求数列通项公式 -高考数学一轮复习

数列通项公式求法

学校:姓名：班级:考号：

考法一、公式法：

1.在等差数列｛%｝中，4=3,且％,%,演成等比数列，则4的通项公式为()

A.an=2n+\B.a〃=〃+2

C.。〃=2〃+1或〃“=3D.。〃="+2或。〃=3

S

2.记S〃为等比数列｛〃〃｝的前〃项和.若〃5-〃3=12,。6-〃4=24,则'■=()

A.2H-1B.2-2'-nC.2-2〃-/D.2'/?-1

七］是等差数列，

3.数列｛%｝中，，22=3,%=1,且数列•则的等于()

&+1J

B.3

A.-C.1D.--

343

变式训练:

4.已知正项等比数列｛%｝的前“项和为5.，4%=64,4+4=10,S==126,则〃=(

A.4B.5C.6D.7

5.已知数列｛q｝的前般项和为5“，满足q=1,历一疯=1，则为=()

A.2n—lB.〃C.2〃+1D.2"一,i

6.记S”为等差数列｛《,｝的前〃项和.已知§4=0,%=5,则

12

A.ci-2n-5B.。“=3〃-10C.S=2n2-8/zD.S-=—n-20n

nnn2

考法二、。〃与s〃法求通项公式

7.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，且3s〃=4q-4,则S3=()

A.39B.68C.81D.84

8.记】为数列㈤｝的前〃项积，已知—=3,则汇o=()

16C15C,g

A.—B.—D.—

3434

9.数列｛",｝满足4+2“2+3。3+…+”凡=(〃-1>2"+1,则%=()

A.64B.128C.256D.512

=2n„-l,贝lj盘=()

10.数列｛%｝的前〃项和为S”，且s〃：

an

A.2-27"B.2-2""c.2—2"D.2-2,,_|

变式训练

12

11.已知4,为数列｛S,,｝的前〃项积，若^——=1,则数列｛《,｝的通项公式。,,=()

)〃an

A.3-2/?B.3+2nC.1+2/2D.1-2/t

⑵已知数列④满足％+3电+…+(2，则数列岛的前I。项和是(

)

1022

A.BD.

21-23

13.已知正项数列也｝满足，S〃是｛叫的前〃项和，且S“=a；+gq-14,则S*()

考法三、累加累乘求通项公式

14.已知数列｛q｝满足妣&=2,4=20,则%的最小值为()

nn

A.4后B.4>/5-1C.8D.9

15.已知数列｛4｝满足出=2",4=1,则%=()

A.30B.31C.22D.23

16.在数列｛%｝中，q=/且(〃+2)々〃+]则它的前30项和与)=()

人30c29-28-19

A.—B.—C.—D.—

31302929

变式训练

17.数列｛4｝的首项为1,圾｝为等差数列且勿=4+「〃“，若则4=1,4=15,则

A.24B.25C.36D.38

18.数列｛%｝中，q=l,q+[=〃〃+

2，贝(J%=__________.

n4-T?

19.已知数列｛风｝满足4向=—%,4=1，则数列｛%a“+J的前10项和为（）

A10n11

A.—B.—C.—D.—

1110109

20.设数列｛4｝的前〃项和为S.，且q=l,｛S“+”%｝为常数列，则a“=（）

12

A.FB，+

C6r5-2〃

D.-----

J+1)(〃+2)3

考法四、取倒数法

21.己知数列｛4｝满足4=1,〃向=5*，则下列结论中错误的有（）.

A.+为等比数列B.料,｝的通项公式为4=力，

a„J2-3

c.｛4｝为递减数列D.ff-的前〃项和7；=2"*2-3〃+4

22.已知数列｛%｝满足4=1,^=^71-则数列｛%《田｝的前100项和为（）

99c100

A.B.-----

298301

「25n75

C.D.-----

304304

变式训练

23.已知数列｛《,｝满足《=:，4同=一、，则/。23=（）

2+1

A」B.']

C.——D

202120222023'2024

24.在数列｛%｝中，已知“4=2,=2+]则…)

22〃+1

A.---B.C.〃+lD

)7+1nn

ra”则数列[3±U1的最小值

25.已知数列｛4｝满足4川4=1,数列｛b.｝满足々=1,bn

2a“+l'an[nJ

为（）.

A29C2243

A.—B.C.27BD

436

考法五、构造法求通项公式

26.已知数列｛q,｝的前〃项和为S“,%=S“+2"X=2,则S"=()

A.(〃+1)-2"B.(〃+l)-2"TC.n-2"-'D.n-2n

27.已知数列｛4｝中，q=l,=2a„+1-a„(nGN*),则/=()

28.若数列｛〃"｝满足《=1,且a“=〃(a“+|-aJ(〃wN*),则4+4+…+q=()

A口B.C.日D.r

222

29.已知数列｛"“｝满足关系：4=1,当〃22时，2az,-a,i+1=0,则4=()

715

A.31B.15C.—D.---

816

变式训练

30.已知在数列｛叫中，4=*,“,出=?"+1],则。“=()

31.已知数列｛叫的前”项和为5"，满足S.+2〃=2a“，则％1K?=()

A.22022-2B.22O23-2C.2故4_2D.2202,-2

32.已知数列｛叫满足4=/七(〃*2,"€N)且4=g,则｛51的第〃项为()

n1

A.2〃B.-C.3〃一1D.—

22n

33.数列｛《,｝的首项《=2,且a,用=4a“+6(〃eN*),令2=log2(a“+2),则殳曲若为

A.2020B.2021C.2022D.2023

考法六、因式分解、取对数、周期等求通项公式

r\2

34.已知数列｛a,,｝的各项均为正数，记阻｝为数列｛4｝的前〃项和，a,、工（〃eN*）,a,1,则，=()

A.13B.14C.15D.16

35.已知数列｛《,｝满足q=2,,7,,+l=<?：，则。6的值为（)

A.220B.224C.21024D.24096

36.设数列｛%｝满足。=，且4="»则“2022=()

A,—2B.—c—D.3

3J2

变式训练

若%，则

37.数列｛4｝满足2"4=2*+&+「1,且4=g,"的最小值为（）.

A.3B.4C.5D.6

Ll..4〃~+8〃+5

38.设数列｛4｝满足4=3,a,+|=3a“-4〃，若a=,且数列也｝的前”项和为S”,则S.=()

八2)42〃c.〃(i+—]

A.〃1B.1■D.+

16n+9)36n+9I6/2+9JI6/7+9J

参考答案：

1.D【详解】解：设等差数列｛4｝的公差为“，又小,4,%。成等比数歹U，

所以d=a「qo，则(3+3d)2=3x(3+9d),解得：［=()或［=］

所以q=%+("-1)〃="+2或3.

故选：D.

2.B

【详解】设等比数列的公比为9，

［a,q4-a,q2-\2fo=2

由%-%=12,%-%=24可得：｛,3J

［q八收3=24

所以%=%q”-'=2"T,S„=空二9=二=炉一1,

\-q1-2

c_i

因此==*=2-2〜

a„2

故选：B.

3.D

【详解】解：•.•数列｛《,｝中，%=3,%=1，且数列［一］是等差数列,

11_L__L

二数列一；的公差1+13+1_11_11.।,

曾“+”「J?一运用一币12-6

11yl31

-77=7+16xT7=9解得知:一

%+161223

故选：D.

4.C

【详解】设正项等比数列｛〃〃｝的公比为q

a2a4=64=>〃；=64n%=8

而q+4=10,则q=2,所以/=&=4,所以q=2

a\

S,=a'^~q)=2,,+1-2=126)解得"=6

1-4

故选：C

5.A

【详解】•••“/=i,67—底=i,

｛底｝是以i为首项，以1为公差的等差数列，

2

/.脆I=+-1)x1=l+(〃-l)xl=〃，即Sn=n,

・，・a〃=S“-S〃_]=〃2—(〃一1)~=2〃-1(n>2).

当〃=1时，〃1=1也适合上式，.二%=2〃-1.

故选：A.

6.A

【分析】等差数列通项公式与前n项和公式.本题还可用排除，对B,3,

2

54=4(-：+2)=_]0N0,排除B,对c,S4=0,a,=SS-54=2X5-8X5-0=10^5,排除

2

C.对D,S4=0,a5=S5-S4=1x5-2x5-0=|*5,排除D,故选A.

【详解】由题知，.邑=4q+5,4x3=0,解得[：；；3一.““=2”一5,故选A.

a5=at+4d=51一

7.D

【详解】解：因为3s“=4%-4,当”=1时35]=4囚-4,即《=4,

当〃=2时3星=4%-4,解得的=16,

当〃=3时3邑=4/-4,解得见=64,所以邑=4+16+64=84：

故选：D

8.C

【分析】根据%与。的等式，求得1的通项公式即得解.

【详解】〃=1,工=：,7；=6。2a3…则4=；("22),代入：+工=3,

化简得：7；工=：，则(=审，工。号.

故选:C.

9.A

【分析】4+2%+3%+…+-1)•2"+1即数歹(J{〃4}的前〃项和为S”=(〃-1)•2"+1,

根据4,=5“-5,1，〃*2代入计算.

【详解】当"W2时，由％+2a2+3%+…+⑶”=(〃-1>2"+1,①

得q+2x1,+34+♦♦♦+(〃—=("-2)。2"'+1,②)

①一②，得nan=[(/7-1)-2"+1]-[(«-2)-2"-'+l]=„.2'-'(n>2),

所以q=2"T(〃N2),则为=64.

故选：A.

10.B

【详解】当”=1时，$=24.1,得4=1,

当〃22时，S,i=2a,”1-l,

所以4=S“-S,i=2a“-2a,i，即4,=2a,i，又q=l,

所以数列｛q｝是首项为4=1,公比4=2的等比数列，

所以=2*'，s„=^-=2"-l,

"1-2

q，"一i

所以法=于=2-2~.

故选：B

11.D

【分析1先将等式化为4,4-的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出％.

1212=可一|2=]=._

【详解】当"=1时，-----=1=4=-1；当〃22时，ananan

44—

Un-\

于是｛叫是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以为=-1-25-1)=1-2".

故选：D.

12.C【详解】因为q+3a2+♦一+(2〃-1)〃“=2及，

所以〃22时，q+34+…+(2〃-3)«1=2(〃一1),

2

两式相减得(2〃-1)。〃=2,^=——,

2n-l

2

又4=2,满足此式，所以“罚,

2〃+1（2/7-1）（2/?+1）2〃-12〃+1

所以数列｛七｝的前io项和为得V)120

2?2?

故选：C.

13.A

【详解】由题得S.14,5H.I=<I+^„_I-14（At>2）,

两式相减得%=%：-+J0〃一g"〃-1（〃之2）,

2a=

所以an一一:〃〃一gn-\°（〃-2），

所以(4-%)(«,,+%)--(«„+%)=0(〃22),

所以(«„+3-%-自=°(〃22),

因为数列是正项数列，所以d>0,

所以a“--；=0(〃22),

所以4-4.1=g(〃22),

所以数列｛4｝是一个以4为首项，以g为公差的等差数列.

令〃=1得q=a：+gq—14,解之得4=4,

所以S”=〃x4+(〃-l)x—x-=----------.

“224

故选：A

14.C

【分析】首先利用累力口法求出a“=〃2-〃+20,〃eN*,然后利用双勾函数的单调性可求出区

n

的最小值.

【详解】因为“向一％=2,所以。向-4=2〃

n

所以%—q=2,%-%=4'.・M〃—4.T=2(〃—1)

以上各式相加得。〃一4=2+4+…+2(〃-1)=2

所以〃〃=/一〃+20,〃22

当〃=1时，4=20符合上式，所以q=〃2一〃+20,〃GN*

所以"=〃+至-

nn

所以〃W4时殳单调递减，〃25时幺单调递增，

nn

因为牛=令，所以”的最小值为牛=§=8，

45n45

故选：C

15.B

【分析】根据题意利用累加法求解即可

【详解】因为数列｛%｝满足〃,用-4=2",4=1,

234

所以02-4=2',a｝-a2=2,a4-a3-2,a5-a4=2,

所以(%-4)+3-%)+3-%)+(%一4)=2〔+2-+234-24,

所以。5=-2+23+24=31,

故选：B

16.A

【分析】利用累乘法求出数列｛%｝的通项公式，然后利用裂项相消法可求得S3。的值.

.八二〃

【详解】v(/?+2)a=na,

Zf+In明及+2

”.幺..…〃〃=112n-\11__1_

4。2an-\234n+1H(H+1)nn+\

因此,

故选：A.

【点睛】结论点睛：常见的裂项公式:

1_Ifl11

()(；

1—n[-n-+---K77)=7k\n------n--+--k7J

1\(\1

(2)r----------=-------------------

(2〃-1)(2〃+1)2Un-12〃+l

]_j_rii

(3)

(4)

17.B

【分析】首先求出题中等差数列也,｝,然后再利用么=4用-%结合累加法求出％.

【详解】由题知，也｝为等差数列且%=1,%=15,

有为=为+7d=15nd=2,Z?)=b2-d=-1,

即他｝是首项々=-1,公差d=2的等差数列,

设等差数列出｝的前"项和为5”,

有S,=〃2-2〃，

因为2=%+「4,，

有品=4+仇+…+4=(«2-4)+(%-«2)+…+(%-&)

=%—q=62—2x6=24,

即%—4=24=>%=25.

故选：B.

9

18.一##1.8

5

【详解】因为%”=%+―-,所以4111

n+n

a2~a\=1--

2

--1-----1

则当刀N2,1wN*时,«23,将〃-1个式子相加可得

11

.1111--因为4=1,则q=2-1(〃22),

a-CL=1——+-------+・・.+----------

n〃1223n-\nnn

当〃=1时，q=2=1符合题意，所以。〃=2--,n>l,neN\

1n

19

所以6=2_g=：

9

故答案为：—

19.A

【解析】利用累乘法求出数列｛4｝的通项公式,然后利用裂项相消求和法可求数列｛%《用｝的

前10项和.

nn,o,aa„,12n-\1

【详解】Q*=Q4,----,贝Ua”=4•~~♦=1x-x—x••«x=一

a

〃+1-----、/a?n-\23nn

+nA?4-1

i110

所以，数列也4向｝的前10项和为九+...十=1-----=——

10111111

故选：A.

20.B

T

【分析】由已知可得出，+加〃=2,进而可得S〃+(〃-1)。叱=2(n>2),两式作差得

5+1)4,然后利用累乘法求出%即可.

【详解】因为⑸+时｝为常数列且4=1,所以有S〃+w〃=2,①

当〃之2时，=2,②

。“〃一1

①一②得：5+1)4=5-1)。,1,即——=-一;

a,a.an12n-\2

从而募/工.•…二=打…XQ，得而而，

当〃=1时，上式也成立.

故选：B.

21.D

【详解】由“用=总一两边取倒数：—=^^=—+3,即一!一+3=2('+3),又

2+3凡an+iananantla„

—+3=4^0,

q

首项为4,公比为2的等比数列，A正确.

'+3=4x2""，即a“=。，B正确.

a„2"'-3

由通项公式知：｛4｝为递减数列，C正确.

因为，=2川-3,所以7；,=(22-3)+(23-3)+.••+(2"+|-3)=2(2'+22+..•+2(,)-3/7

=2>…一，一3“=2"+2-31,D错误.

故选：D

22.B

【详解】因为4=1,根据。向=卢3可知，%>0,=^^=-+3,即

-一一-i-=3,故数列为等差数列，即-L=I+3(〃-1)=3〃-2,所以a=丁二，即有

%%[a„]a„3〃-2

,数列｛44+J的前10。项和为

“闪向一(3/1-2)(371+1)—33〃一23九+1

-LI4-----1+•••]---------=—II-------=----.

3\\4J(.41)(298301〃3(301J301

故选：B.

23.D

【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可.

【详解】解：因为。田=47,则」--'=1,又4=:，则'=2,

所以数列｛,｝是首项为2,公差为1的等差数列，

a“

1,|

所以—="+1,所以4,=--,

a„n+1

11

贝lj=----------=-------

-0232023+12024

故选：D.

24.B

【分析】由递推公式。的=#-取倒数得到是等差数列，先求,，再求

2+%匕」%

111

是以丁=5公差"=5的等差数歹U.

1n2

.••二-=不，a“=-

42n

故选:B

25.A

【详解】解：=不%,«,=＜，

2a“+1

11c11.1,

——=一+2,即-------=2,—=1,

aa

«n+ln4用„«1

，数列［J］以1为首项，2为公差的等差数列，

—=l+2(n-l)=2«-I,

数列｛2｝满足仇=1,b,_b“T=；=2n-l(n..2),

n

所以2=S〃-〃-2)+.....+(62-4)+4

=(2〃-1)+(2〃-3)+...+3+1

n(2n-1+1)

5=1时也成立）,

2

13

所以」——=-----=〃+—

n9

4*/W=X+—,XG[1,+00),

X

小、[13X2-13

yw=1-7=-

可得：函数/（X）在［1，加）上单调递减；在［疝,+8）上单调递增.

而〃3)=3+£=7+g,〃4)=4+与=7+；,

，数列I"“)的最小值为券.

故选：A.

26.D

【分析】根据给定条件，结合。向=S〃7-S〃变形，构造数列，再求数列通项即可求解作答.

【详解】因为*=S”2T则5川7“=5“+2味于是得爵喙=1，

因此数列图是公差为1的等差数列，首项方=1，则/=1+(”-1)x1,所以S"=".2".

故选：D

27.A

【分析】把给定的数列相邻两项间的关系等式变形、整理可得新数列，求其通项即可作答.

【详解】数列｛q｝中，因〃wN",〃“一%+1=24+一4，显然为工()，

一11crL1i

从而有-------=2,即数列｛一｝是等差数列，公差七2,—=1,

贝lj'~二2〃-1,即勺二丁二，所以％=g,

故选：A

28.A

【分析】由递推式可得乌弋-"=0,进而可得通项公式，应用等差数列前〃项和公式求值

n+\n

即可.

【详解】由题设，4-％=0,而?=1,所以4=〃，

〃+1nI

ri〃(及+1)

则4+%H---Fan=--—.

故选：A

29.C

【分析】依题意可得4+I=g(%+1),即可得到｛q+1｝是以2为首项，g为公比的等比数

列，从而求出｛%｝的通项公式，即可得解；

【详解】解：因为当“22时，2%-%T+1=°，-p所以牝+1=；(q.1+1)，且

4+1=2,所以｛《,+1｝是以2为首项，g为公比的等比数列，所以可+l=2xg『，即

4=(£)-1，所以%=固一占(•

故选:c.

30.A

【分析1依题意可得2"，％-34（2%.-3）,即可得至|｛2"q-3｝是以为首项，；为

JJJ

公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；

【详解】解:因为4=1，6=+，，+（；广，所以2用刀向=|-2%+1,整理得

，，+1H

2-«„+1-3=|-（2a„-3）,所以数列｛2"q-3｝是以2q-3=-：为首项,|为公比的等比数

列.所以2a-3=中|『，解得可1卷

故选：A

31.B

【分析】先通过退位相减求出为=24-+2,再通过构造等比数列求出进而得出答案.

【详解】当〃=1时,S]+2=2q,4=2,当〃22时，Sn,l+2（n-l）=2an_l,

S〃+2〃­S〃_1一2（〃-1）=2an—2a〃_i>即4=2%—+2,afJ+2=2（a“_]+2）,

+g=2,血+2｝是以q+2为首项，以2为公比的等比数列..•.。.+2=4-2”、

an-\+Z

。”=2川-2,a?侬=2*2.

故选：B.

32.A

【分析】在等式%=六七7两边取倒数，可推导出数列为等差数列，确定该数列的

2%T+1山

首项和公差，进而可求得

a„,12。“,+11八

【详解】当“22且〃eN*，在等式4।两边取倒数得一=3-=—+2,

2«„.|+14a„_｝a„_,

一=2,且'=2,所以，数列为等差数列，且首项为2,公差为2,

%at[fl„J

因此，，=2+2（〃-l）=2〃.

故选：A.

【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查计算能力，属于基础题.

33.C

【分析】由题意得4m+2=4（勺+2）,结合已知有｛4+2｝是首项、公比均为4的等比数歹U，

进而得到2,即可求目标式的值.

【详解】•••a“M=