计算机控制系统的描述与分析

动力工程计算机控制系统

能源与动力工程学院

本科专业学优课程

48学时，3学分

7

第四章计算机控制系统的

描述与分析

主讲人:黄勇理

7

第四章计算机控制系统的描述与分析

•4.1计算机控制系统的描述与分析

•4.1.1计算机控制系统的信号变换

•4.1.2线性离散系统的数学描述

•4.1.3微分方程向差分方程的近似转换

•4.1.4差分方程的解法

•4.2Z变换的基本理论

•4.2.1采样信号的数学描述与采样定理

•4.2.2变换的定义、定理和性质

•4.2.3求Z变换与Z反变换

计算机控制系统_HYL

第四章计算机控制系统的描述与分析

•4.3脉冲传谛函数及其捽制系统描述

•4.3.1用z变换法解差分方程

•4.3.2建立z传递函数

•4.3.3离散控制系统的结构分析

•4.4线性离散系统性能分析

•4.4.1线性离散系统稳定性分析

•4.4.2线件离散系统过渡过程分析

・4.4.3线件离散系统稳态性能分析

•4.4.4线性离散系统动态件能与极点分布

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4.1计算机控制系统的描述与分析

7

4.1.1计算机控制系统的信号变换

•计算机控制系统的信号变换和传递流程

、••・・・•一《•.••••••.•，、・、・-•・・、、

••二、，»a.i•♦一(t，.・-•・•・-・♦♦♦〜♦

―'■>a«■■-，、♦，♦/、*iz，t-»■・,■♦.-.■..•t,-■；b・•.、--*aynr<(------,・.1,-.

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4.1.1计算机控制系统的信号变换

•信号的四种类型

1.连续信号：时间连续、幅值连续；

2.离散模拟信号：在一系列离散的时刻上，

信号幅值连续；

3.数字信号：离散时刻上，幅值不连续，且

数值经过了整量化处理；

4,整量化连续信号：也称阶梯信号，时间上

连续，幅值是阶梯状的。

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4.1.1计算机控制系统的信号变换

•信号的四独类型____________________

tt

数字信号整量化连续信号

4.1.1计算机控制系统的信号变换

(1)采样开关

•利用采样开关周期性的瞬时开启，把连续信号y(t)转

变成离散的信号序列y*(t),这个过程称为采样。

•通常采样开关以等时间间隔T开启，称T为采样时间。

•若系统中的多个采样开关以等周期同时开闭，则称为

同步采样；

•若以等周期，但不同时采样，称为非同步采样；

•若多个开关以不同周期采样，则称为多速采样。

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4.1.1计算机控制系统的信号变换

•实际采样过程需要持续一段时间。

若：T«T,可以认为：

y(kT)=y(kT+AZ)0<M<T

若在采样周期内有N个巡回监测点，应保证：

T>Nx

计算机控金YLIIII""、1

0T2T3T4T5T6Tt

4.1.1计算机控制系统的信号变换

⑵模数转换(A/D)

•数字计算机只能处理二进制的数值。故采样得到

的离散模拟信号幅值需要变成二进制数的最小单

位q的整数倍，这个过程就称为整量化或称量化。

•若信号y*(t)的幅值并非q的整数倍，则量化过

程存在误差。从信号传递的角度看，量化误差是

一种噪声也是信号的损耗。

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4.1.1计算机控制系统的信号变换

(3)数模转换(D/A)与保持器

•控制对象的测量信号转换成数字信号y(kT)后，与给

定数字信号r(kT)比较，得到偏差数字信号e(kT),输

入控制器D(z),经运算处理得到输出数字信号u(kT)。

•对于时间离散的数字信号，模拟执行器(机构)通常

是接受不了也执行不了的,所以必须将时间离散的数

字信号重构成时间连续的信号。

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4.1.1计算机控制系统的信号变换

⑶数模转换(D/A)与保持器

•控制量的数字信号u(kT)先经数模转换，变成离散模

拟信号U*(t),再通过零阶保持器将kT时刻的信号值

保持到时刻(k+1)T,得到能被执行机构接受的控制量

u(t)o即：

u(kT)=u(kT+X)0<^t<T

•控制量u(t)是时间连续的幅值整量化连续信号。通常

D/A具有零阶保持器的功能。

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4.1.1计算机控制系统的信号变换

零阶保持器：

时域特性：

h0(t)=u(t)-u(t-T)

传递函数：

11_Ts

-Ts11—e

(S)=—e-二-------------------

0

频率特性：HSss

幅频特性:

相频特性:/Ho(jco)=-coT12

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计算机控制系统—

422线性离散系统的数学描述

•计算机处理的是离散数字信号，计算机控制系统是线性

离散系统或近似为线性离散系统。

•线性连续系统常微分方程：

心0立⑺

"o+…Q+Q(/)

dtnId严a〃八,

心®智包攻)

0dtm1dtmA"1dtm

计算机控制系统,

4.1.2线性离散系统的数学描述

•数字调节器可表示成线性离散系统，与线性连续系统

类似，输入与输出之间的关系可用常系数微分方程描

述，即：

y(kT)+a}y(kT-T)+a2y(kT-2。H----卜any(kT-nT)

=bd(kT)+bHkT-T)+b2r(kT-20+…+bmr{kT-mT)

,线性离散系统的分析方法也有古典法、变换法和离散

状态空间法。线性之义就是符合叠加原理，因此对线

性离散系统来说，表征其特性的差分方程应满足叠加

原理。

16

4.1.3微分方程向差分方程的近似转换

下面以大家所熟知的惯性环节为例说明：

K

G(S)=

TS+1

我们可以由差分概念,K微分方程推导出近似的

差分方程。上式作如下变化:

G⑸=^~;=瞿(T.s+l)Y(s)=KR(s)

TQS+1R(S)

作拉普拉斯反变换，得惯性环节的微分方程:

T.y(t)+y(t)=Kr(t)

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计算机控制系统—

4.1.3微分方程向差分方程的近似转换

•用y(kT)、=(取)分别代表丫仕)、r(t)的采样值。用差

分代替微分

=叱J（kT）-y（kT-T）

dt

•将y(kT)、r(kT)及上式代入微分方程得：

yly(kT)-y(kT-T)]+y(kT)^Kr(kT)

+)y(kT)-y(kT-T)^Kjr(kT)

•此即所描述的连续系统离散化后的差分方程

18

4.1.4差分方程的解法

•单输入/单输出(SISO)线性定常系统，对应的差分方

程常用的求解方法有：迭代(递推)法、古典法和z变

换法二种。

•(1)迭代法：如果已知差分方程和输入序列，并且给出了输出

序列的初始值，则可直接利用迭代关系逐步算出所需要的输出

序列。详见教材P45页

•(2)古典法：与微分方程类似，求解差分方程也有古典法，差

分方程的全解也包括两部分，即对应齐次方程的通解(瞬态解)

和非齐次方程的一个特解(稳态解)。具体解法见教材P46页。

•(3)Z变换法：对线性连续系统，拉氏变换使求解微分方程的微

积分运算简化成代数运算。同样，对线性离散系统，下面将要

介绍的Z变换法也可大大简化差分方程的求解。***

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4.2Z变换的基本理论

7

计算机控制系统—

4.2.1采样信号的数学描述与采样定理

•(1)、采样信号的表达式

•把连续信号变换为脉冲序列的过程称为采样。对一个

连续信号采样，就是用一系列离散值代替连续信号，

这一系列的离散值等于采样时刻连续信号的幅值，称

为采样值，

•亦即：fy(kT)

•如果给采样器输入一个连续函数歹仞，得到的输出将

是一脉冲序列y^(t)，它可以表示为：

*

y⑴=y(O)^(t)+—+…

+y(5)3(，一初)+…

21

计算机控制系统—

4.2.1采样信号的数学描述与采样定理

•上式中，5（0）或8（以7）为DiracDelta函数，也称为单位

脉冲函数。单位脉冲函数定义为：

「oot=kT

[0t^kT

J二3（，-左T）力=1

•根据单位脉冲的襦选特性，脉冲序列可表示为：

0000

*

y⑺=打)3(t——)=义谱”kT)

k=0k=0

(k<0,y(kT)=0)

22

计算机控制系统

4.2.1采样信号的数学描述与采样定理

・（2）、采样定理

•可以证明，对一个具有有限频谱（。＜3也办）的连续信

号y⑺采样，当且仅当采样频率3s（或采样周期T）

满足关系：

CDs—2comaxorTW兀/®max

•此时，采样信号y*⑺就能无失真地恢复为原来的连

续信号丁⑺，这就是著名的“香农（Shanon）采样定

理”。

23

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•一、z变换的定义

•z变换可由采样信号的拉氏变换推导出来。

•对于采样信号：

00

*

y(0=Ev(kT)3(t—kT)

k=a

•其拉斯变换为：

00

*_*Q00________sOt7

L[y(0]=y(s)=J()Zy(kT)5。—kT)e-dt

k=0

00

=Z>(左(t-kT)e-stdt

k=0

00

=Zy(kT)e-kTS

k=0

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计算机控制系统—

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•上式中，含有超越函数05，为了运算和书写方便，

我们引入一个新的变量Z：

Ts、1

s

z-e或s二一Inz

T

•将y*⑸记为Hz）,则有：

00

必（祝=丫*（5）=＞（口）产

k=0

00

丫⑶=y*=£y(kT)z.k

k=0

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•由此得出以Z为自变量的函数y（z）,我们称它为y*⑺

的Z变换，记作：

y（z）=

•Z变换的定义为：

00

y（z）=Ey（kT）z』=X0）+y3+y（2T）z-2++…

k=0

•由上式可以看出，采样函数V⑺的z变换y（z）与采样

点的采样值M股）有关，或者说，级数中4的系数就

是时间序列M股）的值。

•一个函数的Z变换只有在采样时刻才有意义。

计算机控制系统_HYL

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•二、典型函数(或序列)的z变换

•(1)数字脉冲系列6左

•若将"定义为：]

n1k-n

§,=<

0k^n

n

•则有：Z[8k.n]=z

在求Z变换时，我们作如下规定：

函数八。在t=kT时刻的采样值人左7),就是在该时

刻的脉冲强度。而5⑺的脉冲强度是1,于是有：

Z[5(/)]=Z[5d=l

Z[d(kT-nT)]=Z[dk_n]=z-n>0

计算机控制系统_HYL

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•（2）单位阶跃函数

•对于单位阶跃函数，有：蛇尸1,「三o

*

u（，）=u{kT）=1k>0

00

k1—1—2

U(z)=Z\u{kT)]=Vz=1+z+z+-・・

可以看出，上式为无穷递减等比数列求和。由无穷

等比数列求和公式，得：

t/（z）=l+z-1+z~2H-———

1-zz-1

•思考，单位脉冲序列的Z变换是什么?

计算机控制系统_HYL

计算机控制系统

422Z变换的定义、定理和性质

•（2）单位阶跃函数

对于单位数字阶跃序列:

1k>0

〃k=q

0左<0

其Z变换结果与U⑴的Z变换结果是一样的

U(z)=1+z-1+z-2d—=—二-=z

1-zz-1

29

计算机控制系统

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•(3)单位速度函数

f3=t^>0

或：f(kT)=kT左二0,1,2,・・・

由阶跃函数的Z变换

001

U(z)=1+z-1+z-2H——-\^z~k

k=6~l-z

两边对Z求导后，再乘以T,整理后可得:

Tz-11

F(z)=Z[kT]=-~~

(1—z)

30

计算机控制系统

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•(4)指数函数

f(t)=e~att>0

或：f左=0,1,2,・・・

•离散化后指数函数的Z变换为:

F(z)=Z[e~akT]

0000

、、—cikT—k、、/—ctkT\—k

=>ezz)

邑k=b

1z

1-ezz-e—ctT

31

计算机控制系统

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•(5)正余弦函数

/(0=sinco^和f(0=cosco^t>0

f(kT)=sinskT和f(kT)=cosskTk二0,1,2,…

•根据欧拉公式：

f(kT)=eJMkT=cosskT+7sinco左T

001

F(Z)=Zl*kT]=£U=匚击广

_1-(coscoT)z-1(sincoT)z-1

1-(2coscoT)z-1+z-211-(2coscoT)z-1+z-2

•比较上面两式可得：

z1(sincoT)z-111-(coscoT)z-1

Z[sinco/]=------------------；-----y和Z[cosco/]=------------------；-----5

l-(2coscoT)z-1+z-2l-(2cosmn^^^

计算机控制系统—

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•三、Z变换的性质和定理

•Z变换的性质和定理与拉氏换的性质和定理非常

相似。下面介绍几种常用的Z变换性质和定理。

•(1)线性性质

•设Z[y/D]=y(z),Z[双U)]=X(z),且Q、6为常数，则有：

Z[ay(kT)]=aY(z)

Z\bx(kT)]=bX(z)

Z[ay(kT)+Z?x(kT)]=aY(z)+bX(z)

•这个性质说明，z变换是一种线性变换。

33

计算机控制系统—

422Z变换的定义、定理和性质

•(2)平移定理：

•包括滞后平移和超前平移

•滞后定理

•设Z[y/T)]=y(z),且.TV0时,y(kT)=0,则:

Z[y(kT-nT)]=z~nY(z)

•滞后定理说明：时域中滞后某采样信号丁(左「有〃个采样周

期的采样信号y/T—⑺的Z变换，等于原采样信号的雇

换Y(z)乘以7〃。实际上，7〃代表滞后环节，它使采样信号

延迟了〃个采样周期，或者说，推迟了时刻才开始采

样,如后图所示：

34

计算机控制系统

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•实际上，”代表滞后环节，它使采样信号延迟了〃个采样

周期，或者说，推迟了〃丁时刻才开始采样，如图：

（0+1）T

ZF的滞后特性

35

计算机控制系统—

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•超前定理

•实际的超前环节是不存在的，但在运算中可能出现。

•设Z[y%T)]=y(z),则:

Z[y(kT+〃)]=znY(z)-zn£"〃尸

J=°

•z〃代表超前环节，表示输出信号超前输入信号〃个采样周

期。特别:

当n=l时，有：Z[y(kT+T)]=zy(z)-z^(O)

当口=1时，有：Z[y(kT+27)]=Z2Y(Z)-z2y(0)-zy(T)

若火。)=y(r)=••C=。

贝lj：Z[y(kT+nT)]=znY(z)

36

计算机控制系统—

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•(3)初值定理：

•设Z[y/T)]=y(z),则:

y(O)=limy(kt)=lim7(z)

k=0Zf8

•例：求单位阶跃序列〃(左T)的初值。

•［解］：已知单位阶跃序列的Z变换为：

•故由初值定理得:

1

〃(0)=lim〃(左力=lim------；=1

k=az—>00

37

计算机控制系统—

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•(4)终值定理：

•设Z[y/T)]=y(z),则:

y(oo)=limy(kt)=lim(z-l)y(z)

左=00Zf1

•例：求单位阶跃序列〃(左T)的终值。

•[解]：已知单位阶跃序列的Z变换为：

Z[〃(W]=J^r

l-z

•故由终值定理得：

u(co)=hmu(kt)=hm(z-l)-^=l

38

计算机控制系统

4.2.2Z变换的定义、定理和性质

•（5）迭值定理：（省略）

•（6）卷积定理：（省略）

39

计算机控制系统—

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•一、z变换方法

•z变换方法有三种：

•无穷级数求和法

•部分分式法

•留数计算法

•（1）无穷级数求和法

•是按照定义式直接计算的方法。将z变换定义式:

*00

y（z）=y（S）=fy(kT)z-k

s=—\nz

Tk=0

•展开成无穷级数求和式即可得。前述典型函数的Z变换

都是按定义展成无穷级数，再整理成闭合解析式的。

40

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•（2）部分分式法

•部分分式法是由函数的拉氏变换求Z变换的方法。

•当已知一个函数y（s）时，首先将y（s）展成部分分式：

•w（z=l,2,n）

ait

口匕⑸的拉氏反变换都是指数函数:匕4）=Ate-

•然后利用指数函数的Z变换式可求得y⑺的夜换。

•将函数的拉氏变换Y（s）展开成部分分式：

n

y（s）=z4

i=lS-p

式中：口.式）为y（s）的一阶极点（p尸一4•）；4为各分式的

待定系数。部分分式中的系数4可用初等数学中的待定系数法求

出，或用留数定理求出。

41

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•由留数定理可知：

4=(s-“)y(s)|…

•对应分式的拉氏反变换为：’

厂[-^]=4/"

•利用指数函数的Z变换公立，有：

z[A-ait]=a——

iez-e'

•由此得到Y(s)对应的y(t)的Z变换：

〃7〃1

y(z)=Z4一厅=Z4]"T

i=iz-ei=i1-ez一

42

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•例:已知连续函数了⑴的拉氏变换如下，求丫(Z)。

y(s)=---------------

(S+1)(5+2)

•解：部分分式展开有：

111

Y(s)=---------二――----

6+1J6+2)5+1s+2

•则可得：J1

^(Z)~i~~~——\^2T~~

1-ez1-ez

(1-e)ez

/1-T—1\zi—2T—1\

(1-ez)(\-ez)

43

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

峥例：已知连续函数/⑴的拉氏变换如下，求Y（z）。

1

y（s）=-.......

S（S+1）

•解：部分分式展开有：

“、1abc

Y(s)=-......=—+-7+-------

s(s+1)sss+1

•求系数a”,c:

d2d11

a=­[sy(s)]=—[----]=-------2二—1

dss=odss+1I(s+1)

5=0

1

1s2y⑸]=oc=[(s+i)y(s)ki=»=1

S+1s=0

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•因此得：1111

Y(s)=1--------+

5(5+1)75+1

•三部分分别有：

11

£、T=1⑺Z[1(O]

s1-z-1

1x

[Tz~

L-[-]=tZ[〃=-1x2

s(1-Z)

1-t7「T1_1

]=eZ[e]—"ry__zy

5+11-ez

•三部分相加得：7z-1

y（z）=—1-1+-l\2+i~~T-1

1-Z(1-Z)1=0台

45

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•（3）留数计算法

•若已知连续函数y⑺的拉氏变换y（s）及其全部极点:

“《=12…，办则可用下列留数计算式求得丫⑶：

m7

r（z）=Z[/（/）]=ZResy（s）一浮

ILz-e人

mf14见T「

=£\------lim——r（s-pj'Y（s）----7-

总[（%-1）!$*"Iz-eTs]

•式中：/为y（s）的极点口的阶数；加为y（s）的彼此不同极点

个数。

46

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

二、z反变换法

•如果已知丫⑵，求对应的时间序列或数值序

歹1上因，则称此运算为Z反变换，记作：

y(kT)=Z-l[Y(z)]或X^)=Z-1[y(z)]

•常用的Z反变换法也有三种：

•长除法

•部分分式法

留数计算法

47

计算机控制系统—

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•(1)长除法

设丫(Z)为多项式分式:

如加+给小+…+图

丫⑶二nn-\(H>m)

a^z+axzH-------ban

长除法就是用Y(z)的分子直接除以分母，长除的结果是

z的降幕级数:

00

2』

丫(2)=%+M2T+J/2z_+・・・+”24+•••=EykZ

k=0

48

计算机控制系统_HYC、

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•(1)长除法

此外，根据Z变换的定义：

00

*__小

y(z)=z)=

k=0

=y(Q)+y(T)z-x+y(2T)z~2+・・・+y(kT)z-k+…

•对比长除法的结果和定义式可知：

一(。)=%，y(T)=->(2T)=%,…，y(左T)=力，…

•若多项式分式中的分子关于Z的最高阶为一,而分母关于z的

最高阶为z3,则长除的结果关于Z的最高阶显然只能为2—2,

因止匕作Z反变换后，肯定有兴0)=0,兴7>0,延时两拍。

49

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•（2）部分分式法

•设丫⑵为:

7m7"2-11

bQz+给+…

y（Z）=--------------------------（H>加）

n（z-A）

•将等式两边除以zj：再展成部分分式：

y（z）az*2j./4

一n—乙

zn（z-口）aPt

z=l

其中：」（zeW：+L+，

[n（-A）

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

(2)部分分式法

则丫(Z)的z反变换为:

nA7n

y/T)=Z")］二z」E——=EA(PN

i=\Z-Pi\1

观察并理解下式除以Z的目的……

y(z)boz"—+Az"”?H—(4-

zn—pjiz-Pi

Z=1

其中：4=(zg空二小

n(z_Pi)

_，=1」z="K£J

计算机控制系统—

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•(2)部分分式法

求y（z）==的z反变换。

例:

•'解I：y(-z?+2z?+z+l_z?+2z?+z+l

z-Z3-Z2-8Z+12-(Z-2)2(Z+3)

,AzAz24z

=4x+—二~~7+^—

z-2(z-2)2z+3

2

B^z+B}z+B2Z+B3

(Z-2)2(Z+3)

52

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

•(2)部分分式法

•比较丫⑵分子部分各项系数。

—4。+4+42+43=1

4=+4+34—44—2

<

B2——8Z()—6Al+44-1

B3=12Ao=1

可联立求解得：A=—,4=—,A

o125022075

所以：y(z)」一2二+”—+〃工

1250z-220(z-2)75z+3

y(kT)=—5(Z:T)--2A+—(/;+l)2k+—(-3/

53

计算机控制系统

4.2.3Z变换与Z反变换方法

■(3)留数计算法

•留数计算法又称反演积分法。函数Y(z)可以看作是复数

Z平面上的劳伦级数，级数的各项系数可利用积分关系

求出：

1

Z-1[y(z)]=y(左T)=「恒⑵―力

2引*

•积分路径C应包围被积式所有极点，据留数定理知

n

歹(左T)=ZRes[y(z)z"，》

i=\

m(11Qi-1

=V\-------lim——p[(z-p^1Y1>

台[(%-1)"f

54

计算机控制系统—

4.2.3Z变换与Z反变换方法

所以可利用留数计算法求得Z反变换的数学解析式:

zTy（z）]=y%T）

n

="Res[y（z）z"L,

其中：加为y（z）彼此不相等极点的个数；

Pi为y（z）z'T中不相等的极点；

%为极点”相重的个数。

55

4.3脉冲传递画数

及其控制系统描述

7

4.3脉冲传递函数及其控制系统描述

•本节系统地介绍采用z变换求解线性微分方程

的方法。

•同时，类似于线性连续系统的传递函数描述，

引入脉冲传递函数（Z传递函数）的概念，用它

来描述离散线性系统。

•因此，线性离散系统既可以用差分方程来描

述，也可以用脉冲传递函数描述。

计算机控制系统_HYL

4.3脉冲传递函数及其控制系统描述

•z变换作为一个数学工具，可直接用来求解线性

差分方程，在给定的初始条件下，可以求得差

分方程的解析解。

•与线性连续系统相似，脉冲传递函数也是用来

分析线性离散系统的有效方法

•首先要了解建立脉冲传递函数的方法，与系统

结构相关的关联形式。

计算机控制系统_HYL

431用Z变换法求解差分方程

•拉普拉斯变换将微分方程转变为代数运算的

形式来方便微分方程的求解。

•同样，z变换也可将差分方程转变成代数运

算的形式，大大地简化差分方程的求解过

程，方便了离散系统的分析和综合。

计算机控制系统_HYL

431用Z变换法求解差分方程

•用z变换求解差分方程的步骤如下：

•(1)、首先对差分方程作z变换，主要涉及到z变换

的滞后定理和超前定理；

•(2)、然后利用初始条件或求出的伏0)/(与,一，

并将它们带入Z变换式；

计算机控制系统_HYL

计算机控制系统—

4.3.1用Z变换法求解差分方程

・(3)、整理所得差分方程的Z变换一般式，即可求出丫(z)：

1m1m-17

b°z+.ZH------卜靡

y(z)一~

aQz+axzHv-an

•(4)、由上式观察得出y(z)的最高阶数zr(q=n—m),从

而可判断出：

xo)=o,xn=。，…，-q—i)7i=o

•(5)利用长除法、部分分式法或留数法作Z反变换，求出

差分方程的解贝依)。

61

计算机控制系统—

431用Z变换法求解差分方程

•例：求解差分方程(后向差分)

y(kT)-4y(kT—T)+3y(kT-27)=S(kT-2T)

其中B为数字脉冲，BE)[1“二°)

[0(kw0)

•[解]：运用滞后定理对差分方程进行Z变换

r(z)-4z-1r(z)+3Z-2Y(Z)=Z-2-1

Y(z)=——=-----------

l-4z-1+3z-27(z-3)(z-l)

•观察上式，分子为零阶，分母为二阶，y(z)的最高阶数Z—2,故可推知

系统应有：y(0)=0,(7)=0,用留数法作Z反变换得:

k-\k—1

Z

y(kT)=lim(z-3)-----------+lim(z-1)

—3(z-3)(z-l)z—>l(Z—3)(z—1)

=0.5⑶i-0.5⑴-=-3k-0.562

_____________________6_______

计算机控制系统_HY

431用Z变换法求解差分方程

•可以观察到，上面的例题中，由y(AT)的解析式：

1

y(kT)=-3k-0.5

6

•当&=0,1,…时，可以计算得y(0)=—1/3,了⑴=0,八2)=1,…

•显然，其中的9(0)二一1/3与前面分析所得的y(0)=0相矛盾，这表明

的解析式只确定出22时的义助值，前面若干周期的实际结果，由丫⑵

的分析结果决定。

•令采样周期丁=1,k=2,代入原差分方程：

y(kT)-4y(kT-T)+3y(kT-2T)=3(kT-2T)

差分方程变为：

六2)—4底1)+3>(0)=8(0)

•将/(。)=0,y(l)=。,y(2)=1代入上式，可验证方程是成立的一

63

计算机控制系统—

431用Z变换法求解差分方程

•例：求解差分方程(前向差分)

y(kT+2T)-4.(-7+T)+3y(kT)=d(kT)(y(kT)=0,kWO)

其中b为数字脉冲，b(5)=P"二°)

[0(kw0)

•[解]：利用超前定理对差分方程进行Z变换

Z俗(左T)]=1Z2Y(Z)-z2y(0)-zy(T)-4[zY(z)-zy(0)]+3y(z)=1

由于已知：y(kT)=0,k<0将：.(0)=0,左=-1代入差分方程

可求得:y(T)=0

]1

代入Z变换式有：Y(z)=

z2-4z+3(z—3)(z—1)

z"lZ'T

y(kT)=lim(z-3)-----------------1-lim(z-1)---------------

z-3(z—3)(z—1)z-i(z_3)(z_i)

1

=0.5(3)J-0.5⑴J_3左_05

6

计算机控制系统—

4.3.2Z传递函数

一、z传递函数的定义

•Z传递函数是分析线性离散系统的重要工具。

•线性连续系统分析中，我们已经定义了传递函数：零初始

条件下系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，即：

L[y(t)]丫⑹

G(s)=------=----

加⑺]RG)

•零初始条件：时系统的输入量外⑺和输出量j⑺以及它

们的各阶导数均为零。

65

计算机控制系统—

4.3.2Z传递函数

、Z传递函数的定义

•类似地可以给出，线性离散系统z传递函数的定义：

•零初始条件下系统输出脉冲序列的Z变换y(z)与输入脉

冲序列的Z变换R(z)之比，即

Z[y(kT)]r(z)

Cr(Z)=--------二-----

Z[r(kT)]R(z)

•零初始条件：输入量序列外(一7),外(一27),...和输出量序

列V(—7)/(—27),…均为零：

66

计算机控制系统_HYC、

4.3.2Z传递函数

'Z传递函数的定义

•Z传递函数也称为脉冲传递函数(pulsetransferfunction)。Z

传递函数G(z)反映了系统的固有特性，它仅取决于描述离

散系统的差分方程。

y(kT)

>(z)

r(kT)

G(s)

R(s)'A(z)Hs)y(kT)=Z-l[Y(z)]

=ZTG(Z>R(Z)]

系统或环节的"专递函数67