吉林省延边州2022年高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知/（x）=log2（x—1）+JX2—2X+4,若/（+则x的取值范围为（）

（1-小1+忖

A.（-oo,0）u（l,+oo）122J

席。仲¥）

D.（-l,0）U（l,2）

2.已知同=2及，5=3,a,b夹角为（，如图所示，若通=54+25，AC=a-3b>且，为5c中点，则

而的长度为（）

A

A"B如

22

C.7D.8

3.若函数尸|苗（尸1）的图象与直线产2（方力有且只有2个公共点,则实数t的所有取值之和为（）

A.2B.-2

C.1D.-1

4.已知实数x,y>0,且，+y=l,则2x+』的最小值是（）

A.6B.3+2应

C.2+3&D」+0

5.已知扇形的周长为8。加，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为

A4cm2B.6cm2

C.8cm2D.16cm?

6,若集合A={x|x<3},8={x|x〉0},则ADB二

A.{X[0<X<3}B.{X|X>0}

C.{x|x<3}D.R

7.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

8.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列

两个事件为互斥事件的是

A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”

B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”

C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”

D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”

9.如图，一个水平放置的平面图形的直观图AB'C。'是边长为2的菱形，且0'£>'=2,则原平面图形的周长为。

A.4五+4B.476+4

C.8五D.8

10.已知函数〃力=,2+1,X-0若/(/(0))=2a,则“的值为

log2x+a,x>0

4B-4

c.-lD.1

11.已知函数y=/(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象

沿X轴向右平移5个单位，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=/(x)的解析式为

A/(x)=；sin2xB./(x)=^cos2x

C.7(x)=；sinx

D./(x)=—cosx

12.各侧棱长都相等,底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P-ABC的侧棱长为。，侧面都是直角三角形,

且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()

A.&兀a，B.21/

C.也兀『D.36

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.函数/(x)=lnx+JT=］的定义域为.

14.不等式log4的解集为.

15.已知一组数据王,工2,…，Z的平均数工=10,方差,尸=15,则另外一组数据3玉+2,39+2「-,3乙+2的平均数

为,方差为.

16.下列四个命题：

①函数/(幻=35亩(2%+5］与8(幻=385(2%一5)的图象相同；

②函数/(x)=sin4x-cos'x的最小正周期是乃；

③函数/(x)=2xcosx的图象关于直线》=71对称;

④函数/(尤)=sin(-2x+g］在区间一展，工上是减函数

其中正确的命题是(填写所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知函数f(x)=log2(x+3),g(x)=log)(3-九)

⑴求函数h(x)=/(x)-g(x)的定义域;

⑵判断函数/7。)的奇偶性，并说明理由;

(3)如果/?(x)〉l,求x的取值范围.

18.已知函数/(司=幺£±1

(1)当4=1时，解方程lg/(2x)-lg/(x)=l-lgl6；

(2)当xe(O,l]时，|/(2x)-"x)|21恒成立，求"的取值范围

19.已知函数/(*)=mx2+4mx+3,m&R

＜1)若m=r求f(x)W。的解集；

(2)若方程f(x)=0有两个实数根xj孙，且M+第—3匕犬2＞0，求,八的取值范围•

20.已知函数〃上士-inx.

⑴求.”2)，吗"⑻,吧

的值；你能发现了(X)与有什么关系？写出你的发现并加以证明:

(2)试判断了(可在区间(0,+。)上的单调性，并用单调性的定义证明.

21.已知函数/(x)=邪sin(®x+^)+2sin2-1(啰＞0,0＜。＜乃)为奇函数，且/(x)图象的相邻两对称轴

TT

间的距离为7.

2

(1)求“X)的解析式与单调递减区间；

(2)已知〃x)在啖卑时，求方程力⑴+&⑺-3=0的所有根的和.

22.已知塞函数”x)=(〃?-1)2/毋"+2在(0,+。)上单调递增，函数g(x)=2x-Z.

(1)求加的值；

(2)当xw[l,2)时，记〃x),g(x)的值域分别为集合A8,设〃:若〃是4成立的必要条件，求

实数攵的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1、C

【解析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式.

/、x—1>0

【详解】函数/（X）的定义域需满足$_2丫+4〉0，解得：X>1,

并且在区间（1，+8）上，函数单调递增，且/（2）=2,

所以/（/一万+1）一2<0=/（》2一万+1）</（2）,

x2-x+l>1~.1+J?1-J5

即解得：1<x<或------<x<0.

x-x+l<222

故选:C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.

2、A

【解析】AD为AABC的中线，从而有通=g（AS+定），^AAB,AC,根据长度|旗卜扁7进行数量积的运

算便可得出入D的长度

【详解】根据条件：A^=|（Afi+AC）=1（5a+a,26-3^=|（6a-^）=3a-1^；

故选A

【点睛】本题考查模长公式，向量加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，根据公式|AD|=J后计

算是关键，是基础题.

3、C

【解析】可直接根据题意转化为方程W（x-l）=2x-2t有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即

可求得各个t的值

【详解】由题意得方程国（》-1）=2》-2/有两个不等实根，

当方程有两个非负根时，

令xNO时，则方程为％（工-1）=2%-2乙整理得x2—3x+2t=0

A>0

b9

《一丁〉°,解得04f<u；

2a8

2r>0

当x<0时，一/一x+2f=o

△<0,解得，<-：，故不满足满足题意；

O

当方程有一个正跟一个负根时，

当x>0时，x2-3x+2z=0»

fA=0

.9

]b>解得>

-->08

.2a

当x<0时，方程为一/一》+2/=0,

'△=()

'b>解得f=-g:

--<08

.2a

当方程有两个负根时，

令x<0,则方程为一V-x+2f=0，

A>0

b]

<<0解得—<f<0,

2a8

2r<0

当xNO,x2-3x+2r=0

9

△<0,解得，>G，不满足题意

8

19

综上，t的取值为-7和二，

88

因此t的所有取值之和为1,故选C

【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可;

关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，/(0)进而判断，必要时可结合玉+Z和王々进行判断

4、B

【解析】构造2x+^=2xl1、1

+—+y=3+2盯+一，利用均值不等式即得解

yy)x7xy

【详解】2x+-=\2x+-J-+y]=3+2xy+—>3+2>/2,

yIy八x)xy

当且仅当2孙=',即无=1+正，y=&-1时等号成立

切2

故选：B

【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

5、A

【解析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出

【详解】设此扇形半径为r,扇形弧长为l=2r

则2r+2r=8,r=2,

.•.扇形的面积为1/r=r=4c>

2

故选A

【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题

6、D

【解析】详解】集合A={x|x<3},3={xW（）},

所以A<JB=R.

故选D.

7、D

【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.

【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正

确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.综上，真命题是②④.

故选D

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是

中档题.

8、C

【解析】对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于跟事件“甲分

得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于。，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得

1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但。中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.

9,B

【解析】利用斜二测画法还原直观图即得.

【详解】由题可知0'0'=A'0'=2,ZA'OZ>'=45",

6>,A,=272»还原直观图可得原平面图形，如图，

则0D=20'。'=4,0A=O'A'=2形,A3=DC=2,

•••AD=yJo^+OD2=J(2可+42=276.

原平面图形的周长为4#+4.

故选：B.

10、D

【解析】/(/(0))=/(2°+l)=/(2)=l+a=2a:.a=l,选D

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现

/(/(«))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,

然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

11、B

【解析】分析：将y=2sinx.的图象x轴向左平移1个单位，然后把所得的图象上的每一点的纵坐标变为原来的四分

之一倍，横坐标变为原来的二分之一倍，即可得到函数y=/(x)的图象，从而可得结果.

详解：利用逆过程：将y=2sinx.的图象x轴向左平移1个单位，得到y=c。院的图象；

2

将y=COB的图象上的每一点的纵坐标变为原来的四分之一倍得到y=；cosx的图象；

将y=|COSA-的图象上的每一点的横坐标变为原来的四分之一倍得到y=gcos2x的图象，

所以函数y=/(x)的解析式为gcos2x,故选B.

点睛：本题主要考查了三角函数图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先

周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

12、D

【解析】因为侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体

的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：舟;

所以球的表面积为：乐[,a[=3na2

故答案为D.

点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置,

球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平

面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两

条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径.

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13、（0,11

【解析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.

【详解】函数/(x)=lnx+J。定义域满足:

x>0

13。解得—

所以函数f(x)=lnx+J。的定义域为(0,1]

故答案为：(0,1]

【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题.

14、（0,2]

【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由题设，可得：log,XVlog#，则0-£2,

不等式解集为(0,2］.

故答案：(0,2］.

15、①.32②.135

【解析】由平均数与方差的性质即可求解.

【详解】由题意，数据3%+2,3/+2,…,3x“+2的平均数为3工+2=32,方差为3?xl5=135.

故答案为：32；135

16、①®④

【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.

【详解】对于①，3sin(2x+-)=3cos(2x+---),所以两个函数的图象相同，所以①对；

442

对于②，/(x)=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)

=sin2x—cos2x=—cos2x,所以/5)最小正周期是丁=万，所以②对;

对于③，因为/(x)=2xco&x,所以/(0)=(),/(乃)=—2»，/'(2万)=4万，

因为/(0)。/(2»)，所以函数“X)的图象不关于直线—乃对称，所以③错,

TT7T

对于④，/(x)=sin(-2x+—)=-sin(2x-y),

、t,「九Q八71,冗冗、

当xe［一不，不时，2x,

7TTT57r

所以函数/(%)=-sin(2x-y)在区间［-五,五］上是减函数，所以④对,

故答案为①©④

【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正

弦型函数的单调性，属于简单题目.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17、(1)(-3,3)；(2)见解析；(3)1<%<3

【解析】⑴根据真数大于零列不等式，解得结果，⑵根据奇函数定义判断并证明结果，⑶根据底与1的大小，结合对

数函数单调性分类化简不等式，解得结果.

x+3>0/、

【详解】(1)由彳3_丫〉0，得一3VxV3,二函数〃(x)的定义域为(-3,3)

(2)由⑴知，函数〃(X)的定义域关于原点对称，且/z(r)+〃(x)=0,

h(—x)=-h(x)9/.函数/z(x)奇函数

x+3

x+3---->2

(3)/?(%)=log,——->1,所以<3-x,解得1<x<3,

3—x

-3<x<3

所以1cx<3.

18、(1)x=l

,、(Hl「5

(2)

I3JU13-,+°o

【解析】（D当a=l时，/（刈=亨，求出/（2x）,把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果;

3—1

_,3*_3Xt1—1

(2)|/(2x)-/(x)|>l<=>/a：2->l«|a+l|>2x-12x,令3*=/,f«1,3],Jl!)|a+l|>----对任意/e(l,3]

恒成立，利用函数的单调性求出g«）=r-』的最大值，再求解绝对值不等式可得实数。的取值范围

【小问1详解】

a-y+l3'+l

解：当a=I时，/（x），/（2x）

3'-13T32,7

原方程等价于怆弓f(”2x\=lg1/0且/(,2x、)>0,//x、>(),

/⑴16

(可+1

(3')2+1

且>^>0,3X+1>0,所以(3')~T=5,且3'>1

喘嚓(3，)-13V-13V+1-8

y-1

『+15

令3'=/,则原方程化为大，整理得3/一10，+3=0,

O

解得r=3或/=即3'=3或3x=：（舍去），所以无=1.故原方程的解为x=l

【小问2详解】

解：因为|/（2x）-/（x）,l,所以21,即>1

31

令3*=f，因为xe(O,l],所以re(l,3],广一1>0

则坐¥21恒成立，即―(1,3］上恒成立，

令函数g(f)="；,因为函数'=。与旷=-；在。,3］上单调递增，所以g⑺在(1,3］上单调递增

Q(8/_1QQ

因为g⑶=1，g(l)=O,所以g(r)qo,5,则=所以a+］?“

解得。<一节或故4的取值范围是(一8,-5U:300)

19、(1)^.|-3<x<-1}

(2){m|m<0或is)'

m津

【解析】(1)根据题意，解不等式产+打+3<0即可得答案；

(2)由题知，m=0，再结合韦达定理解过+2_3%上=(A\+x)2-。即可得答案,

x25XZX2>

(A=16m2-12m>0

【小问1详解】

解：当m=1时，f(x)=x2+4x4-3,

所以f(x)=A,2+4x+3=(x+3)(x+1)<0>解得一3<%<-1,

所以fCOM0的解集为3-3MxW-1?

【小问2详解】

解：因为方程f&)=0有两个实数根；，心，

所以「m工0'解得m<0或、s,

1A=16m2-12m>0'工

所以3，

%+x2=-4,>\必=一

所以15，解得出<0或15-

好+号一3xtx2=(小+'2)‘-5XXX2=16-—>0m>-

综上，m的取值范围为{m|m<0或空丫

20、(1)/(2)=1-ln2,/|+ln2»*e)=±Tne,/三+lne,/(x)与的关系:

+j=l,证明见解析

(2)〃力在(0,+。)上单调递减，证明见解析

【解析】(D通过函数〃x)解析式计算出/(2),/(；),〃e)通过计算证明〃x)+/

1.

(2)通过芭>%2，/(%)一/(9)<0来证得/(x)在区间(0，+。)上单调递减•

【小问1详解】

1、1-_li=-+ln2

〃2)=-In2=--ln2,/l-n

1+225F25

1+J

1-Ine,A1

--\n-=-^—7+\ne.

1+e2"8e1+e2

1.

1—Inx,.•./(：)=1x~9

y-In—=+lnx

证明：''l+x2xi+x2

—1^--lnA+^+lrw=l.

•••/(%)+/v

l+x2l+x2

【小问2详解】

/(x)在区间((),+")上递减.

1

证明如下：Vx,,x2€(0,+oo)且玉>%2,/(%))-/(%2)—InXj一-lnx

1+X；1+X；2

11、

l+x；1+xj一叱喙

,.<%)>x2>O,/.1+^>0,l+%2>0,x,+x2>0,X2-A^<O,O<—<1.

玉

・・・僧篇1＜。崂＜。"(6/(力黄磊沪母。

在+。)上单调递减.

・••/&)＜/(x2),.-./(x)(0,

不，37，

21、(1)/(x)=2sin2x,----卜k兀,----FK7T,kwZ

44

(,2、)——11万

6

【解析】⑴将函数变形为/(x)=2sin"+。-看J,由函数的周期及奇偶性可求解；

(2)解方程得/(幻=-石或/(》)=咚，即sin2x=-#或sin2尤=¥，利用正弦函数的性质可求解.

【小问1详解】

/(%)=5/3sin(tyx+(P)+2sin2=/siMtyx+R)-cos(ox+°)=2sin(<yx+夕一看)

TT

•••f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为工，

2

f