四川省眉山市重点学校2023-2024学年高二上学期1月数学期末模拟试题(含答案)

-2024学年眉山市重点学校高二上学期期末模拟考试数学试卷（本试卷满分150分，答题时间120分钟）第I卷（选择题）一、单选题（每道题5分，共8道题，总分40分）1．在平面直角坐标系xOy中，直线x−y+5=0的倾斜角是（

）A．π6 B．π4 C．2π2．若在等比数列an中，a1+a2=8，A．20 B．18 C．16 D．143．若抛物线y2=2mx的准线经过椭圆x24+A．-2 B．-1 C．1 D．24．已知直线3x+4y+1=0与圆(x−1)2+(y−1)2=4相交于A,BA．125 B．65 C．855．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x>3”，则下列结论正确的是（

）A．A与B对立 B．PC．A与C相互独立 D．B与C相互独立6．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB=A．13a−C．16a−7．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P在直线x−y+6=0上，则直线AB的方程为（

A．x−y−2=0 B．x−2y−2=0C．x+y−2=0 D．x+2y−2=08．拋物线y2=2pxp>0，过抛物线的焦点且倾斜角为45∘的直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与y轴交于M、N两点，且MN=A．12 B．1 C．74 二、多选题（每道题5分，共4道题，选全得5分，选不全得2分，选错得0分）9．下列说法中，正确的是（

）A．直线2x+y+3=0在y轴上的截距是3B．直线x+y+1=0的倾斜角为135°C．A(1,4),B(2,7),C(−3,−8)三点共线D．直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0垂直10．已知等比数列an满足a1=1，公比q=A．数列a2n是等比数列 B．数列{C．数列log2an是等差数列 11．已知O为坐标原点，A3,1，P为x轴上一动点，Q为直线l：y=x上一动点，则（

A．△APQ周长的最小值为42 B．AP+C．AP+PQ的最小值为22 12．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A．三棱锥P−A1B．异面直线A1D,C．直线AA1与面AD．当点P为B1D1中点时，三棱锥第II卷（非选择题）三、填空题（每道题5分，共4道题，总分20分）13．已知直线l1:ax−3y+1=0与直线l214．已知数列an满足a1a2a3⋯a15．直线l:y=mx+1−1与圆C:x−12+y2=6交于A16．已知抛物线y2=−8x的焦点与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F相同，A,B为双曲线上关于原点O对称的两点，AF的中点为H，BF的中点为K，HK四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17．（本题10分）已知△ABC的三个顶点是A2,3，B1,2，(1)求BC边上的高所在直线l1(2)若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线18．（本题12分）高中数学试卷满分是150分，其中成绩在130,150内的属于优秀.某数学老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200位学生的数学成绩（均在90,150内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求样本的中位数，并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；（结果保留两位小数）(2)从样本数学成绩在120,130，130,140的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求这2人来自两组的概率.19．（本题12分）在等比数列an中(1)求an(2)设bn=−1n−1log2a20．（本题12分）已知圆C过点A(6,0),B(1,5)，且圆心在直线l:2x−7y+8=0上.(1)求圆C的标准方程；(2)过点D0,5且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N，若OM⋅ON=30，其中21．（本题12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，DE//BF，AD=DE=4，BF=1．(1)求平面AEF与平面CEF所成锐二面角的余弦值；(2)在棱DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23?若存在，求点G到平面ACF22．（本题12分）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过P2点，且与椭圆C相交于不同的两点A,B．若直线P2A与直线P2B参考答案：1．B【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.【详解】设直线x−y+5=0的倾斜角为α，直线x−y+5=0的方程可化为y=x+5，所以斜率为k=tan因为0≤α<π，所以α=故选：B.2．B【分析】利用等比数列的基本量进行计算即可【详解】设等比数列的公比为q，则a3a故选：B3．A【分析】找到椭圆的右焦点1,0，利用y2【详解】解：椭圆x24+y23=1的右焦点1,0，抛物线y故选：A．4．A【分析】根据圆的几何性质利用半径、半弦长、弦心距构成直角三角形求解.【详解】圆(x−1)2+(y−1)2=4则圆心到直线的距离d=|3×1+4×1+1|所以|AB|=2r故选：A5．C【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断.【详解】由题意可知：x,y∈1,2,3,4,5,6对于选项A：事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，例如x=y=2，则x+y=4≠7，xy=4不为奇数，即A事件和B事件可以同时不发生，所以A事件与B事件不对立，故A错误；对于选项B：样本空间共36个样本点，且A=1,6,2,5,3,4B=1,1,1,3,1,5C=x,y|x∈4,5,6,y∈1,2,3,4,5,6则B∩C=5,1,5,3对于选项C：因为PBPC=1对于选项D：因为A∩C=4,3,5,2且PAPC所以A与C相互独立，故C正确．故选：C．6．D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得SG=2=2故选：D

7．A【分析】首先根据题意可得到P点在抛物线的准线x=−2上，又在直线x−y+6=0上，从而可求出点P的坐标；根据PF⊥AB，即可求出直线AB的斜率，从而可求出直线AB的方程.【详解】根据题意，可知P点在抛物线的准线x=−2上，又点P在直线x−y+6=0上，所以P−2,4，又F2,0，所以因为PF⊥AB，所以kAB=1，所以直线AB的方程为y−0=x−2，即故选：A.8．B【分析】本题首先可根据倾斜角为45∘的直线过抛物线的焦点得出直线的方程为y=x−p2，然后联立直线方程与抛物线方程，得出x1+x2=3p、y1+y【详解】拋物线y2=2px的焦点为因为倾斜角为45∘的直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为y=x−联立y2=2pxy=x−p2设Ax1,y1，By1+y故圆心坐标为32p,p，半径为AB2当x=0时，−32p2+则MN=72故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线与圆、直线的相关问题的求解，能否求出以AB为直径的圆的方程是解决本题的关键，考查韦达定理以及抛物线定义的应用，考查计算能力，是难题.9．BC【分析】根据直线方程求得纵截距，倾斜角判断AB，由斜率关系判断C，由直线的位置关系判断D，【详解】A.直线2x+y+3=0在y轴上的截距是−3，A错；B.直线x+y+1=0的斜率为−1，倾斜角为135°，B正确；C.由A(1,4),B(2,7),C(−3,−8)得kAB=7−42−1=3，kD.直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0的斜率分别为−34，故选：BC．10．ACD【分析】根据给定条件求出an【详解】在等比数列an中，a1=1，公比q=对于A，a2n=122n−1对于B，1an=2n−1，显然1对于C，log2an对于D，an2=故选：ACD11．BCD【分析】设A关于直线l：y=x的对称点为A11,3，A关于x轴的对称点为A23,−1，对于A：根据对称性可得PQ+【详解】设A3,1关于直线l：y=x的对称点为A11,3，A3,1关于可知QA=对于选项A：可得△APQ周长PQ+当且仅当A1所以△APQ周长的最小值为25对于选项B：设A3,1到x轴，直线l：x−y=0的距离分别为d则d1可得AP+所以AP+AQ的最小值为对于选项C：因为AP+设A23,−1到直线l：x−y=0的距离为可得A2所以AP+PQ的最小值为对于选项D：作PC⊥l，垂足为C，因为直线l的斜率k=1，则∠COP=45°，可得CP=则AP+可得2AP所以2AP故选：BCD.12．ACD【分析】易证B1D1//平面A1BD，故三棱锥P−A1BD体积为定值；易得B【详解】因为DD1//BB又因为B1D1⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以B1D1//平面A1BD，又P为线段因为B1D1//BD，故A1D与B1D1所成角等价于以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD1方向为则D0,0,0,A2,0,0,B2,2,0设平面A1BD的法向量为n=x,y,z，则n⋅DA1=0n⋅DB=0，即x+z=0则sinθ=当点P为B1D1中点时，VP−A1BD=VA1−BDP，易得A1P⊥B1D1，BB1⊥平面A1B1C所以cos∠BPD=BP2+DP2−BD22BP⋅DP=12−82×6=13，sin∠BPD=2故选：ACD13．-3【详解】试题分析：因为直线l1:ax−3y+1=0与直线l考点：本题考查两直线垂直的充要条件点评：若两直线方程分别为A1x+14．λ≥1【分析】根据给定条件求出an【详解】在数列an中，a1a2a3⋯则有an=n+1n，而an+1an=n(n+2)(n+1)2又an+1an≤λ对任意所以实数λ的取值范围为λ≥1.故答案为：λ≥1【点睛】思路点睛：给定数列{an}的前n项和或者前n项积，求通项时，先要按n≥2然后看n=1时是否满足n≥2时的表达式，若不满足，就必须分段表达.15．5【分析】由于直线l过定点P(−1,−1)，所以当CP⊥AB时，弦AB的长度最短，然后先求出CP的长，再利用勾股定理可求出AB的长，从而可求出三角形ABC的面积【详解】因为直线l:y=mx+1−1恒过定点P(−1,−1)，圆C:x−12+所以当CP⊥AB时，弦AB的长度最短，因为CP=所以AB=2所以三角形ABC的面积为12故答案为：516．42【分析】设Ax0,y0，B−x0,−y0，根据中点坐标公式可得H,K坐标，利用OH【详解】因为抛物线y2=−8x所以双曲线左焦点为F−2,0∴双曲线的半焦距c=2．设Ax0,∴Hx0−2∵HK∴OH⊥OK，即OH⋅∴4−x0又直线AB斜率为1515，即y∴x02∴AB∵A在双曲线上，∴x02结合c2=a2+∴离心率e=c故答案为：4；2317．(1)x−2y+4=0(2)x−y−8=0或13x+5y−32=0【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线l1的斜率，再利用点斜式可求出直线l（2）由题意分直线l2与AB平行和直线l2通过【详解】（1）因为kBC=−4−24−1=−63所以BC边上的高所在直线l1的方程y−3=即x−2y+4=0.（2）因为点A,B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或通过①当直线l2与AB因为kAB=3−22−1=1=所以l2方程为y+4=x−4，即x−y−8=0②当直线l2通过AB的中点D(所以kCD所以l2的方程为y+4=−135综上：直线l2的方程为x−y−8=0或13x+5y−32=018．(1)中位数为116.43分，22%(2)3【分析】（1）由题意得到x=0.010，求出前三组的频率，分析得到中位数落在110,120内，设中位数为m，列方程求解即可；（2）用分层抽样的方法求出在120,130，130,140中分别抽取的人数，再列举随机选出2人的所有结果，求这2人来自两组的概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知2x+0.012+0.018+0.022+0.028×10=1解得x=0.010，样本中数学成绩在90,100内的频率P1在100,110内的频率P2在110,120内的频率为P3∵P1+P∴样本的中位数落在110,120内，设样本的中位数为m，则0.5−0.32=m−110×0.028，解得故样本的中位数为116.43分.由样本估计总体，得本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为0.12+0.10×100（2）由频率分布直方图可知，按分层抽样的方法，抽取5名学生中成绩在120,130内的有3名，分别记为A，B，C，在130,140内的有2名，分别记为D，E，则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中2人来自两组的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，共6种，故所求概率P=6所以这2人来自两组的概率为3519．(1)an(2)Sn【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；（2）根据题意可得：bn【详解】（1）由题意可得：a1∵a2+a3=12a4∴an的通项公式a（2）由（1）可得：bn若n为奇数，可得bn当n为奇数时，则Sn当n为偶数时，则Sn综上所述：Sn20．(1)(x−3)(2)y=5【分析】（1）设出圆的标准方程，将A,B两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三个a,b,r参数，即可求出圆的方程；（2）根据条件设出直线l的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入OM⋅ON=30，解出k【详解】（1）设所求圆的方程为(x−a)2则由题可得：(6−a)2+(0−b)故所求圆C的方程为(x−3)2（2）由题设，可知直线l的方程为y=kx+5.代入方程(x−3)2+(y−2)设M(x则x1+xOM=(1+由题设可得30k(1−k)1+k2+30=经检验k=1k=0所以l的方程为y=5.21．(1)833(2)存在，距离为22【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）由（1）中坐标系，由异面直线所成角的余弦求出点G，再利用向量法求出点到平面的距离.【详解】（1）由四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，知直线DA,DC,DE两两垂直，以D为坐标原点，直线DA,DC,DE分别为x,y,