专题10 平面向量（精讲）

第30页（共30页）专题10·平面向量命题规律高考中重点考查向量的基本概念及运算、向量数量积运算及其几何表示，平面向量的坐标运算是运算的关键，通过坐标运算可将几何问题转化成代数问题，进行垂直、平行关系的判定及夹角的求解，侧重于对学生运算和数形结合能力进行考查。题型归纳题型1绕三角形【解题技巧】三角形法则→共线（拉长或者缩短）→三角形法则→共线（拉长或者缩短）...周期反复，一直到推导为基底.【例1】（2022•禅城区模拟）如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE→A．−56AB→+16AC→【分析】根据点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点即可得出答案．【解答】解：据题意得：BE→=AE→−AB→故选：A．【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，是基础题．【例2】（2023•长安区一模）在平行四边形ABCD中，AE→=13ADA．65AF→−95CE→ 【分析】设AB→=a→，AD→=b→，将BA→，AF→，CE→【解答】解：画出图形，如下图：设AB→=a因为AE→=1因为CF→=1设BA→=mAF→+n解得m=65，n=9故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．题型2待定系数型【解题技巧】平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.1．选定基底，则λ12．处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系．【例1】（2023•安康二模）如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，若AC→=λAM→+μA．12 B．1 C．32【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出AC→=AM→+【解答】解：AC→∴λ＝1，μ=12，∴故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．【例2】（2022春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，AD→=λDC→，E是BD上一点，若A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由AD→=λDC→，得AC→=λ+1λAD【解答】解：因为AD→=λDC因为AE→=11因为E，B，D三点共线，所以1116+λ+1故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．题型3均值不等式求最值【解题技巧】利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围．【例1】（2022•河南模拟）在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|=14|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足A．22 B．43 C．4+23【分析】先根据共线向量中三点共线的推论，可得x+4y＝1，再结合“乘1“法，即可求解．【解答】解：∵|BD|=14|BC|，由A，E，D三点共线可得，x+4y＝1，且x＞0，y＞0，∴1x+2当且仅当x=2y，即故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，以及不等式的“乘1”法，属于中档题．【例2】（2022春•昭阳区校级月考）如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC→=4BD→，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N．若AM→=λAB→，AN→【分析】先确定λ，μ的关系，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵BC→=4BD→，AM→=λAB∴AD→=AB→+∵M，D，N三点共线，∴34λ+14μ=1，∴1μ=4−当且仅当λ=3时取等号，∴λ−1μ故答案为：23−【点评】本题考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，基本不等式求最值，属于中档题．题型4等和线求最值【解题技巧】等和线原理：；．【例1】（2022•江西模拟）在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|AD|=13|AC|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足A．4 B．43 C．8 D．【分析】由题意得AD→=13AC→，先设BP→=λ【解答】解：由题意得AD→=1则AP→=AB→+因为AQ→=xAB→+yAC→，则x＝1﹣λ，y=13所以1x+1当且仅当3yx=xy且x+y＝1，即y=故选：D．【点评】本题主要考查了向量的线性表示，平面向量基本定理，基本不等式求解最值，属于中档题．【例2】（2022秋•11月份月考）已知点G是△ABC的中线AF的中点，过点G的直线交边AB于点D，交边AC于点E．若AD→=λAB→(λ＞0)，AEA．12 B．1 C．2 【分析】由平面向量线性运算和平面向量基本定理可求得14λ+1【解答】解：∵G是AF中点，∴AG→∵AD→=λAB→(λ＞0)又D，G，E三点共线，∴14λ∴λ+μ=(λ+μ)(14λ∴λ+μ的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，还考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．题型5三角换元求最值【解题技巧】利用向量几何意义等知识转化为圆的概念和方程，再用圆的参数方程进行三角代换，可达到化繁为简的目标．【例1】（2023•成都模拟）在△ABC中，AC＝CB＝2，∠C=π2，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA→【分析】以C为坐标原点，分别以CB、CA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，可得C（0，0），B（2，0），A（0，2），设P（x，y），利用数量积的坐标运算求出PA→【解答】解：如图，以C为坐标原点，分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系，则C（0，0），B（2，0），A（0，2），设P（x，y），可得x2+y2＝1，PA→=（﹣x，2﹣y），PB→=（2﹣则PA→⋅PB→=x2+y2﹣2x﹣2y＝1﹣2x﹣2y，令x＝cosθ，y＝sinθ可得PA→⋅PB→=1﹣2cosθ﹣2sinθ＝1﹣2∴PA→⋅PB→的取值范围是[1﹣2故答案为：[1﹣22，1+22]．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用三角函数求最值，建系是关键，是中档题．题型6重心【解题技巧】1．是重心．2．是平面内任一点，是重心．【例1】（2022秋•诸暨市期末）边长为2的正△ABC中，G为重心，P为线段BC上一动点，则AG→A．1 B．2 C．(BG→−【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．【解答】解：因为边长为2的正△ABC中，G为重心，由向量数量积的性质可得，AG→⋅AP→=|AG→|×32|AG故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．【例2】（2022秋•海安市期末）设G为△ABC的重心，则GA→A．0 B．AC→ C．BC→ 【分析】根据已知条件，结合重心的定义，以及向量的运算，即可求解．【解答】解：G为△ABC重心，GA→则GA→故选：B．【点评】本题主要考查重心的定义，以及向量的运算，属于基础题．题型7垂心【解题技巧】1．是垂心．2．若是垂心，则．【例1】（2022•杭州模拟）奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1⋅OA→+S2⋅OB→+A．31010 B．1010 C．2【分析】先证明S1：S2＝tanA：tanB，进而得到S1：S2：S3＝tanA：tanB：tanC，结合奔驰定理可得tanA•OA→+tanB•OB→+tanC•OC→=0→，因此tanA：tanB：tanC＝1：2：3，不妨设tanA＝k，tanB＝2k，tanC＝2k，结合tanA＝tan[π−（B+C）]＝−tan（B+【解答】解：因为O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，则S1：S2＝（12OC•BP）：（12OC•AP）＝BP＝（OPtan∠POB）：（OPtan∠POA）＝tan∠POB：tan∠POA＝tan∠BOC：tan∠AOC＝tan（π﹣A）：tan（π﹣B）＝tanA：tanB，同理可得S1：S3＝tanA：tanC，所以S1：S2：S3＝tanA：tanB：tanC，又S1⋅OA→+S2⋅OB→+S3又OA→+2OB→+3OC→不妨设tanA＝k，tanB＝2k，tanC＝3k，其中k≠0，因为tanA＝tan[π−（B+C）]＝−tan（B+C）=−tanB+tanC所以k=−2k+3k1−2k⋅3k，解得k＝1或当k＝﹣1时，此时tanA＜0，tanB＜0，tanC＜0，则A，B，C都是钝角，则A+B+C＞π，矛盾．故k＝1，则tnC＝3＞0，所以B是锐角，sinB＞0，cosB＞0，于是sinCcosC=3sin故选：B．【点评】本题考查三角形垂心的性质，考查平面向量的线性运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．题型8内心【解题技巧】1．是内心．2．是内心．3．是内心．【例1】（2022秋•乾县校级月考）已知O​是平面内一定点，A，B，C​是平面上不共线的三个点，动点P​满足OP→=OA→+λ(A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】根据题意，将OP→=OA→+λ(AB→【解答】解：根据题意，动点P​满足OP→又由OP→=OA→+λ(ABAB→|AB→|和AC故点P​的轨迹一定通过△ABC​的内心；故选：B．【点评】本题向量的运算，涉及向量模的定义，属于基础题．【例2】（2022•宝山区校级开学）已知I为△ABC的内心，且5IA→=4（BI→+CI→），若△ABC的内切圆的半径r＝15，则△【分析】取BC的中点D，推导出5IA→=−4（IB→+IC→）＝﹣8ID→，从而A，I，D三点共线，作IE⊥AB于E，则IE【解答】解：如图，取BC的中点D，依题意，有5IA→=−4（IB→∴A，I，D三点共线，AB＝AC，由r＝ID＝15，∴IA＝24，作IE⊥AB于E，则IE＝ID＝15，sin∠BAD=1524=58∴BC＝2BD＝2AD•tan∠BAD＝2×39×539=∵sin∠BAC＝sin2∠BAD=2×58×398=∴△ABC的外接圆的半径R的长度为32．故答案为：32．【点评】本题考查三角形外接圆半径、正弦定理、向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．题型9外心【解题技巧】1．是外心．2．若是外心，则．3．若是外心，则．【例1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则BC→A．8 B．6 C．4 D．3【分析】根据圆的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质进行求解即可．【解答】解：过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，根据圆的性质可得D，E分别为AB，AC的中点，AO→=|AC故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．【例2】（2022秋•汕头期中）已知△ABC外心是O，且2AO→=AB→A．14BC→ B．34BC→【分析】由平面向量的线性运算，结合投影向量的运算求解即可．【解答】解：由2AO→=AB→又O为△ABC的外心，且|OA→|＝|AB→|，则A=π2，B=不妨设|AB→|＝t，则|BC→|＝2则BA→在BC→上的投影向量为故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．题型10奔驰定理【解题技巧】1．对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.2．对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.3．对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.4．对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为．【例1】（2022春•太原月考）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足6AM→=3AB→+AC→，则S△MAB：S△A．1：2：3 B．1：2：4 C．2：3：4 D．2：4：5【分析】不妨设AB→，AC→分别为x轴，【解答】解：不妨设AB→，AC→分别为x轴，则AB→=（1，0），AC→=（0，1），所以6AM→=3AB→其中S△MAB=12×1×16=所以S△MCB＝S△ABC﹣S△MAB﹣S△MCB=1所以S△MAB：S△MCB：S△MAC=112：16故选：A．【点评】本题考查了向量线性运算性质、三角形的面积计算公式，考查了特值法，属于基础题．【例2】（2022春•台州期中）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA•OA→+SB•OB→+SC•OC→=0→．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足OA→+2A．25 B．12 C．16【分析】直接根据向量的基本运算得到3OA→+OB【解答】解：∵O为三角形ABC内一点，且满足OA→+2OB→+3OC→∴OA→+2OB→+3OC→=3（OB→−OA→）+2（∵SA•OA→+SB•OB→+SC•故选：D．【点评】本题考查向量的基本运算以及“奔驰定理”的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．最新模拟一．选择题1．（2023•新乡一模）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，且CD与BE交于点G，记CD→=m→，A．−23m→−23n→【答案】A【题型】重心【解析】解：根据题意可得点G为△ABC的重心，所以AG→故选：A．2．（2023•西安一模）在平行四边形ABCD中，则BA→A．12AC→+12BD→ 【答案】C【题型】绕三角形【解析】解：在平行四边形ABCD中，设AC与BD交于点O，则O是对角线AC，BD的中点，∴BA→故选：C．3．（2022秋•秦皇岛月考）在△ABC中点F为AB的中点，AE→=2EC→，BE与CF交于点PA．35 B．47 C．34【答案】C【题型】待定系数型【解析】解：在△ABC中，点F为AB的中点，AE→=2EC→，BE与CF∵BE→=2∵C，P，F三点共线，∴23λ+2故选：C．4．（2022春•文峰区校级期末）如图，在△ABC中，AD→=13DC→，P是线段BD上一点，若A．13 B．23 C．2 【答案】D【题型】待定系数型【解析】解：∵AD→=13DC→，AP→=m∵B，P，D三点共线，∴m+45=1，∴故选：D．5．（2022•南京模拟）如图所示，在△ABC中，D是线段BC上一点，BC→=3BD→，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM→=λABA．1 B．2 C．43 D．【答案】D【题型】均值不等式求最值【解析】解：由条件可得AD→=AB→+BD→=AB→+∵M，D，N三点共线，∴23λ∴λ+2u=(λ+2μ)(当且仅当λ3μ=4μ3λ即λ=43，μ=故选：D．6．（2022•龙凤区校级模拟）如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC→=4BD→，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM→=λAB→，AN→=μACA．23−2 B．23+4 C．23【答案】C【题型】均值不等式求最值【解析】解：AD→=AB→+由AM→=λAB→，AN→=μAC→得又因为D、M、N三点共线，所以34λ+14μ=所以λ−1μ=λ+3λ当且仅当λ=3λ，即λ=3时等号成立，所以λ−故选：C．7．（2022•龙泉驿区模拟）在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=2，∠A=135°，E，F分别是AB，AD上的点，且AE→=λAB→，AF→=μAD→，（其中λ，μ∈（0，1）），且3A．36 B．37 C．21 D．22【答案】D【题型】等和线求最值【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=2，∠A=135°，E，F分别是AB，AD上的点，且则MC→=AC→−AM→=（又3λ+μ＝1，则MC→则MC→又AD→⋅AB→=2×则MC→显然当λ=125时，MC→此时μ=1−325=故选：D．8．（2022春•新吴区校级期中）在△ABC中，A=2π3，AB＝1，G为△ABC的重心，若AG→A．3 B．1 C．2 D．2【答案】B【题型】重心【解析】解：延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线．AG→⋅AB→=AG→⋅AC→⇒AG→即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且AB＝AC＝1，则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA＝OC，∵∠OAC=π3，∴△OAC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝即△ABC外接圆半径为1．故选：B．9．（2022秋•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，A=π3，G为△ABC的重心，若AGA．3 B．2 C．22 D．【答案】C【题型】重心【解析】解：在△ABC中，A=π3，G又AG→⋅AB即AG→⋅CB→=0，即AG→⊥又AG→⋅AB即AB→2+AC→设△ABC外接圆的半径为R，则2R=|BC→故选：C．10．（2022春•安阳月考）已知O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1•OA→+S2•OB→+S3•OC→=0→．这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC的垂心，且OA→+2A．1：2：3 B．1：2：4 C．2：3：4 D．2：3：6【答案】A【题型】垂心【解析】解：O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此，S1S2于是得tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝S1：S2：S3，又OA→+2OB由“奔驰定理”有S1⋅OA而OA→与OB→不共线，有S1S3=13，S所以tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝1：2：3．故选：A．二．填空题11．（2022•丰城市校级模拟）在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是EF上一点，则PB→⋅PD【答案】[1−3【题型】三角换元求最值【解析】解：解法一：如右图，∵PB→⋅PD→=(AB→−∴cosθ∈[22，1]，∴1−32cosθ∈[1−32，−2]解法二：如右图以AD为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系，则B（0，3），D（3，0），又P（cosθ，sinθ），θ∈[0，π∴PB→⋅PD→=(−cosθ，3−sinθ)⋅(3−cosθ，−sinθ)=cosθ（cosθ﹣3）+sinθ（sinθ﹣3）＝1﹣3（cosθ由θ∈[0，π2]，得θ+π4∈[π4，故答案为：[1−3212．（2022春•梁园区校级月考）设H是△ABC的垂心，且4HA→+5HB→【答案】−【题型】垂心【解析】解：根据题意，设H是△ABC的垂心，则HA→•BC→=HA→•（HC→−HB→）=HA→同理：HA→•HC→=HC→•HB→，则有HA→设HA→•HC→=HA→•又由4HA→+5HB→+6HC→=0→，则有HB→•（4变形可得：|HB→|=−2t，（同理：HA→=−11t故答案为：−2213．（2022•泊头市校级开学）已知点P为△ABC的内心，∠BAC=23π，AB＝1，AC＝2，若AP→=λAB→+μ【答案】9−3【题型】待定系数型【解析】解：在△ABC，由余弦定理得BC=A设O，Q，N分别是边AB，BC，AC上的切点，设AN＝AO＝x，则NC＝QC＝2﹣x，BO＝BQ＝1﹣x，所以BC=BQ+QC=1−x+2−x=7由AP→=λAB即|AO→同理由AP→⋅联立①②以及AN＝AO＝x，即可解得：λ+μ=3x=3×3−故答案为：9−3714．（2022•佛山模拟）已知O为△ABC的外接圆圆心，若AO→=12AB→+12AC→，|【答案】1【题型】外心【解析】解：如图所示：因为AO→=12AB→+12AC→所以|AB→|=|OA→所以BA→在BC→方向上的投影向量为因此λ=1故答案为：1415．（2022春•西昌市期中）在△ABC中，AB＝6，AC=35．点M满足AM→=15AB→+14AC→．过点M的直线l分别与边AB，AC交于点D，E且【答案】3【题型】外心【解析】解：∵D，M，E三点共线，∴可设AM→∴15AB→∴15t=1λ14(1−t)=1μ，即λ∴CG→∵G为△ABC的外心，∴|AG∴(40t−40t整理可得：10tAB∴AB→⋅AC→=∴AG＝﹣180t2﹣1260t+720＝﹣180（t2+7t﹣4）＝90，∴|AG故答案为：310真题在线一．选择题1．（2022•北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA→•PBA．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]【答案】D【题型】三角换元求最值【解析】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则A（3，0），B（0，4），C（0，0），设P（x，y），因为PC＝1，所以x2+y2＝1，又PA→=（3﹣x，﹣y），PB→=（﹣所以PA→⋅PB→=−x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y设x＝cosθ，y＝sinθ，所以PA→⋅PB→=−（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+当sin（θ+φ）＝1时，PA→当sin（θ+φ）＝﹣1时，PA→⋅PB→故选：D．2．（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记CA→=m→，A．3m→−2n→ B．﹣2m→+3n→ C．3m→【答案】B【题型】绕三角形【解析】解：如图，CD→∴12CB→故选：B．3．（2020•全国）设点P1，P2，P3在⊙O上，若OP1→+OP2→A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【题型】重心【解析】解：设|OP1→∴OP1→∴r2+r2+2×r×r×cos∠P1OP2＝r2，解得cos∠P1OP2=−1∴∠P1OP2＝120°，同理可得，∠P1OP3＝120°，∠P2OP3＝120°，∴△P1P2P3是等边三角形，∴∠P1P2P3＝60°．故选：C．4．（2020•海南）在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB→A．2CD→+CA→ B．CD→−2CA→ 【答案】C【题型】绕三角形【解析】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB→=CD故选：C．5．（2020•山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→•ABA．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，6）【答案】A【题型】三角换元求最值【解析】解：画出图形如图，AP→•AB它的几何意义是AB的长度与AP→在AB显然，P在C处时，取得最大值，|AC可得AP→•AB在F处取得最小值，AP→•AB→=P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，所以AP→•AB故选：A．6．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，