河南省荥阳市第二高级中学2021-2022学年高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是

().

金牌银牌铜牌奖牌

（块）（块）（块）总数

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

I加

第24U927B/旄第W29K第

■24=”/||比会中国代衰5卖健计图

A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C.第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

x-2<0

2.设不等式组，x+y20,表示的平面区域为。，在区域。内任取一点P（x,y）,则P点的坐标满足不等式

x-y>0

/+了242的概率为

兀兀

B.

84

1

C.--------D.

2+兀

3.设集合A={I,2,6},B={-2,2,4},C={xe/?|-2<x<6},则(AUB)nC=()

A.{2}B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6)D.{%eR|-l<%<5}

4.从集合｛-3,-2,-1,1,2,3,4｝中随机选取一个数记为加，从集合2,3,4｝中随机选取一个数记为“，则在方

2222

程上+匕=1表示双曲线的条件下，方程土+匕=1表示焦点在）’轴上的双曲线的概率为（）

mnmn

.98179

A.—B.—C.—D.—

17173535

5.已知2=（1,2）,b-（m,m+3）,c=（m-2,-1）,若£//B，则（）

A.-7B.-3C.3D.7

6.已知复数z=/2•一2a—i是正实数，则实数。的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

7.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCO,将平行四边形ABCO沿对角线80折起，使平面

43。，平面BCD,则直线AC与BO所成角余弦值为（）

A.B.—C2D.-

3333

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数（即质数）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是（）

9.在声学中，声强级L（单位：dB）由公式L=101g给出，其中/为声强（单位：W/mD/=60dB,

L,=75dB,那么2=()

■/2

4433

A.咛B.w-5C.--D.OS

10.(f—2x-3)(x+2)5的展开式中，/项的系数为(

A.-23B.17C.20D.63

11.已知集合A={2,3,4},集合3={租,m+2},若AnB={2},则加=()

A.0B.1C.2D.4

12.单位正方体黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段白蚂蚁

爬地的路线是44―401一••，黑蚂蚁爬行的路线是45-5811它们都遵循如下规则：所爬行的第计2段与第i

段所在直线必须是异面直线QeM）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两

蚂蚁的距离是（）

A.1B.72C.73D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=aInx-bx2图象上一点（2,/（2）处的切线方程为y=—3x+2In2+2,则a+8.

14.已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A，B编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球

没有区别），则恰好同时包含字母A,3的概率为.

rx+2y-2<0

%+]

15.设X，）‘满足约束条件x-y-IWO,则2=-的取值范围是____.

y+2

2x+y+l>0

16.如图，直三棱柱ABC-A4G中，NC43=90°,AC^AB=2,CG=2,尸是BQ的中点，则三棱锥C—AG。

的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT3

17.（12分）在AABC中，NABC=一,。是边8C上一点，且AD=5,cos/AOC=-.

45

（1）求BO的长；

（2）若△ABC的面积为14,求AC的长.

x-cos3,

18.（12分）在直角坐标系x0y中，曲线G的参数方程为,八以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

y-sin0.

jr

设点A在曲线G：0sin6=l上，点3在曲线G：8=-T'（2>°）上，且AAOB为正三角形.

（D求点A,3的极坐标；

（2）若点P为曲线孰上的动点，M为线段AP的中点，求18Ml的最大值.

19.（12分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为b,c,且。=/?85。+。$皿3.

（1）求B的值：

177

（2）设NBAC的平分线AD与边BC交于点。，已知4。=亍，cosA=--,求b的值.

20.（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.

方案一：每满100元减20元；

方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所

得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

红球个数3210

实际付款7折8折9折原价

(1)该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；

(2)若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？

21.(12分)设等比数列｛4｝的前”项和为S,,若《用=2S,+l(〃wM)

(I)求数列｛《,｝的通项公式；

(II)在明和。,用之间插入〃个实数，使得这n+2个数依次组成公差为d„的等差数列，设数列｛；｝的前〃项和为T„,

求证：Tn<2.

2

22.(10分)已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为h,c,AA3c的面积为‘一.

2cosC

(1)求证：tanC=sinAsinB；

(2)若C=>,求cos(A-B)的值.

6

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

54+59

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为丁一=56.5,不正确；

故选：B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

2.A

【解析】

画出不等式组表示的区域求出其面积，再得到/+在区域C内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.

【详解】

x-2<0

画出<%+丫20所表示的区域。，易知A（2,2）,6（2,—2）,

x-y>0

所以AAOB的面积为4,

1JT

满足不等式/+丁<2的点，在区域。内是一个以原点为圆心，0为半径的1圆面，其面积为彳，

故选A项.

【点睛】

本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.

3.B

【解析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可.

【详解】

解：Au8={-2,1,2,4,6}；

.".（AuB）nC={l,2,4}.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.

4.A

【解析】

设事件A为，，方程二+2=1表示双曲线，，，事件8为“方程二+2=1表示焦点在y轴上的双曲线”，分别计算出

mnmn

P(AR}

尸(A),代4?),再利用公式P(8/A)=+i计算即可.

P(A)

【详解】

v-2v2r22

设事件A为“方程工+匕=1表示双曲线”，事件B为“方程工+匕=1表示焦点在y轴上

mnmn

3x3+4x?17Q

的双曲线”，由题意，尸(A)=——=—,P(AB)=U=弓，则所求的概率为

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17

故选：A.

【点睛】

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

5.B

【解析】

由平行求出参数加，再由数量积的坐标运算计算.

【详解】

由a//B，得2加—(加+3)=0,则〃2=3,

b=(3,6),c=(l,-l)»所以B,c=3—6=-3♦

故选：B.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.

6.C

【解析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.

【详解】

因为z=/i-2a-i=-2a+(a2-l)z为正实数，

所以一2a>0且/一1=(),解得。=-1.

故选：c

【点睛】

本题考查复数的基本定义，属基础题.

7.C

【解析】

利用建系，假设A3长度，表示向量恁与丽，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面BCD,ABA.BD

平面ABDc平面3C£>=3。，AB1平面4®

所以平面BCD,又。Cu平面BCD

所以AB_LOC,又

所以作z轴〃AB，建立空间直角坐标系B-xyz

如图

设AB=1,所以BD=l,DC=LBC=e

则A(0,1,1),3(0,1,0),。(1,0,0),0(0,0,0)

所以就南(0,-1,0)

/-rp;on\AC•BD1\/3

所以33皿=同阿飞—

故选：C

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

8.A

【解析】

首先确定不超过2（）的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有（3,17）,（7,13）,共2种情况,

21

故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率尸=一=一.

2814

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

9.D

【解析】

由乙=10总（熹］得笆］=上一12,分别算出乙和乙的值，从而得到?的值.

）10

【详解】

”=1研扁,

AL=10（lg/-lgl0-12）=10（lg/+12）,

.,.lgz=—-12

10

当。=60时，1g'=4—12=3—12=—6,工人=10-6

11()1()

当心=75时，1g/,=乙一12=受-12=-4.5,=10"5,

■21010

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，属于基础题.

10.B

【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.

【详解】

(x+2)5的展开式的通项公式为(+1=qx5-r-2r.则

①3)出(—3),则(x+2)s出V，该项为：(-3)-C°-2°.?=-3x5；

5

②(f-2x-3)出(―2x),则(x+2f出该项为：(-2)-C；-2'-?=-20X;

③任一2x—3)出1，贝Ji(x+2)5出*3,该项为：1.以-22_5=40d；

综上所述：合并后的V项的系数为17.

故选：B

【点睛】

本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.

11.A

【解析】

根据，篦=2或机+2=2,验证交集后求得加的值.

【详解】

因为4口8={2},所以m=2或.+2=2.当机=2时，AD3={2,4},不符合题意，当/篦+2=2时，加=0.故选

A.

【点睛】

本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.

12.B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为A4—Aid-OiG—GC—CB—R4,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=336…4,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为AB-B31TBici—GOi-50—04,

黑蚂蚁爬完2020段后回到Di点，

所以它们此时的距离为0.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得。力.

【详解】

由题意f\x)=--2bx,

X

•••函数图象在点(2,/(2)处的切线方程为y=-3x+21n2+2,

——4b=—3a—2

2,解得

b=l

aIn2-4-b=-6+2In2+2

Aa+b-3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础,

2

14.-

3

【解析】

根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概

【详解】

从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同;

故其概率是「=等=华=;

C”o3

2

故答案为：

3

【点睛】

本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于

基础题.

15.［一五1_

【解析】

作出可行域，将目标函数z=］时整理为［="■可视为可行解a，y)与(一L-2)的斜率，则由图可知I4仁或

->k2,分别计算出人与心，再由不等式的简单性质即可求得答案.

【详解】

x+2y-2<0

作出满足约束条件卜-y-140的可行域，

2x+y+120

显然当x=-l时，z=0；

当xw-1时将目标函数z=——整理为一=:一-可视为可行解(x,y)与(-1,-2)的斜率，则由图可知一4勺或

y+2zx+1

—Nk?

x+2y—2=0

显然a=1,联立

2%+y+l=0一丁(T)

则一或一,故<z<0或OvzWl

故答案为：-',1

【点睛】

本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.

【解析】

证明平面AACC,于是=匕f1Gc=1%-AGC，利用三棱锥的体积公式即可求解•

【详解】

A4,_L平面ABC,ABi平面ABC,

A4IJ.AB,又AB_LAC,A4,cAC=A.

：.A3_L平面A4|GC,

•.•尸是BG的中点，

•'M-AGP=%-AGC=g%-AGCg.2•2・2=g.

2

故答案为：y

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)1；(2)5.

【解析】

(1)由同角三角函数关系求得sinNADC,再由两角差的正弦公式求得sinNBA。，最后由正弦定理构建方程，求得

答案.

(2)在中，由正弦定理构建方程求得A3,再由任意三角形的面积公式构建方程求得3C,最后由余弦定理构

建方程求得AC.

【详解】

3

(1)据题意，cosZADC^-,且NADCG(0,万)，

4

所以sinZADC=V1-cos2ZAPC

5

{7C\冗n7711

所以sin/BAD=sinZADC----=sinZADCcos------cosZADCsin—

I4)4444

4x/2372V2

=-X---------------X--------=--------

525210

ADBD

在△A3。中，据正弦定理可知,

sinB-sinNBAD'

An5

的i、iBD=-------sinNBA。=

所以sin8.71

sin

4

ADAB

(2)在△AB。中，据正弦定理可知

sinBsinZADB

anAO./.cnADAD•/54.FT

AB=-------smZADB=------•sin(%-NAZX?)=------smZADC=------------4>/2

所以冗

sinBsin8sin6sm•—5

4

因为△ABC1的面积为14,所以！A4-3asinB=14,即、4逝・BOsin工=14,

224

得BC=7.

在△45。中，据余弦定理可知，AC2=SA2+/?C2-2BAfiC-cosB=(4V2)2+72-2x4A/2x7xcos-=25,

4

所以AC=5.

【点睛】

本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.

18.(1)(2)；+

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；

(2)设点M的直角坐标为(x，y),则点P的直角坐标为(2x-6,2y-l).将此代入曲线G的方程，可得点M在以

。(亭为圆心，；为半径的圆上，所以18Ml的最大值为|BQ|+g,即得解.

【详解】

7T

(1)因为点B在曲线。3：。二一一(夕＞°)上，△AOB为正三角形，

6

所以点A在曲线。=g(p〉O)上.

又因为点A在曲线G：0sin6=l上,

所以点A的极坐标是

从而，点3的极坐标是(2,一2

(2)由(1)可知，点A的直角坐标为(百,1),B的直角坐标为(6,-1)

设点M的直角坐标为(x，丫)，则点尸的直角坐标为(2x-6,2y-1).

x=——+—cosa

将此代入曲线G的方程，有22

y=—+—sin。，

r22

即点M在以Q事,为圆心，不为半径的圆上.

I22

幽|=月_后+6=百，

所以1助01的最大值为|8Q|+g=；+6.

【点睛】

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划

归，数学运算的能力，属于中档题.

19.(1)B=~；^h=ADsmZADC

''4V7sinC

【解析】

(1)利用正弦定理化简求值即可；

(2)利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b的值.

【详解】

解：(1)Q-〃cosC=csin8,由正弦定理得：sinA-sinBcosC=sinCsinB,

sin(TT-B-C)-sinBcosC=sinCsinB,

sin(B+C)-sinBcosC=sinCsinB,

sinBcosC+sinCcosB-sinBcosC=sinCsinB,

sinCcosB=sinCsinB,

又B,。为三角形内角，故sin8>0,sinC>0,

兀

则cosB=sinB>0,故tan5=1,B=—；

4

(2)AZ)平分设ZBAD=NC4Z)=x,则A=2X£(0,4),XE(0,]]

cosA=cos2x=2cos2x-1=---,cosx=—,则sinx=Jl-cos2x=—,

sinA=Vl-cos2A=—,又B=J

254

1772

则sinC=sin--A-sin—cosA-cos—sin/4=-------

UJ4450

sinZADC=sin(3+九)=sin[x+?=sinxcos^,n772

+cosxsm—=-----

410

bAH_ADsinZADC

在△AC。中，由正弦定理：----------=——,b

sinZ.ADCsinCsinC

【点睛】

本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式,二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.

20.(1)!(2)选择方案二更为划算

2

【解析】

13

(1)计算顾客获得7折优惠的概率<=三，获得8折优惠的概率E=?,相加得到答案.

88

(2)选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为126,144,162,180,,计算概率得到数学期望，比较大小

得到答案.

【详解】

(1)该顾客获得7折优惠的概率=:

<2?23

该顾客获得8折优惠的概率鸟=C；X—X—=-,

⑷48

131

故该顾客获得7折或8折优惠的概率P=[+g=d+d=7.

oo2

(2)若选择方案一，贝附款金额为180-20=160.

若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为126,144,162,180.

1/1A33

P(X=126)=-,P(X=144)=I-I=j

P(X=162)=G[£|=.«=180)=《出=",

1331

则EX=126x—+144X2+162X2+180X-=153.

88