上海市长宁区9校2023-2024学年数学九上期末检测试题含解析

上海市长宁区9校2023-2024学年数学九上期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如果，那么的值等于（）A． B． C． D．2．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（）A． B． C． D．3．如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．4．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（）.A．； B．； C．； D．.5．下列图形中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．下列命题中，属于真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平行的四边形是菱形C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形7．一组数据3，1，4，2，－1，则这组数据的极差是（）A．5 B．4 C．3 D．28．下列对于二次根式的计算正确的是()A． B．2＝2C．2＝2 D．2＝9．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A． B． C． D．10．已知点，如果把点绕坐标原点顺时针旋转后得到点，那么点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在边长为2的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动(任何一个点到达停止)，在运动过程中，则线段的最小值为________．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=，将△ABC绕点顶C顺时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是_____．13．点A（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标是_____．14．如图，某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75°方向上，且该舰艇以每小时10海里的速度沿南偏东15°方向航行，11小时到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东75°方向上，则B处到灯塔C的距离为________海里.15．若圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为______.16．小球在如图6所示的地板上自由滚动,并随机停留在某块正方形的地砖上,则它停在白色地砖上的概率是____.

17．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是_________．18．点是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是_____.三、解答题(共66分)19．（10分）阅读材料，回答问题：材料题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.问题：（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案（3）请直接写出题2的结果．20．（6分）如图，是等边三角形，顺时针方向旋转后能与重合.（1）旋转中心是___________，旋转角度是___________度，（2）连接，证明：为等边三角形.21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=°时，四边形BFDE是正方形．22．（8分）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间(单位：)，表示水位高度(单位：)，当时，达到警戒水位，开始开闸放水．02468101214161820141516171814.41210.3987.2(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．(3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到．23．（8分）如图①，在与中，，.（1）与的数量关系是：______.（2）把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.①求证：.②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由.（3）若，，把图①中的绕点顺时针旋转，直接写出长度的取值范围.24．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为；（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率．25．（10分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？26．（10分）如图，在平行四边形中，为边上一点，平分，连接，已知，.求的长；求平行四边形的面积；求.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】依据，即可得到a=b，进而得出的值．【详解】∵，∴3a﹣3b=5b，∴3a=8b，即a=b，∴==．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，解决问题的关键是运用内项之积等于外项之积．2、C【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，构建矩形ABOC，根据反比例函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC的面积．【详解】如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S=S=1，∴|k|=S=S+S=2，∴k=2或k=−2.又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=2.则反比函数解析式为.故选C.【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.3、C【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．【详解】解：连接，，如图，，为的直径，点在上，，，，，，，设，，而表示点到原点的距离，当为直径时，点到原点的距离最大，为平分，，，，即，此时，即的最大值是1．故选：．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．4、D【解析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.【详解】解：连接.，∵.分别与相切于.两点，∴，，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.5、B【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】A、C、D都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B．故选B．【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．6、B【分析】直接利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误，不合题意B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，本选项错误，不合题意；D、对角线互相平分且相等的四边形应是矩形，本选项错误，不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．7、A【分析】根据极差的定义进行计算即可.【详解】这组数据的极差为：4－(－1)=5.故选A.【点睛】本题考查极差，掌握极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差，是解题的关键.8、C【解析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【详解】A、原式=2，所以A选项错误；B、原式＝，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项正确；D、原式＝6，所以D选项错误．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9、D【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，∴AB=DC=2BE，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴==，∴DF=2BF，=()2=，∴=，∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，∴==，故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键.10、B【分析】连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M，根据旋转的性质，证明，再根据所在的象限，即可确定点的坐标．【详解】如图连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M∵点绕坐标原点顺时针旋转后得到点∴∴∴，∴∵∴∵∴∵在第四象限∴点的坐标为故答案为：B．【点睛】本题考查了坐标轴的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形的判定定理与性质得出，再根据正方形的性质、角的和差得出，从而得出点P的运动轨迹，然后根据圆的性质确认CP取最小值时点P的位置，最后利用勾股定理、线段的和差求解即可．【详解】由题意得：由正方形的性质得：，即在和中，，即点P的运动轨迹在以AB为直径的圆弧上如图，设AB的中点为点O，则点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上连接OC，交弧AB于点Q由圆的性质可知，当点P与点Q重合时，CP取得最小值，最小值为CQ，即CP的最小值为故答案为：．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了三角形全等的判定定理与性质、圆的性质（圆周角定理）、勾股定理等知识点，利用圆的性质正确判断出点P的运动轨迹以及CP最小时点P的位置是解题关键．12、【分析】由旋转的性质得：CA=CM，∠ACM=60°，由三角比可以求出∠ACB=30°，从而∠BCM=90°，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：由旋转的性质得：CA=CM，∠ACM=60°，∵∠ABC=90°，AB=1，BC=，∴tan∠ACB=，CM=AC=，∴∠ACB=30°，∴∠BCM=90°，∴BM==．故答案为：．【点睛】本题考查了图形的变换-旋转，锐角三角函数，以及勾股定理等知识，准确把握旋转的性质是解题的关键．13、（1，﹣1）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【详解】解：点A（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标是：（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．14、20【分析】根据题意得出，，据此即可求解．【详解】根据题意：(海里)，如图，根据题意：，，∴，，∴，∴，答：B处到灯塔C的距离为海里．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．15、【分析】根据圆锥的侧面积公式：S侧=代入数据计算即可.【详解】解：圆锥的侧面积=.故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题型，熟练掌握计算公式是解题关键.16、【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论．【详解】由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，所以它停在白色地砖上的概率=．考点：概率.17、【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．【详解】∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，设菱形对角线交于点O，∴，∴，，∴，，顺次连结菱形ABCD各边中点，

∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，

∴A1D1=AA1=AB=5，C1D1=AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=AB=5，∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，

同理可得出：A3D3=5×，C3D3=C1D1=5，A5D5=5，C5D5=C3D3=5，∴四边形A2019B2019C2019D2019的周长是：故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．18、【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段，代入计算即可．【详解】∵C是AB的黄金分割点，

∴较长线段，∵AB=2cm，

∴P；

故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．三、解答题(共66分)19、题1.；题2.(1)至少摸出两个绿球；(2)方案详见解析；(3).【解析】试题分析：题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；问题：（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；（2）写出方案；（3）直接写结果即可．试题解析：题1：画树状图得：∴一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，则至少有两辆车向左转的概率为：．题2：列表得：

锁1

锁2

钥匙1

（锁1，钥匙1）

（锁2，钥匙1）

钥匙2

（锁1，钥匙2）

（锁2，钥匙2）

钥匙3

（锁1，钥匙3）

（锁2，钥匙3）

所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，则P==．问题：（1）至少摸出两个绿球；（2）一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；（3）．考点：随机事件．20、（1）B，60；（2）见解析【分析】（1）根据三角形三个顶点中没有变动的点就是旋转中心来判断，再根据旋转的性质判断出旋转的角度即可；（2）先根据旋转的性质得出和即可证明.【详解】解：（1）旋转中心是，旋转角度是度；（2）证明：是等边三角形，，旋转角是；，又，是等边三角形．【点睛】本题主要考察正三角形的判定及性质、图形的旋转性质，熟练掌握性质是关键.21、（1）证明见试题解析；（2）1．【分析】（1）先证∠BAE=∠BCF，又由BA=BC，AE=CF，得到△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=1°．【详解】解：（1）∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∵BA=BC，∠BAE=∠BCF，AE=CF，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=1°．故答案为1．【点睛】本题考查菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．22、(1)见解析；(2)和；(3)预计水位达到．【分析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当时，与可能是一次函数关系：当时，与就不是一次函数关系：通过观察数据发现与的关系最符合反比例函数．【详解】(1)在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示．(2)观察图象当时，与可能是一次函数关系：设，把，代入得，解得：，，与的关系式为：，经验证，，都满足，因此放水前与的关系式为：，观察图象当时，与就不是一次函数关系：通过观察数据发现：.因此放水后与的关系最符合反比例函数，关系式为：，所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：和.(3)当时，，解得：，因此预计水位达到．【点睛】此题考查二元一次函数的应用，统计图，解题关键在于根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值．23、（1）=；（2）①详见解析；②，理由详见解析；（3）.【分析】（1）根据线段的和差定义即可解决问题；（2）①②只要证明，即可解决问题；（3）由三角形的三边关系即可解决问题【详解】解：（1）=（2）①证明：由旋转的性质，得.∴，即.∵，，∴.∴.②.理由：∵，∴.∵，∴，∴.（3）.【点睛】本题考查了三角形全等的证明和三角形三边之间的关系，注意三