江苏省无锡市2021年中考数学试题真题(答案+解析)

江苏省无锡市2021年中考数学试卷

一、单选题

1.（2020七上•乌鲁木齐期末）一：的相反数是（）

A.-C.3D.-3

3

2.（2017•隆回模拟）函数y二的自变量x的取值范围是（）

A.XH2B.x<2C.x>2D.x>2

3.（2021・无锡）己知一组数据：58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数和众数分别是（)

A.54,55B.54,54C.55,54D.52,55

4.（2021・无锡）方程组'的解是（）

产=1,

D.iy=4.

5.（2021•无锡）下列运算正确的是（）

A.M+Q=Q323a5・

B.(a)=C.08+Q2=Q4D.Q2Q3=a5

6.（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

7.（2021・无锡）如图，D、E、F分别是2ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

A

A.△BDE和ADCF的面积相等

B.四边形AEDF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形

D.若4=90°，则四边形AEDF是矩形

8.（2021・无锡）一次函数y=K+n的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=?（血>0）的图象交于点

4（1,m）,且4AOB的面积为1,则m的值是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2021•无锡）在RtAABC中，=90。，4B=6,AC=8,点P是△ABC所在平面内一

点，则PA2+pB2+pc2取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是4ABe三边垂直平分线的交点

B.点P是△ABC三条内角平分线的交点

C.点P是△ABC三条高的交点

D.点P是4ABe三条中线的交点

10.（2021•无锡）设P（x,%）,Q（x,y2）分别是函数G,C2图象上的点，当aSxWb时，总有

-1S%-y2sl恒成立，则称函数的，C2在aSxSb上是"逼近函数"，a<x<b为"逼近区

间”,则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在1SXS2上是"逼近函数"；②函数y=%-5,y=x2-4x

2

在3sxs4上是"逼近函数"；③0<x<1是函数y=M-1,y-2x-x的“逼近区间”；④

2<x<3是函数y=x-5,y=x2-4x的"逼近区间”.其中，正确的有（）

A.②③B.①④C.①③D.②④

二、填空题

11.（2020八上•朝阳期末）分解因式：2/-8X=.

12.（2021・无锡）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印

迹，迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科

学记数法可表示为.

13.（2021・无锡）用半径为50,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

14.（2021•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：.

15.（2021・无锡）一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为

米.

16.（2021•无锡）下列命题中，正确命题的个数为.

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③边长相等的两个菱形都相似

④对角线相等的两个矩形都相似

17.（2021•无锡）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=,4c=6,点E在线段4c

上，且4E=1,D是线段BC上的一点，连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形

FGDE,当点G恰好落在线段AC上时，AF=.

18.（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C

的直线与二次函数y=/的图象交于A、B两点，且C8=34C,P为CB的中点，设点P的坐标为

19.(2021•无锡)计算：

(1)|-i|-(-2)3+sin30°；

(2)

a2a

20.(2021•无锡)

（1）解方程：（x+-4=0；

—2x+3<1,

（2）解不等式组:

21.（2021•无锡）己知：如图，AC,DB相交于点0,AB=DC,ZABO=ZDCO.

D

求证：

（1）XABODCO；

（2）/OBC=/OCB.

22.（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，

搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.（请

用"画树状图"或"列表"等方法写出分析过程）

（1）取出的2张卡片数字相同；

（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为"3".

23.（2021•无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两

个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现

从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：

某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表

锻炼次数x（代0<%<55<%<1010<x<1515<x<2020<%<2525<%<30

号）(A)(B)(C)(D)(E)(F)

频数10a68C246

频率0.05b0.34d0.120.03

某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图

（1）表格中a=：

（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）

（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人?

24.（2021,无锡）如图，已知锐角AABC中，AC=BC.

BB

（图1）（图2）

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ZACB的平分线CD；作AABC的外接圆。。；

（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若48=段，Q0的半径为5,则sinB=.（如需画草图，请使用图

2）

25.（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于。。，4C是O。的直径，AC与BD交于点E,PB

切。。于点B.

（1）求证：ZPBA=ZOBC；

（2）若484=20°,ZACD=40°，求证：XOABSCDE.

26.（2021•无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织

消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品，

且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4:3.当用600元购买一等奖奖品时，共

可购买一、二等奖奖品25件.

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

27.（2021•无锡）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点

C,二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A,点M为线段OB上的一个

动点，过点M作直线I平行于y轴交BC于点F,交二次函数y=ax2+2x+c的图象于点E.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以C、E、F为顶点的三角形与XABC相似时，求线段EF的长度；

（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标.

28.（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边

在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，ZAEF=90°，设BE=爪.

AD

BC

（图1）（备用图）

（1）如图L若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P,AF交CD于点Q,连结CF,

①当7n=［时，求线段CF的长；

②在4PQE'中，设边QE上的高为h,请用含m的代数式表示h,并求h的最大值；

（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请直接写出y与

m的关系式.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】根据相反数的意义知：的相反数是1.

故答案为：A.

【分析】根据相反数的定义"只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.

2.【答案】D

【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围

【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数X-220,解得X22；

根据分式有意义的条件，X-2H0,解得XH2.

所以，x>2.故选D.

【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式部分.根据二次根式的性质

和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

3.【答案】A

【考点】中位数，众数

【解析】【解答】解：58,53,55,52,54,51,55从小到大排序后：51,52,53,54,55,55,58,

中间一个数为54,即中位数为54,

55出现次数最多，即众数为55,

故答案为：A.

【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的

那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；众数：

是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.

4.【答案】C

【考点】解二元一次方程组

【解析】【解答】解：=,

x-y=3®

①+②，得：2x=8,解得：x=4,

①-②，得:2y=2,解得：y=l,

・••方程组的解为：｛：：：，

y-1

故答案为：C.

【分析】利用加减消元法解方程组即可.

5.【答案】D

【考点】同底数幕的乘法，同底数基的除法，合并同类项法则及应用，哥的乘方

【解析】【解答】解：A.a2+a,不是同类项，不能合并，故该选选错误，

B.(a2)3=a6,故该选项错误，

C.asa2=a6,故该选项错误，

D.a2-a3=a5,故该选项正确，

故答案为：D.

【分析】根据合并同类项、幕的乘方、同底数幕的除法、同底数'盘的乘法分别计算，然后判断即可.

6.【答案】A

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故答案为：A.

【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180。后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴

对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.

7.【答案】C

【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：..•点D、E、F分别是AABC三边的中点，

DE、DF为△ABC得中位线，

/.EDIIAC,且ED=|AC=AF；同理DFIIAB,且DF=1AB=AE,

，四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；

△BDEBCA,△CDFCBA

S〉BDE=^LBCA，SKDF=[SABS，

・•.LBDE和XDCF的面积相等，故A正确；

•・•AB=BC,

•-DF=iAB=AE,

四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；

,•,NA=90。，则四边形AEDF是矩形，故D正确；

故答案为：C.

【分析】根据三角形中位线定理可得EDIIAC,且ED=1AC=AF,DFIIAB,且DF=iAB=AE,可证四

边形AEDF一定是平行四边形，由NA=90。，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证△BCEBCA,

△CDFfCBA,利用相似三角形的性质可得=，ShCDF=^ShBCA,据此判断A、

B、D；由4B=BC,可得DF=^AB=AE,从而得出四边形4EDF不一定是菱形，据此判断C.

8.【答案】B

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【解答】••・一次函数y=x+n的图象与x轴交于点B,

B(-n,0),

••・i^AOB的面积为1,一次函数y=x+n的图象与反比例函数y=£(m>0)的图象交于点

力(1,771),

.x|n|xm=1

1+n=m

九2+九一2=0或几？+几+2=0,解得：n=-2或n=l或无解，

m=2或・1(舍去)，

故答案为：B.

【分析】先求出B(-n,0),将点A(l,?n)代入y=1+九中得m=n+1①，由△408的面积为1可得

；x|n|xm=1②，联立①②求出m值即可.

9.【答案】D

【考点】三角形的角平分线、中线和高，勾股定理，二次函数y=axA2+bx+c的性质

【解析】【解答】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，

则A(0,0),B(6,0),C(0,8),

设P(x,y),贝IjPA2+PB2+PC2=%2+y2+(%—6)2+y2+%2+3—g)2

=3x2+3y2-12x-16y+100=3(%—2)2+3(y—|)2+竽，

88

小

当

附

X2-即-

y=3(2,3

•・.由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：y=-|x+8,

AC边上中线所在直线表达式为：y=-|x+4,

又P(2)|)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式,

.•.点P是AABC三条中线的交点,

故答案为：D.

【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，设P(x,y),可求出P42+

PB2+PC2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-8)2=3(x-2)2+3(y-1)2+,从而得出当

x=2,y=|时，即：P(2,g)时，PA2+PB2+PC2最小,利用待定系数法求出AB边上中线所在直线表

达式、AB边上中线所在直线表达式，由于P(2,g)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在

直线表达式，据此判断即可.

10.【答案】A

【考点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【解答】解：①；71=%-5,y2=3x+2,

yi-九=-5)-(3%+2)=-2x-7,当时，-114为一为三一9»

•・,函数y=%-5,y=3x+2在上不是〃逼近函数〃；

2

②:yi=x-5,y2=x-4x,

%-丫2=Q-5)-(%2-4%)=-x2+5%-5,当3W%W4时，一1工为一、241，

函数y=x-5,y=/-4x在3W%W4上是"逼近函数"；

2

③=%=/—1，y2=2x-x,

，y1-旷2=(--1)-(2/-x)=-/+x-1,当owxwi时，-1W%一丫23一；，

0<x<1是函数y=x2-l,y=2x2-x的"逼近区间”；

2

④%=x-5,y2=x-4x,

=(x-5)-(x2-4x)=-x2+5%-5,当2<x<3时，>

2<x<3不是函数y=%-5,y=x2-4x的“逼近区间

故答案为：A

【分析】根据当aWxWb时，总有一1Wyi-%W1恒成立，则称函数J,。2在aWxWb上

是"逼近函数"，aSxWb为"逼近区间”，据此逐一判断即可.

二、填空题

11.【答案】2x(x+2)(x-2)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：2炉一8%

—2x(x2-4)

=2x(x+2)(x—2),

故答案为：2x(x+2)(x-2).

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。

12.【答案】3.2xl08

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：320000000=3.2x108,

故答案是：3.2X108.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中左|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；

当原数的绝对值<1时，n是负数，据此解答即可.

13.【答案】y

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】••・扇形的弧长=罂卫=华，

loU3

•••圆锥的底面半径=等+2n=m.

故答案是：y.

【分析】根据扇形的弧长等于此扇形围成圆锥底面周长，据此求解即可.

14.【答案】y=?（答案不唯一）

【考点】反比例函数的性质

【解析】【解答】解：：函数图象在第二、四象限且关于原点对称，

.•・函数可以是反比例函数且比例系数小于0,

..・函数表达式可以是：y=?（答案不唯一）.

故答案是：y=?（答案不唯一）.

【分析】根据反比例函数的性质可得k<0,据此写出函数即可（答案不唯一）.

15.【答案】10V2

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】解：如图，

设BC=x,则AB=7x,

由题意得：%2+（7x）2=1002,解得：x=ioV2,

故答案为：10V2.

【分析】设BC=x,则AB=7x,根据勾股定理建立方程，求出x值即可.

16.【答案】①

【考点】相似图形

【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；

所有的菱形不一定相似，所以②错误；

边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误;

对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；

故答案是：①.

【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.

17.【答案】|V6

【考点】勾股定理，翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：过点F作FM_LAC于点M,

••・将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上，

・•,FG=AB=2V2，NEFG=ZBAC=90°,EF=AE=1,

••EG=J#+(2A/2)2=3»

•••ZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

△FMEGFEf

.EM_EF_MF_1

•'EF-EG-FG-3'

EM=-EF=-,MF=-FG=-V2,

3333

4

・•.AM=AE+EM=-,

3

•1.AF=>JAM2+MF2=J(》2+(|V2)2=|V6.

故答案是：|V6.

【分析】过点F作FM±AC于点M,根据折叠的性质可得FG=AB=2四，ZEFG=ZBAC=90°,

EF=AE=1,由勾股定理求出EG=3,证明△FMEGFE,可得器=整=萼=：,从而求出EM、

MF、AM的长,利用勾股定理求出AF即可.

18.【答案】y=|x2

【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：过点A作AN^y轴，过点B作BM垂直y轴，贝I]BMIIAN,

△CBMCANf

•・,CB=3AC,

.AN_AC_1

••BM一CB-3'

设A(-a,a2),则B(3a,9a2),

设直线AB的解析式为：y=kx+b,

则比=之兽，解得：］铠，

9az=3ka+bb=3az

直线AB的解析式为：y=2ax+3a2,

C(0,3a2),

・•.P为CB的中点，

P(-a,6a2),

3

.X=-a8

..{C2,即：y—~x2，

y=6Q2

故答案是：y=|%2.

【分析】过点A作AN_l_y轴，过点B作BM垂直y轴，则BMIIAN,可证＞CBMfCAN，可得芯=

—=-，设A(-a,a2),则B(3a,9a2),利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2ax+3az,从而求

CD3

出点C(0,3a2),由中点坐标公式可得P(|a,6a2),据此即得结论.

三、解答题

19.【答案】(1)解：原式=1-(-8)+i

=9；

(2)解：原式=6-誓

8-Q—8

2a

-a

2a

_1

2.

【考点】实数的运算，分式的加减法，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质、乘方、特殊角三角函数值先简化，再进行加减运算即可;

（2）先通分化为同分母，利用同分母分式减法法则计算即可.

20.【答案】(1)解：(%+1)2-4=0,

(x+1)2=4,

x+l=2或x+l=-2,

X1=1,X2=-3;

—2x+3<1①

(2)解:

x-l<|+l(g)

又①得:X>1,

由②得:x<3,

二不等式组的解为：1<X<3.

【考点】直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式组

【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；

（2）先求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可.

21.【答案】(1)证明：在XABO与4DCO中,

AB=DC

{4B。=/DCO,

ZAOB=/DOC

・•・△48。三△DC。(AAS)；

(2)证明：:AABO=LDCO,

/.OB=OC,

ZOBC=ZOCB.

【考点】等腰三角形的性质，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根据AAS可证AAB。三AOC。；

（2）由△AB。三ADC。可得OB=OC,由等边对等角可得/OBC=/OCB.

22.【答案】（1）解：画树状图如下:

•.・一共16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，

•*-P（取出的2张卡片数字相同）=4・16二；；

（2）解：根据第（1）题的树状图，可知：一共16种等可能的结果，至少有1张卡片的数字为〃3〃有7种，

7

•1-P（少有1张卡片的数字为"3"）=7・16二—.

Io

【考点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）利用树状图列举出一共16种等可能的结果，其中取出的2张卡片数字相同的结

果有4种，然后利用概率公式计算即可；

（2）由（1）知一共16种等可能的结果，其中至少有1张卡片的数字为"3"有7种，然后利用概率公式

计算即可.

23.【答案】⑴42

(2)解：c=200-10-42-68-24-6=50,d=50+200xl00%=25%,

补全扇形统计图如下：

（3）解：1500x（0.34+0.25+0.12+0.03）=1110（人），

答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人.

【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图

【解析］【解答】（1）解：由扇形统计图可知：b=0.21,a=200x0.21=42,

故答案是：42；

【分析】（1）根据B组所占百分比为21%,即可求出a值；

（2）先求出频数c,利用c除以样本容量，再乘以100%即得d值，然后补图即可;

（3）利用1000乘以参加健身锻炼超过10次的员工的频数之和即得结论.

24.【答案】⑴解:如图所示:

【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作图-角的平分线，作图-线段垂直平分线

【解析】【解答］解：（2）连接OA,

AC=BC,ZACB的平分线CD,

114824

/.AD=BD=-AB=-x-=—,CD±AB,

2255

OO的半径为5,

---OD=>JOA2-AD2=卜一（g）2=|,

739

CD=CO+OD=5+-=y,

BC=yjBD2+CD2=J（g）2+（y）2=8,

32

sinB=丝=亘=士.

故答案是：g.

【分析】（1）利用尺规作图作4cB的平分线CD,再作线段AC的垂直平分线交CD于一点O,以O

为圆心、OC为半径作。。即可；

（2）连接OA,利用等腰三角形的性质可得AD=BD=^48=^,利用勾股定理求出OD、CD、BC,由

sinB=累计算即得结论.

oC

25.【答案】（1）证明：*/AC是。。的直径，

ZABC=90°,

VP8切。。于点B,

・•.ZOBP=90°,

・•・ZPBA+NABO=NOBC+NABO=90°，

••・ZPBA=ZOBC;

(2)证明：•・♦夕BA=20°,NPBA=NOBC,

・•・ZOBC=20°,

OB=OC,

・•・ZOCB=NOBC=20°,

・•.ZA0B=20o+20°=40°,

,/OB=OA,

ZOAB=Z0BA=(180o-40°)-r2=70°,

・•.ZADB=-ZAOB=20°,

2

•••AC是O。的直径，

ZADC=90",

ZCDE=90o-20o=70°,

/.ZCDE=ZOAB,

/ACD=40°,

•1./ACD=NAOB=40°,

△OABCDE.

【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定

【解析】【分析】(1)根据圆周角定理且切线的性质可得nABC=90。，zOBP=90°,从而可得ZPB4+

ZAB0=Z0BC+ZAB0=90°，根据余角的性质即得结论；

(2)由三角形外角的性质得出NAOB=zACB+zOBC=40°,从而得出NAOB=zACD,由圆周角定理可

得NCDE=zOAB,根据两角分别相等可证4CMBiCDE.

26.【答案】（1）解：设一、二等奖奖品的单价分别是4x,3x,

tHi；-A«-zpi600127S~600cl/»TJzj=t/l

由题意得：—+—-——=25,解得：x=15,

4x3x

经检验：x=15是方程的解，且符合题意，

15x4=60（元），15x3=45（元），

答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；

（2）解：设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为127丁二中件,

453

V4Vm410,且—为整数，m为整数，

/.m=4,7,10,

答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19

件；一等奖品数10件，二等奖品数15件.

【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用

【解析】【分析】(1)设一、二等奖奖品的单价分别是4x,3X,根据“购买一、二等奖奖品25件”列出

方程，求解并检验即可；

(2)设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为二普=『件，由购买一等奖奖

453

品的数量不少于4件且不超过10件，列出不等式组，求出其整数解即可.

27.【答案】(1)解：,直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,

B(3,0),C(0,3),

二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点，

3=c解得：｛:二

0=9Q+6+c

，二次函数解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)解：B(3,0),C(0,3),IIIy轴,

OB=OC,

ZMBF=ZFBM=ZCFE=45°,

・・・以C、E、F为顶点的三角形与4ABC相似时，啜=K或穿=穿，

ABCBABCB

设F(m,・m+3),则E(m,-m24-2m4-3),

EF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,CF=^/(0-m)24-(34-m-3)2=y/2m，

.-m2+3m\[2mtV2m-m2+3m

••-----------=—尸或---=------7=—，

43衣43y/2

m=|或m=0（舍去）或m=|或m=0（舍去），

・•・EF=-m2+3/n二竺或2；

94

ZEFC=ZNCG,

•・・点N、F关于直线EC对称，

ZCNE=ZEFC,

ZCNE=ZNCG,

NEIIFC,

四边形NCFE是平行四边形，

•・,点N、F关于直线EC对称，

zNCE=NFCE,

••1IIIy轴，

ZNCE=ZFEC,

ZFCE=ZFEC,

FE=FC,

—m2+3m=V2m,解得：？n=3-V^或m=0（舍去），

CN=EF=3V2-2,

0N=3V2-2+3=3V2+1,

N（0,3V2+1）.

【考点】待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特

征

【解析】【分析】（1）由y=-x+3求出B、C坐标，将B、C坐标代入二次函数解析式中，求出a、c

即可；

(2)以C、E、F为顶点的三角形与△48C相似时分两种情况：啜=*或*=筹，据此分别求解

ABCBABCB

即可；

(3)证明四边形NCFE是平行四边形，根据轴对称的性质及平行线的性质求出NFCE=NFEC,可得

FE=FC,据此建立方程，从而求出CN、ON,即得点N坐标.

28.【答案】(1)解：①过点F作FMLBC,交BC的延长线于点M,

（图1）

••,在等腰直角三角形AEF中，ZAEF=90°，AE=FE,在正方形ABCD中，NB=90。,

ZBAE+ZAEB=NFEM+ZAEB,

ZBAE=ZFEM,

又ZB=ZFME,

/.AABE=△EMF,

・•.FM=BE=-,EM=AB=BC,

3

CM=BE=-,

3

・"肾+（#=¥；

②ZBAE=ZFEC,ZB=NECP=90°,

•二△BAECEP,

.CPCEr*CP1-m

••—fUn|J:=t

BEABm1

CP=m—m2,

把ZkaDQ绕点A顺时针旋转90。得LABG,则AG=AQ,ZGAB=ZQAD,GB=DQ,

B

G

(图1)

•••ZEAF=45°,

ZBAE+ZQAD=ZBAE+ZGAB=90°-45°=45°,即：ZGAE=ZEAF=45°,

ZABG=NABE=90°,

B、G、E三点共线,

又