下面通过对一次超静定结构的分析，阐述力法的基本原理。如图所示一端固定、另一端铰支的梁，该梁有一个多余约束，是一次超静定结构。EI=常数力法

如果把支杆B作为多余约束去掉，并代之以多余未知力X1，则原结构就转化为图（b）所示的静定梁。它承受着与图（a）所示原结构相同的荷载和多余未知力。我们把这种去掉多余约束用多余未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基本结构。（a）（b）X1力法只要能够求出多余未知力X1，原结构的计算问题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力X1共同作用下的静定结构计算问题了。我们把多余未知力称为力法计算的基本未知量。（a）（b）X1力法在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1方向上的位移为Δ1。由于在原结构图(a)中，支座B处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b)中，B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移Δ1也应该为零，即

力法（b）X1Δ1=0力法（b）（c）（d）上式称为基本结构应满足的原结构的位移条件，设Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示荷载q与多余末知力X1单独作用于基本结构上时，引起的B点沿X1方向上的位移。由叠加原理，有

Δ1=Δ11+Δ1F=0力法由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即Δ11=δ11·X1

，则因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。δ11·X1+Δ1F=0上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数，Δ1F称为方程的自由项。力法

为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和M1图[图(a，b)]，然后用图乘法计算。

(a)MF

图(b)M1

图力法(a)MF

图(b)M1

图

由于MF图和M1图分别是基本结构在X1＝1和荷载q作用下的弯矩图，同时M1图又可理解成为求B点的竖向位移而绘制的单位荷载作用下的弯矩图。所以，可用图M1乘M1图，即M1图自乘，则有力法(a)MF

图(b)M1

图同理可用M1图乘MF图计算Δ1F

将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所设的方向相同。ABM图（c）力法多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与荷载q共同作用在基本结构上,就可以按求解静定结构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘出原结构的弯矩图，如图（c）所示。超静定结构的最后弯矩图M，也可利用已经绘出的M1图M1和MF图按叠加原理绘出，即力法综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构，根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。力法的计算步骤和举例根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：2建立力法典型方程。根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程。3计算力法方程的系数和自由项。利用静定结构的位移计算公式，或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图，然后用图乘法计算系数和自由项。1选取基本结构。去掉原结构的多余约束，以相应的未知力代替多余约束的作用。4解方程求多余未知力。将所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力Xi。力法的计算步骤和举例5绘制原结构的内力图。用叠加法绘制原结构的弯矩图，进而根据平衡条件确定剪力图和轴力图。位移法力矩分配法本节内容位移法力矩分配法位移法力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较麻烦。而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。本节主要内容是位移法和力矩分配法的基本概念、解题思路和计算方法；最后分析总结超静定结构的特性。位移法的基本概念位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题。位移法位移法的基本概念为了说明位移法的基本概念，我们来研究图（a）所示的等截面连续梁。

位移法的基本概念

位移法的基本概念因此，如把结点B的转角作为支座移动看待，则上述连续梁可转化为两个单跨超静定梁。只要能够计算出转角的大小，就可以用力法计算出这两个单跨超静定梁的全部反力和内力。位移法的基本概念

第一步，增加约束，将结点B锁住。假设在结点B处加入一附加刚臂[图(a)]，附加刚臂的作用是约束B点的转动，而不能约束移动，即相当于固定端。位移法的基本概念

位移法的基本概念第二步，在基本结构中，只有荷载q的作用，无转角Z1影响，如图(b)所示。其弯矩图可由力法计算如图(b)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R1F。位移法的基本概念第三步，施加力偶，使基本结构的结点B产生角位移Z1如图(c)所示。在B端发生转角Z1的支座移动，其弯矩图可由力法计算得到，如图(c)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R11

。位移法的基本概念第四步，把基本结构的两种情况叠加，计算转角Z1。由叠加原理可得基本结构在两种情况下引起的约束力矩为R11+R1F。由于基本结构的受力和变形与原结构相同，在原结构上没有附加刚臂，故基本结构中附加刚臂上的约束力矩应为零。即R11+R1F=0。位移法的基本概念力法中的基本结构是从原结构中拆除多余约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构是在原结构上增加约束构成若干个单跨超静定梁的组合体。虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形与原结构是一致的。强调说明位移法典型方程及计算举例

位移法计算举例上面讨论了用位移法典型方程解算超静定结构的解题思路和方法，根据前面所述，用位移法解超静定结构的步骤可归纳如下：1首先确定基本未知量，增加阻止刚结点转动和结点移动的附加约束，从而形成基本结构；2

使基本结构承受原荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，根据附加约束上的反力矩或反力等于零的条件，建立位移法的典型方程；位移法典型方程及计算举例3绘出基本结构的单位弯矩图MF图与荷载弯矩图MF图，利用平衡条件求系数和自由项；

—4解算典型方程，求出各基本未知量；5

—6校核。在位移法计算中，由于位移条件自然满足，所以只需校核平衡条件。力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本参数使AB杆的A端（也称近端）产生单位转角时所需施加的力矩。01转动刚度SAB当θ≠1时:

MAB=SABθABABABAB=θ=1θ=1θ=1θ=1SAB=4iSAB=iSAB=3i转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i有关（i=EI/L），而且与远端的支承情况有关。转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。力矩分配法的基本概念02分配系数表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。03传递系数C

A

汇交于同一结点各杆的分配系数之和等于1，即：=μAB

＋μAC＋μAD=1∑μAμAk称为分配系数C=0.5C=0C=－1远端固定：远端定向支座：远端铰支：力矩分配法的基本概念当结点A作用有力偶荷载m时，结点A上各杆近端得到按各杆的分配系数乘以m的近端弯矩，也称分配弯矩。把上述问题归纳如下：ABCDmθAθAθA

以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。

各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。力矩分配法的基本概念远端支承情况转动刚度传递系数固定4i0.5铰支3i0滑动i－1力矩分配法要点力矩分配法的适用条件：01力矩分配法的基本参数02无侧移刚架和连续梁。1）转动刚度SAB2）、分配系数μAB

3）传递系数CAB