江西南昌外国语学校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题含答案

南昌市外国语学校2022-2023学年下学期

高一数学联考试卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合题目要求的。

1ɔ

1.已知α∈R贝!Tcosa=——"是"α=2Aτr+-^∙,leZ"的()

23

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3:7:5,现

用分层抽样的方法抽取容量为〃的样本，其中老年教师有18人，则样本容量”=

A.54B.90C.45D.126

3.一个扇形的圆心角为150。，面积为则该扇形半径为()

A.4B.1C.√2D.2

4.已知事件A,B,C两两互斥，若P(Z)=(,p(C)=g,P(AuB)=S则P(BQC)=

().

A.—B.-C.—D.1

153153

5.某学校高一年级有300名男生,200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成

绩，抽取总样本量为50,男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推

测高一年级学生的数学平均成绩约为()

A、IIo分B、115分C、116分D、120分

6.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜

色，则所选颜色中含有白色的概率是()

2ClClCl

Aλ.-B.-C.-D.一

3246

115

7.已知α=(lj力=(213,C=IOg31■,贝∣Ja,b,c的大小关系为()

A∙a<b<cBCCbVQɑ-c<a<bɔ-b<a<c

8•已知/(χ)=logup√+l+χj+l,其中α>0且a≠l∙贝U/(2)+/(-2)=()

A.0B.4C.2D.Ioga4

二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知XeR,则下列恒等式成立的是()

A∙sin(-x)=sinxB∙sin------X=cosX

I2)

(π∖.

C∙cos—■∖-x=-sιnxD∙COS(X-Tr)=—CoSX

［2J

10.下列叙述正确的是()

A.某人射击1次，“射中7环”与，射中8环”是互斥事件

B.甲、乙两人各射击1次，”至少有1人射中目标“与”没有人射中目标”是对立事件

C.抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于g

D.若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5,则乙同学成绩比较稳定

11.为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免,

现调查了当地的IOO家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率

分布直方图，则下列结论正确的是()

A.样本在区间［500,700］内的频数为18

B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受成免税收政策，估计当地有30%的中小

型企业能享受到减免税收政策

C.样本的中位数小于350万元

D.可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元(同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表)

ɪy-y∣x2+2x

(-；,下列说法正确的是()

4J

A./(x)的定义域为(T>O,—2]D[0,+。。)

B./(x)的值域为[l,+∞)

C.f(x)是偶函数

D./(X)在(-∞,-l]单调递减

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知角α的始边与X轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的

距离为√L若a=?，则点P的坐标为.

14.数据x∣,巧，毛的方差为:(x：+*+x；)-9,则数据物+1,2X2+∖,2%+1的平均数

为.

15.奇函数/(χ)满足fx+g]=/(X)，当x∈[-∕,0时/(χ)=ʌ/ɜCOSX1则

/1等)的值为—.

16.已知函数/(x)=E+"TM',方程/(X)=上有两个实数解，则上的范围是—.

-2+lnx,x>O

四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知a=-i9200

(1)将α写成β+2kπ(k^Z,0β<2n)的形式，并指出它是第几象限角

(2)求与a终边相同的角6,满足-47θ<0-

18.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统4和8,系统力和系统8在任

意时刻发生故障的概率分别为。和g.

⑴求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；

⑵求系统8在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

19.如图，以X轴非负半轴为始边作角[与尸(0<6<α<∕r),它们的终边分别与单位圆相

交于点P,Q,已知点尸的坐标为j-乎,竽,

⑵若。尸1。。，求SinpCoSP的值.

20.已知函数/(x)=Ty-X(Xe[0,+8)).

⑴证明：函数/(χ)是减函数；

⑵若不等式(α+x)(x+l)>I对xe[0,+∞)恒成立，求实数”的取值范围.

21.从某学校随机抽取IOo名学生，测得他们的身高(单位：cm),按照区间[160,165),

[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图

⑴求频率分布直方图中X的值；

⑵估计该校学生身高的平均数(每组数据以区间中点值为代表)；

⑶估计该校学生身高的75%分位数.

22.已知函数〃X)=组*君(劝=1113若(刈的定义域关于原点对称，且/(0)=4.

⑴求AC的值，判断函数g(x)的奇偶性并说明理由；

⑵若关于X的方程LΛX)F-("7-1)∕(X)-2=0有解，求实数〃?的取值范围.

南昌市外国语学校2022-2023学年下学期

高一数学联考试卷

命题人:谭勇进审题人:周慧卉

第I卷(选择题)

一、单选题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知＜16/?则“侬6(=—十”是％=2"+与,左€2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析因为CoSa=―，，解得α=24兀±与∙,％CZ,

.∙.“cosa=—q■”是“a=2kπ+-ɪj∈Z"的必要不充分条件.

故选：B.

2.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，己知老、中、青人数之比为3:7:5,现用分层抽样的方法抽

取容量为n的样本,其中老年教师有18人,则样本容量n=

A.54B.90C.45D.126

答案B

解析依题意得可在后XW=I8,解得〃=90,即样本容量为90.故选8

3.一个扇形的圆心角为150°,面积为苧,则该扇形半径为()

A.4B.1C.√2D.2

答案D

解析圆心角为a=150°--^―,设扇形的半径为R,

O

S=/"=竽=齐系股

解得R=2.

故选：。

4.已知事件B,C两两互斥,若P(J)=j,P(C)=y,PU∪β)=-β-,则P(BUe)=().

A.B.-I-C.-ɪɪD.-ʃ

答案B

解析因为事件A,B,C两两互斥，所以尸⑻=P(NU8)—P(Z)=系■—[■=+

11ɔ

所以尸(8UC)=P(8)+P(C)=W+g=?

故选民

5.某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本

•1•

量为50,男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均

成绩约为（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

答案C

解析

由题意，应抽取男生50X益誓。=30（人）

J∖JJ∖I乙UU

应抽取女生50X尉鳖而=20（人）

所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为120x^θ^θ0-20=116（分）.

6,某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含

有白色的概率是（）

2111

A.-Z-B.-z-C.-TD."τ^

3246

答案B

解析从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有｛黄白｝,｛黄蓝｝,｛黄红｝,｛白蓝｝,

｛白红｝,｛蓝红｝,共6种.其中包含白色的有3种,选中白色的概率为十，

故选员

7.已知α=G^y,6=信)B.=kg接,则”,6,J的大小关系为()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.h<a<c

答案A

解析^=(y)5<(y)5=(y)5=6<(y)°=1,C=Iogq>IOgq=∖,.'.a<b<c.

故选：A.

8.已知f(x)=log,,(√x2+l+x)+1,其中a>0Jla≠∖,则/⑵+/(—2)=()

A.0B.4C.2D.loga4

答案C

解析g(x)=/(X)-I=k>g,,(45TT+x)易知函数g(x)的定义域为R,

又'∙'g(-x)=log(√x2+l-ɪ)=logo-7=5=-----=-log(√x2+l+x)=-g(x)

n√xi+l+xa

.∙.函数g(x)为奇函数,.∙.g⑵+g(—2)=0,二〃2)-1+/(—2)-1=0".八2)+/(—2)=2,

故选：C.

二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知XeR,则下列恒等式成立的是()

A.sin(-x)=SinXB.sin(苧一x)=CoSX

C.cos(ɪ+x)=—sinxD.COS(X—π)=—cosx

答案CD

•2•

解析

4、sin(-x)=~sinx,故4不成立；

B、M竽-X)=—cosx,故8不成立；

C、COS0+x)=—SinX,故C成立；

D、COS(X—π)=—cosx,故。成立.

故选：CD.

10.下列叙述正确的是()

A.某人射击1次，“射中7环"与"射中8环"是互斥事件

B.甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标"与"没有人射中目标"是对立事件

C.抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上,则第5次出现反面向上的概率大于十

D.若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5,则乙同学成绩比较稳定

答案AB

解析人根据互斥事件的定义，由于"射中7环''与"射中8环"不可能同时发生，即它们为互斥事件，故

正确；

8:根据对立事件的定义，甲、乙两人各射击1次，要么"至少有1人射中目标",要么"没有人射中目标”，

这两个事件不能同时发生而且它们必有一个会发生，故正确；

C-.由于抛硬币是独立重复试验,任意一次试验出现正面或反面的概率都为ɪ,故错误；

。：方差越小代表成绩越稳定，即甲同学的乘积稳定，故错误.

故选：/8.

11.为了更好地支持中小型企业的发展,某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免,现调查了当地

的100家中小型企业的年收入情况,并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正

确的是()

A.样本在区间［500,700］内的频数为18

B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策,估计当地有30%的中小型企业能享

受到减免税收政策

C.样本的中位数小于350万元

D.可估计当地的中小型企.业年收入的平均数不超过400万元(同一组中的数据用该组区间的中点值为

•3・

代表)

答案ABD

解析由题图可得IOOX(0.001+0.002+0.0026×2+a+0.0004)=1,解得a=0.0014,

故样本在区间［500,700］内的频数为IOoX(0.0014+0.0004)X100=18,故/正确；

年收入在300万元以内的企业的频率为IOoX(0.001+0,002)=0.3,故8正确；

100×(0.001+0.002)=0.3<0.5,

100X(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0,5,

则中位数在［300,400)之间，设为X,

则(X-300)×0.0026=0.5—0.3,得x七377>350,故C错误；

样本年收入的平均数为

100×(150×0.001+250X0.002+350X0.0026+450X0.0026

+550×0.0014+650X0.0004)=376(万元),

则估计当地的中小型企业年收入的平均数为376万元，故。正确.

故选：“8。

12.关于函数/(x)=G)-屈，下列说法正确的是()

A./(x)的定义域为(-∞,-2］U［0,+∞)B.f(x)的值域为［1,+8)

C.∕(x)是偶函数D.∕(x)在(-∞,-l］单调递减

答案AB

解析对于4由x2÷2x≥0,解得x≥0或x≤-2,故A正确；

对于B,由-√x2+2x≤0,所以函数/(x)的值域为故B正确；

对于C,∙.∙∕(-x)=(J)^ΛZ7Ξ^≠∕(X)

,且定义域也不对称，.∙.∕(x)不是偶函数，故C错误；

对于D,在函数定义域内，函数y=x2+2x在(-8,—2］上单调递减，在［0,+8)上单调递增，

根据复合函数单调性/(x)=在(一8,—2］上单调递减，在［0,+8)上单调递增，故。错

`o

沃，

故选AB.

第U卷(非选择题)

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知角α的始边与X轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点尸到原点的距离为Λ∕Σ,若α=

彳,则点P的坐标为.

答案(1,1)

解析设点P的坐标为(x,y),则由三角函数的定义得

lɑosɪɪɪ,V=√2sin^=l.

故点尸的坐标为(1,1).

14.数据x∣,小，X3的方差为∙∣∙(x?+君+<)-9,则数据2xl+l,2X2+1,2xi+1的平均数为.

答案7或—5

•4•

解析数据Xi,，工3的方差为∕，平均数为工，

因为数据x∣,必，“3的方差为^^~(W+君+抵)—9,

所以:[(汨一1y+(M-5y+a-5)1=?宕+6+而一9,

2"

-y[xf÷X2÷A3+3^~2x(x∣+x2÷^)]=^^(x7+M+O~9,

而元=-y(xι÷x2÷^),

所以∙y[xj+X2÷X3÷3χ2-6χ2]=-y(xi÷X2÷X3)—9,

即y(x1÷X2÷X3)—X2=^yW÷^2+x3)-9,故亍2=9,即工=±3,

数据2X1+1,2X2+1,2与+1的平均数为25+1,即2x3+l=7或=2x(-3)+1=-5

故答案为：7或一5

15.奇函数/(x)满足/(x÷y)=/(x),当x∈(—予0)时f(x)=√3cosx,则/(—•ɪ-)的值为

答案-ɪ

解析

由/(x+£)=/(%)可知奇函数/(x)的周期为

所以/(一手)=/(一手+6×f)=∕(f)

因为该函数为奇函数，令Xe(O,卷)，则一％E(―^^,o^,

所以/(—%)=V3cos(-x)=√3cosx=一/(4)

所以ʃ(ɪ)=—√3cosx,(x∈(θ,ɪ)),

所以/(一手)=∕(f)=-6CoS专ɪ-ɪ

故答案为：―方

16.已知函数/(x)=(『+2x一3,X≤0,方程/(x)=k有两个实数解,则k的范围是_____.

[—2+lax,x>0

答案{~^4}U(-3,÷∞)

解析由题意可知，直线y=左与函数/(x)的图象有两个交点，

作出直线歹=攵与函数/0)的图象如下图所示：

•5・

由图象可知，当k=-4或k>-3时，直线y=左与函数/(x)的图象有两个交点.

因此，实数人的取值范围是{-4}U(-3,+∞)∙

故答案为：{-4}U(-3,+∞).

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知«=-1920

(1)将α写成夕+2E∕eZ,0≤S<2n)的形式，并指出它是第几象限角

(2)求与a终边相同的角θ,满足一4兀<。<0.

答案⑴一1920'=T2π+等它是第三象限的角：⑵J=一冬,一争I

解析

(1)α=-1920*=-12π+竽V-1920=-12π+^-,π<-y-<^∙,

.∙.将a写成β+2kπ(keZ,0<β<2π)的形式：-1920=-12π+ɪ,

它是第三象限的角.

⑵∙.∙e与a的终边相同，

...令θ=2kπ+^-,keZ,

k=-∖,k=-2满足题意，

得至‘I9=-ɪ-,--寺兀.

18.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统,简称系统力和8,系统4和系统8在任意时刻发生故障的

概率分别为*和

(1)求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；

(2)求系统8在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

答案(1)器；(2)晋

解析⑴设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么I-PG)=I-击X/=需.

(2)设''系统8在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件。，则3次检测

•6•

中有1次发生故障或O次发生故障，

所求概率P(D)=3×y×(l-y)2+(l-y)3=-ɪɪl

19.如图，以X轴非负半轴为始边作角α与夕(0V6<αV兀)，它们的终边分别与单位圆相交于点尸,0,已知

点P的坐标为(―.

3sinα—2cosc

⑴求的值;

2sinα+3cos1

⑵若OP_L。。,求Sin夕CoS尸的值.

答案(1)8;(2)^-

解析(1)因为角α终边与单位圆相交于点P(—空，¥

所以sin«=2个,cosα=--ɪ-,tanɑ——2,

所以3sinα—2cosa_3tanα-2_62_父.

'2sinα+3cos«2tanα÷3—4÷3'

⑵因为OPJ_。0,

所以尸=α一£,

所以Sin夕CoS夕=sin(α—ɪ)eos(ɑ—ɪ)=—cosαsin[=-∣-.

20.已知函数/(x)=[-x(x∈[0,+∞)).

(1)证明：函数/(x)是减函数；

(2)若不等式(α+x)(x+l)>l对x∈[0,+8)恒成立,求实数。的取值范围.

答案(1)证明见解析；(2)(1,+8)

解析⑴证明：在[0,+8)上任取为,应，且M›对

1

则/⑶)—/3)=⅛-^'-⅛+M=3；鼠+1)+X2—X产[(χ1+i)(χ2+i)+1]('2f)'

*.*O≤%2<X∣，

Λx∣÷l>O,x2÷l>0,应一％】V0,

则[3+1K+1)+1](XE)<°，即/(xJ<"Q

Λ∕(x)在[0,+∞)上是减函数.

(2)V(α+x)(x+1)>1对X∈[0,+8)恒成立，

：・。〉丁:[一X在[0,+8)上恒成立，需α>∕(x)max,

由(1)可知/(x)=yɪ-—x[0,+∞)上单调递减，

ʌ/Wmax=/(O)=θ-^γ-O=1,

・7・

.∙.α>1,即实数4的取值范围是(1,+8).

21.从某学校随机抽取IOO名学生，测得他们的身高(单位：cm),按照区间[160,165),[165,170).

[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图,如图所示.

频率

(1)求频率分布直方图中X的值；

(2)估计该校学生身高的平均数(每组数据以区间中点值为代表)；

(3)估计该校学生身高的75%分位数.

答案(1)0.06:(2)172.25;(3)176.25

解析(1)由频率分布直方图可知5