计算机中的数制

I第1章计算机中的数制和码制

n计算机中的数制

n计算机中数的表示方法与格式

n非数值数据在计算机中的表示方法

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L1计算机中的数制

n数制：多位数码中，每一位的构成方式，以及从低位到

高位的进位规则

十进制（Decimal）:逢十进一,0~9

二进制（Binary）:逢二进一,0,1

八进制（Octal）:逢八进一,0-7

十六进制（Hexadecimal）:逢十六进一，0~9,A~F

N进制：逢N进一

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1.1计算机中的数制

U.1十进制

n任意数都由基数（底，Radix）和位权（Weight）构

成

n用来表示数的数码的集合称为基，该集合的大小称为

基数

n十进制的基：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},基数R=10，位权

10j

n对于任意一个十进制数，可以用计数法（按权展开）表示

为

j

(V)D=ZKsx10

若整数位数为n,小数位数为m,则i=n・1,n・2,……,m

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1.1计算机中的数制

例143.75=1x102+4x101+3x10O+7x10U5x10」

用R取代上式中的10,则可以得到任意进制数的表示式

(V)R=ZKjXR

用为第i次孱的系数，根据基数R的不同，它的取值为0~R・1

优点：位数少

缺点：必须用十个可以严格区分的独立电路表示

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1.1计算机中的数制

1.1.2R进制

V=CixR'i+5_2'尺"-2+一・+0*氏1+〃乂氏°+L*氏-1+=2'氏-2+•••+=〃,xR—〃‘

〃一1

=%x£

—m

每一位：O-R-1,逢R进一

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1.1计算机中的数制

1.1.3二进制

n位整数和m位小数的二进制数可以表示为

bn-i*2—・也也2b.m

bi=0或1,逢二进一，用按权展开式表示为：

n_1,n

V=b2+b2X2〃-2+…+2x2]+dx20+》*2-1+52、2一？+…+力wx2-

〃一1

=£〃x2l

-m

例：(101.11)B=1x22+0x21+1x20+1x2-U1X2-2=(5.75)D

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1」计算机中的数制

1.1.4二进制的优点口

1(VH)

1.只有两个数码，电路实现简单

2.需要的设备量少

阈值(VTH)

3.运算规则简单

1+0=10(VL)

1+1=10

0+0=0

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L1计算机中的数制

1.1.5数制间的转换

1.1.5.1二进制转换为十进制

方法：按权展开式在十进制数域中计算

4321

例：(11010.101)B=1X2+1X2+0X2+1X2+0X2°

+1x2-1+0x2-2+1x2—3

=16+8+2+0.5+0.125

=(26.625)D

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1」计算机中的数制

1.1.5.2十进制转换为二进制

I整数部分：除2取余法（先得出的为低位b0）

I小数部分：乘2取整法（先得出的为储）

整数部分（除2取余法）

例将（58结转换为二进制形式

2|58—>0(b0)

2I29—>1(bi)(58)D=(111010)B

2]4-►0(t)2)

217一1(b3)

2I3一1(b4)

1(b5)

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L1计算机中的数制

小数部分(乘2取整法)

例将(0.625)D转换为二进制形式

(0.625)D=(0.101)B

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L1计算机中的数制

不能进行精确转换的情况下，要达到所需要的精度要求

例将(0.21)D转换为二进制形式，要求误差小于26

°-21U0.420.84।)0.680.36

X2X2X2X2X2

0.420.84.68\T\.360.72

(0.21)D=(0.0011010)B

回.88

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1.1计算机中的数制

1.1.6八进制与十六进制

使用二进制表示一个数字使用的位数较多，为了便于书写，引入八进制

和十六进制

1・1・6.2八进制——逢八进一，0~7

二进制一八进制

将二进制整数从右向左每3位作为一个单元，并用对应的八进制数字代表即可

将二进制小数从左向右每3位作为一个单元，并用对应的八进制数字代表即可

(010111001011.010010)

TTTTTTB

(271__3・22)0----------------------

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1.1计算机中的数制

八进制T二进制

将八进制的各位数码分别用对应的二进制数带入即可

(351.25)0

IVvv\•

(011101001.010101)B

L163十六进制——逢十六进一，0〜9,A,B,C,D,E,F

二进制f十六进制

从低位到高位将每4位二进制数分为一组，并用相应的十六进

制数代换，即可得到对应的十六进制数

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1.1计算机中的数制

(01011110.10110001)B

丁1r丁

(5E.B1)H

十六进制一二进制

将十六进制数的每一位，用等值的4位二进制数代替

(8F.C6)H

\“▼V

(10001111.11000110)B

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1」计算机中的数制

十六进制-十进制按位展开求和

十进制T十六进制十进制一二进制一十六进制

例八进制257.0554

二进制010101111.000101101100

十六进制AF16C

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1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.1码的概念

当数码不是用来表示数量大小的意义，而是用来表示不

同的事物时，该数码称为代码。例如：学号，商品条形码

♦真值与机器数（二进制码）

真值：直接用和“「表示符号的二进制数，不能在机器中使用.

机器数：将符号（“+”和“■”）数值化了的二进制数，可在机器中使

用。一般将符号位放在数的最高位，例如：

।—符号位

+101101011

-1011——T1--0

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1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.2实数在计算机中的表示

原码表示法：分符号位S和尾数m

Sm

“0”表示为正数值部分

“1”表示为负

例：［

N=+10011N2=-01010

［砥］原=010011此］原=101010

原码表示的特点：真值0有两种原码表示形式，即

[+0]原=00-0[-0]原=1原谴厌学信息科学与工程学院17

1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.2.1实数的补码表示法

同余：某个模为M的系统中，一个数与其模的整数倍相加或

相减时，其值不变，即A=A+nxM(modM)

1.补数的概念

如果A和A，两个数之和等于某个固定的数M(称为模)，则

称数A，是数关于模M的补数，或简称M的补数，即A=M-A5;

反之，数A也是A，关于模M的补数(A、M・A)

A-B=A-B+M(ModM)同余的性质

=A+(M-B)=A+B5

可以用补数将加法和减法统一起来

击东南大学信息科学与工程学院18

1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.2.2二进制的基数减1补码（R・1补码，也称反码）

反码：X>0时，凶补=凶原

XvO时,凶补=2E+X

反码的快速计算方法：将原码除符号位以外，按位取反

例8位系统中,X=-0001101,求［X］反

23=1111111111111111

0001101

[X]反=11110010

11110010

真值。也有两种反码表示形式，即

a3南嘉工鼠%学院

1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.2.1二进制的真补码（R补码）

补码：X>0时，［同补=a］原

XvO时，凶补=2hX

对于二进制数，求2的补码方法可以先求其1的补码（反码），

然后再加1,而不再通过减法运算实现。

例［X］原=10001101求［X］补

100000000

先求反码［X］反=11110010-0001101

11110011

再求补码［X］补=［X］反+1=11110011

真值0只有一种补码表示形式：［+01补=卜01补=00…0

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1.2计算机中数的表示方法与格式

例在2的补码系统中完成二进制数+72与・13的加法运算

[+72]补=01001000

[-13]补=11110011

01001000

+11110011

严111011

舍去

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四位无符号整数，能够表示0~15的数

3+0=3

3+1=4

3+2=5

3+3=6

3+4=7

3+5=8

3+6=9

3+7=10

3+8=-53-8=-5

3+8=11

3+9=・43-7=-4

3+9=12

3+10=133+10=-33-6=-3

3+11=143+11=-2♦3-5=-2

3+12=153+12=-13-4=-1

3+13=03-3=0

3+14=13-2=1------

就15=23-1=2东南大学信息科学与工程学院22

无符号数补数有符号数原码补码

016000000000

115100010001

214200100010

313300110011

412401000100

511501010101

610601100110

79701110111

88-810001000

97-711111001

106-611101010

115-511011011

124-411001100

133-310111101

142-210101110

151-110011111

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机器数的加、减运算

一、原码运算

1、符号位不参与运算，单独处理。

2、设A、B表示绝对值，有下列两类八种情况。

同号数相加或异号数相减，运算规则为绝对值相加，取被加(减)数的符号

(+A)+(+B)=(+A)-(-B)

(-A)+(-B)=(-A)-(+B)

同号数相减或异号数相加，运算规则为绝对值相减，取绝大值较大者的符号

(+A)-(+B)=(+A)+(-B)

(-A)-(-B)=(-A)+(+B)

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机器数的加、减运算

例：=-0011fX2=1011求［X［+X2］原和［X1-X2］原

解：［XJ原=10011r［X2］^=01011

♦求［X［+X］原，绝对值相减，有

1011

.)0011结果取左的符号，即：+x2］^=01000

1000

♦求［X〔-X』原，绝对值相加，有

0011结果取X的符号，即：［X厂X］原=11110

+)1011

------------------真值为：x4-X2=-1110

1110

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机器数的加、减运算

二、补码运算

补码加、减运算规则：

[X[+X2]补=[XJ补+风]补

[X「X』补=国]补+凶补

注意：补码的符号位参与加减运算。

例：X[=-0011,X2=例11求[X[+X』补和国.X』补

解：[XJ补=11101,[X2]lh=01011,[-X2]^=10101

[X[+X2]补=11101+01011=0100011101

+)01011

真值为：X.+X2=1000

丢弃

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机器数的加、减运算

〔

[X-X2]lh=11101+10101

11101

+)10101

丢弃110010

真值为：X1-X2=-1110

三、反码运算

[X+x—反=[即反+[X]反

[x「X』反=因]反+[-X]反

当符号位有进位时，应在结果的最低位再加“

东南大学信息科学与工程学院27

机器数的加、减运算

例：”=・0011,X2=1011求[X]+X/反和[%-X』反。

解：反

[XJ=11100,[X2]J5=01011,

[«2]反=10100

[\+x2]^=11100+01011=01000

11100

+)01011

Q00111

+)------------------A1

01000

真值为：X1+X2=1000

东南大学信息科学与工程学院28

机器数的加、减运算

[X〔・X2]反=11100+10100

11100

+)10100

110000

+)------------------A1

10001

真值为：X〔・X2=-1110

东南大学信息科学与工程学院29

1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.3定点数与浮点数

1.2.3.1定点(Fixed-Point)数

即小数点的位置固定不变，一般可固定在任何位置，但通常固定在数值部份

的最高位之前或最低之后,前者表示纯小数,后者表示纯整数。但机器中并

没有小数点,仅仅是一种默认。

小数点默认位置

V=(-I)sxl这种格式只能表示整数

、小数点默认位置

V=(-l)sxO.F

这种格式只能表示小矍南大学信息科学与工程学院

30

1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.3.2浮点数(Floating-Point)数

定点数的数域较小。若既要能表示很小的数，又要能表示很大

的数，则采用浮点表示法比较合适。

SCCSI

阶码的阶码实数的尾数小数点默认位置

符号符号

V=(-l)sxIx2(“产xc

V=(-l)sxO.Fx2(/)小数点默认位置

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1.2.3.3两种特殊的浮点数格式

1.IBM浮点数格式

SCF

位号01-78〜31

SCF

位号D1〜78〜63

V=(-l)sxO.FX16C-64

2.IEEE浮点数格式

SEF

位号01〜8931

V=(-l)sxl.FX16E127

E

位号01263

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1.2计算机中数的表示方法与格式

1.2.4十进制数的表示方法

十进制的数码在计算机中以二进制码的形式出现，称为BCD码

(BinaryCodedDecimal),即用若干位二进制数来表示一位十

进制数。

一、8421BCD码

简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的0〜

9,后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。

8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8,4,2,1,如:

8421码0111=0x8+1x4+1x2+1x1=7

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1.2计算机中数的表示方法与格式

二、余3码

由8421码加3形成，是一种无权码。如果两个余3码相加没有进位，则和

数要减3,否则和数要加3。

例如：0100+0110=01111000+1001=00100

01001000

+)0110+)